1、内部讲义 专题：构造法应用突破
构造法深度探索
构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．
1 构造代数式
初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以
2、解决．
1．1 构造多项式
例1 三个整数 a、b、c的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.
1．2 构造有理化因式
例2 已知.
计算.
1．3 构造对偶式
根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．
例3 已知是方程的两根．则的值？
1．4 构造递推式
数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．
例4 实数满足，，，
，求
2 构造几何图形
如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式
3、与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．
2．1 构造对称图形
例5 已知 a、b是正数，且 a+b=2．求的最小值.
2．2构造矩形
例6 已知，求以，，为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆
例7 已知为正实数，且，求证：.
2. 4 构造三角形
例8 已知方程组满足
．求 xy+2yz+3xz的值．
例9 已知正数满足,求证：
3 构造方程、不等式、函数
3．1 构造二次方程
方程是中学数学中
4、解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．
例10已知实数 a≠b，且满足;,则
的值为.
例11．已知a<0，b>0，且．则代数式值为．
3．2 构造不等式
利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．
例12 设x,y是非负整数， x+2y是 5的倍数，x+y是3的倍数，且2x+y99．则7 x+5y的最小值为 ．
3．3 构造函数
用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究
5、．
例 13 已知实数,且，求的最小值.
例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x，y，满足：
.
4 其他构造
4．1构造反例
构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式
例15 a、b、c都是实数，考虑如下命题 ：
(1)若 a2+ab+c>O，且c>1，则01，且0O；
(3)若0O，则c>1．
试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
4．2 构造特例
例16 货轮上卸下若干个箱子，其总重量为 10t，每个箱子的重量不超过 1t，为了保
证能把这些箱子一次性运走，问至少需要多少辆载重量为3t的汽车?
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