2019朝阳一模数学试题及答案.doc

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷 2019.5
学校 班级 姓名 考号
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．下面是一些北京著名建筑物的简笔画，其中不是轴对称图形的是

（A） （B） （C） （D）
2．实数m，n在数轴上对应的点的位置如图所示，若，且，则原点可能是

（A）点A （B）点B （C）点C （D）点D
3．下列几何体中，其三视图的三个视图完全相同的是

（A） （B） （C） （D）
4．电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为
（A）9.5×104亿千米 （B）95×104亿千米
（C）3.8×105亿千米 （D）3.8×104亿千米
5．把不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是

（A） （B） （C） （D）
6．如果，那么代数式的值为
（A） （B） （C）3 （D）
7．今年是我国建国70周年，回顾过去展望未来，创新是引领发展的第一动力．北京科技创新能力不断增强，下面的统计图反映了2010—2018年北京市每万人发明专利申请数与授权数的情况．
2010—2018年北京市每万人发明专利申请数与授权数统计图

[以上数据摘自北京市统计局官网]
根据统计图提供的信息，下列推断合理的是
（A）2010—2018年，北京市每万人发明专利授权数逐年增长
（B）2010—2018年，北京市每万人发明专利授权数的平均数超过10件
（C）2010年申请后得到授权的比例最低
（D）2018年申请后得到授权的比例最高
8．下表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
“正面向上”次数
22
52
71
95
116
138
160
187
214
238
“正面向上”频率
0.44
0.52
0.47
0.48
0.46
0.46
0.46
0.47
0.48
0.48
下面有三个推断：
①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是0.5；
②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向上”的概率是0.48；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生；
其中合理的是
（A）①② （B）①③ （C）③ （D）②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____．
10．用一组,,的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，_____，_____．
11．如图，某人从点A出发，前进5 m后向右转60°，再前进5 m后又向右转60°，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了_____m．
第11题图
第13题图
第12题图
第14题图
12．如图所示的网格是正方形网格，△ABC是_____三角形．（填“锐角”，“直角”或“钝角”）

13．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，作直径BC，连接AB，AC，若∠P=80°，则∠C=_____°．
14．如图，在矩形ABCD中，过点B作对角线AC的垂线，交AD于点E，若AB=2，BC=4，则AE=_____．
15．某班对思想品德，历史，地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：
科目
思想品德
历史
地理
选考人数（人）
19
13
18

其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有_____人；该班至少有学生_____人．
16．某实验室对150款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的30款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此次检测中的排名情况如下图所示，可以看出其中A型保温杯的优势是_____．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．计算：．

18．解分式方程：．

19．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，

①在直线l上取两点A，B；
②以点P为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AP为半径画弧，两弧在直线l上方相交于点Q；
③作直线PQ．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ PA=_____，AB=_____，
∴ 四边形PABQ是平行四边形．
∴ PQ∥l（_____）．（填写推理的依据）
20．已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF=ED，连接BE，BF，CF，AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC=4，EF=2，求AD的长．

22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC=CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若cosA=，BE=1，求AD的长．

23．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在第一象限内，∠OAB=90°，OA=AB，△OAB的面积为2，反比例函数的图象经过点B．
（1）求k的值；
（2）已知点P坐标为（a，0），过点P作直线OB的垂线l，点O，A关于直线l的对称点分别为O’，A’，若线段O’A’与反比例函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围．

24．小超在观看足球比赛时，发现了这样一个问题：两名运动员从不同的位置出发，沿着不同的方向，以不同的速度，直线奔跑，什么时候他们离对方最近呢？
小超通过一定的测量，并选择了合适的比例尺，把上述问题抽象成如下数学问题：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D以1cm/s的速度从点C向点B运动，点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，当点E到达点B时，两点同时停止运动，若点D，E同时出发，多长时间后DE取得最小值？

小超猜想当DE⊥AB时，DE最小．探究后发现用几何的知识解决这个问题有一定的困难，于是根据函数的学习经验，设C，D两点间的距离为x cm，D，E两点间的距离为y cm，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小超的探究过程，请补充完整：
（1）由题意可知线段AE和CD的数量关系是：_____；
（2）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
3.8

2.7
3.0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（3）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：小超的猜想_____；（填“正确”或“不正确”）当两点同时出发了_____s时，DE取得最小值，为_____cm．

25．为了推动全社会自觉尊法学法守法用法，促进全面依法治国，某区每年都举办普法知识竞赛．该区某单位甲、乙两个部门各有员工200人，要在这两个部门中挑选一个部门代表单位参加今年的竞赛，为了解这两个部门员工对法律知识的掌握情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了法律知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲部门成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，）：

b．乙部门成绩如下：
乙
40
52
70
70
71
73
77
78
80
81

82
82
82
82
83
83
83
86
91
94
c．甲、乙两部门成绩的平均数、方差、中位数如下：

平均数
方差
中位数
甲
79.6
36.84
78.5
乙
77
147.2
m
d．近五年该单位参赛员工进入复赛的出线成绩如下：

2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
出线成绩（百分制）
79
81
80
81
82
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）可以推断出选择_____部门参赛更好，理由为_____；
（3）预估（2）中部门今年参赛进入复赛的人数为_____．
26．在平面直角坐标系中，抛物线，当a=0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

27．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD，且AD∥BC．
（1）依题意补全图形；
（2）求满足条件的α的值；
（3）若AB=2，求AD的长．

28．在平面直角坐标系中，对于任意两点和，
称为，两点的直角距离．
（1）已知点A(1，2)，直接写出d（O，A）=_____；
（2）已知B是直线上的一个动点，
①如图1，求d（O，B）的最小值；
②如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值．
图1
图2

