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内部讲义 专题:构造法应用突破
构造法深度探索
构造法是一种重要而灵活的解题方法.应用构造法解题的关键有两点:第一,要有明确的方向,即为什么而构造;第二,必须弄清条件的本质特点,以便明确构造什么、如何构造,从而达到解题的目的.本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用.
1 构造代数式
初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题,代数式的化简、求值等,直接考虑很难人手.然而,通过观察,适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等,从而出现熟悉的数学表达式,使问题得以解决.
1.1 构造多项式
例1 三个整数 a、b、c的和是 6的倍数.那么,它们的立方和被 6除,求得到的余数.
1.2 构造有理化因式
例2 已知.
计算.
1.3 构造对偶式
根据代数式的特点,构造与其相关联的对偶式,通过对二者的灵活处理,得到一些有用的关系式,从而解决问题.
例3 已知是方程的两根.则的值?
1.4 构造递推式
数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系,可通过构造递推式解决问题.
例4 实数满足,,,
,求
2 构造几何图形
如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义,或以某种方式与几何图形相关联,则通过作出与其相关的图形,可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来.
2.1 构造对称图形
例5 已知 a、b是正数,且 a+b=2.求的最小值.
2.2构造矩形
例6 已知,求以,,为三边长的三角形的面积。
2.3 构造圆
例7 已知为正实数,且,求证:.
2. 4 构造三角形
例8 已知方程组满足
.求 xy+2yz+3xz的值.
例9 已知正数满足,求证:
3 构造方程、不等式、函数
3.1 构造二次方程
方程是中学数学中解决问题的重要工具,根据题设条件及结论的特点,利用方程的有关知识,构造辅助方程解决有关问题,常能化难为易,化繁为简.
例10已知实数 a≠b,且满足;,则
的值为.
例11.已知a<0,b>0,且.则代数式值为.
3.2 构造不等式
利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 .
例12 设x,y是非负整数, x+2y是 5的倍数,x+y是3的倍数,且2x+y99.则7 x+5y的最小值为 .
3.3 构造函数
用函数的观点分析题目的条件、结构,构造出相应的函数关系式,可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究.
例 13 已知实数,且,求的最小值.
例14* 证明:在任意2013个互不相同的实数中,总存在两个数x,y,满足:
.
4 其他构造
4.1构造反例
构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用,如欧拉推翻了费尔马的质数公式
例15 a、b、c都是实数,考虑如下命题 :
(1)若 a2+ab+c>O,且c>1,则0<b<2;
(2)若 c>1,且0<b<2,则a2+ab+c>O;
(3)若0<b<2,且a2+ab+c>O,则c>1.
试判断哪些命题正确,哪些命题不正确.说明理由。
4.2 构造特例
例16 货轮上卸下若干个箱子,其总重量为 10t,每个箱子的重量不超过 1t,为了保
证能把这些箱子一次性运走,问至少需要多少辆载重量为3t的汽车?
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