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初中数学构造法的归纳整理(保证).doc

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资源描述
内部讲义 专题:构造法应用突破 构造法深度探索 构造法是一种重要而灵活的解题方法.应用构造法解题的关键有两点:第一,要有明确的方向,即为什么而构造;第二,必须弄清条件的本质特点,以便明确构造什么、如何构造,从而达到解题的目的.本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用. 1 构造代数式 初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题,代数式的化简、求值等,直接考虑很难人手.然而,通过观察,适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等,从而出现熟悉的数学表达式,使问题得以解决. 1.1 构造多项式 例1 三个整数 a、b、c的和是 6的倍数.那么,它们的立方和被 6除,求得到的余数. 1.2 构造有理化因式 例2 已知. 计算. 1.3 构造对偶式 根据代数式的特点,构造与其相关联的对偶式,通过对二者的灵活处理,得到一些有用的关系式,从而解决问题. 例3 已知是方程的两根.则的值? 1.4 构造递推式 数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系,可通过构造递推式解决问题. 例4 实数满足,,, ,求 2 构造几何图形 如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义,或以某种方式与几何图形相关联,则通过作出与其相关的图形,可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来. 2.1 构造对称图形 例5 已知 a、b是正数,且 a+b=2.求的最小值. 2.2构造矩形 例6 已知,求以,,为三边长的三角形的面积。 2.3 构造圆 例7 已知为正实数,且,求证:. 2. 4 构造三角形 例8 已知方程组满足 .求 xy+2yz+3xz的值. 例9 已知正数满足,求证: 3 构造方程、不等式、函数 3.1 构造二次方程 方程是中学数学中解决问题的重要工具,根据题设条件及结论的特点,利用方程的有关知识,构造辅助方程解决有关问题,常能化难为易,化繁为简. 例10已知实数 a≠b,且满足;,则 的值为. 例11.已知a<0,b>0,且.则代数式值为. 3.2 构造不等式 利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 . 例12 设x,y是非负整数, x+2y是 5的倍数,x+y是3的倍数,且2x+y99.则7 x+5y的最小值为 . 3.3 构造函数 用函数的观点分析题目的条件、结构,构造出相应的函数关系式,可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究. 例 13 已知实数,且,求的最小值. 例14* 证明:在任意2013个互不相同的实数中,总存在两个数x,y,满足: . 4 其他构造 4.1构造反例 构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用,如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a、b、c都是实数,考虑如下命题 : (1)若 a2+ab+c>O,且c>1,则0<b<2; (2)若 c>1,且0<b<2,则a2+ab+c>O; (3)若0<b<2,且a2+ab+c>O,则c>1. 试判断哪些命题正确,哪些命题不正确.说明理由。 4.2 构造特例 例16 货轮上卸下若干个箱子,其总重量为 10t,每个箱子的重量不超过 1t,为了保 证能把这些箱子一次性运走,问至少需要多少辆载重量为3t的汽车?
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