北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷答案及评分参考 2019.5

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
C
C
A
B
C
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号
9
10
11
12
答案
x ≥ 1
答案不唯一，如 a=1，b=2，c=0
30
锐角
题号
13
14
15
16
答案
50
1
16；29
便携性
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．解：原式 ………………………………………………………………4分
．………………………………………………………………………………5分

18．解：去分母，得 6-x=x-2． ………………………………………………………………………2分
整理，得 2x=8．………………………………………………………………………………3分
解得 x=4．……………………………………………………………………………………4分
经检验，x=4是原方程的解． …………………………………………………………………5分
所以原方程的解是x=4．

19．（1）图略． …………………………………………………………………………………………2分
（2）QB，PQ，平行四边形对边平行． ……………………………………………………………5分

20．（1）证明：∵，
∴是关于x的一元二次方程．
∴ …………………………………………………………1分
…………………………………………………………………………………2分
∵，
∴方程总有两个不相等的实数根． …………………………………………………3分
（2）解：由求根公式，得．
∴，．………………………………………………………………4分
∵方程的两个实数根都是整数，且m为整数，
∴． ……………………………………………………………………………5分
21．（1）证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
∴CD=BD，ED∥AB． ………………………………………………………………1分
∵∠ABC=90°，
∴∠EDC=90°． ……………………………………………………………………2分
∵DF=ED，
∴线段BC，EF互相垂直平分．
∴四边形BFCE是菱形．……………………………………………………………3分
（2）解：∵BC=4，EF=2，
∴BD=2，ED=1．……………………………………………………………………4分
由（1）可知AB=2ED=2．
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可求AD=．…………………………………5分
图1
22．（1）证明：如图1，连接OC．
∵EF是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°． ……………………1分
∵BC=CD，
∴．
∴∠COB=∠DAB．……………………2分
∴AF∥CO．
∴∠AFE=∠OCE=90°．
即AF⊥EF． ……………………3分
图2
（2）解：如图2，连接BD，
∴∠ADB=90°．
由（1）可知cos∠COE=cosA=．
设⊙O的半径为r，
∵BE=1，
∴．
解得． ……………………4分
∴AB=8．
∴在Rt△ABD中，AD=．…………………………………………5分
23．（1）解：∵△OAB的面积为2，
∴．
∴． ………………………………………………………………………2分
（2）或． ………………………………………………………6分

24． 解：（1）AE=2CD．…………………………………………………………………………………1分
（2）
x/cm
0
1
2
3
4
5
y/cm
6.0
4.8
3.8
3.0
2.7
3.0
………………2分
（3）

…………………………4分
（4）不正确；4，2.7．…………………………………………………………………………6分

25．解：（1）81.5． ………………………………………………………………………………………2分
（2）乙；理由为：从近五年进入复赛的出线成绩可以预测今年的出线成绩约为81分，乙部门抽样成绩的中位数为81.5，说明20人中有10人可以进入复赛，甲部门不仅抽样成绩的中位数为78.5，低于乙部门，而且通过直方图可知超过80分的人数在20人中有8人，因此可以预测乙部门能进入复赛的人数多于甲部门，选择乙部门参赛更好． ………………………………………………………………………………………5分
（3）答案不唯一，如：110． …………………………………………………………………6分
26． 解：（1）当时，抛物线表达式为，
∵当时，，
∴点A的坐标为． …………………………………………………………1分
∴点B的坐标为． …………………………………………………………2分
（2）如图1，当a=0时，图形M与线段AB恰有三个公共点，
如图2，当a=-3时，图形M与线段AB恰有一个公共点，
如图3，当a=1时，图形M与线段AB恰有两个公共点，
由图象可知，当或时，图形M与线段AB恰有两个公共点．
图3
图2
图1

…………………………………………………………6分
27． 解：（1）满足条件的点D有两个，补全图形如图1所示．
图1

………………………………………2分
（2）如图2，过点B作BE⊥D1D2于点E．
由题意可知，BD1=BD2 =BC，AE∥BC．
图2
∴∠AEB=90°．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠EAB=∠ABC=45°．
∴在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，．
∴．……………………………………………………………………4分
∴∠D1=∠D2=30°．
∵D1D2∥BC，
∴或．……………………………………………………………………………5分
（3）∵AB=2，
∴．
∴D1E= D2E=．
∴AD的长为或．………………………………………………………7分

28．解：（1）3． ………………………………………………………………………………………2分
（2）①设直线与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，
当点B运动到点N时，d（O，B）取得最小值，由直角距离的定义可知，
d（O，B）=ON=3．
理由如下：
当点B运动到点M时，d（O，B）=OM>ON；
作BP⊥y轴于点P，
如图1，当点B在点N的左侧时，d（O，B）=BP+OP>OP>ON；
如图2，当点B在线段MN上时，d（O，B）=BP+OP>NP+OP，即d（O，B）>ON；
如图3，当点B在点M的右侧时，d（O，B）=BP+OP>BP>OM>ON；
综上所述，当点B运动到点N时，d（O，B）取得最小值，为3．………………5分
图3
图2
图1

②由①可知，对于⊙O上每一个给定的点C，当点B，C运动到使BC⊥x轴时，d（B，C）取得最小值，为线段BC的长度．
如图4，过点C作直线的垂线，垂足为D，过点C作x轴的垂线，交直线于点B．可证．
当CD取得最小值时，BC取得最小值．
因此，将直线沿图中所示由点D到点C的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第一象限内相切的位置时，切点即为所求的点C．
此时，．
所以d（B，C）的最小值为．………………………………………………………………7分
图4