2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考(六)数学(文)试题(解析版).doc

2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六）数学（文）试题

一、单选题
1．设全集，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】, =
2．已知是实数，设是虚数单位，若，则复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】化简已知得到，解方程组即得解.
【详解】
因为,所以,所以，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．下列叙述正确的是（ ）
A．函数的最小值是
B．“”是“”的充要条件
C．若命题，则
D．“已知，若，则都不大于1”的逆否命题是真命题
【答案】C
【解析】A，利用基本不等式分析判断；B，举反例判断得解；C，利用全称命题的否定分析判断得解；D，举反例判断得解.
【详解】
对于A: ，但是没有实数解，所以等号不成立，所以A错；
对于B：当时，也成立，所以B错；
对于C，命题，则，由全称命题的否定得该命题正确；
对于D:当时, 也成立，所以原命题错误，所以其逆否命题也错误，所以D错；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查全称命题的否定和基本不等式，考查充要条件和逆否命题的真假，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．如图，该程序运行后的输出结果为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：第一次运行结果：；
第二次运行结果：；
第三次运行结果：；此时，条件不满足，跳出循环，输出的值为，故选择B，注意多次给一个量赋值以最后一次的赋值为准.
【考点】程序框图中的循环结构.
5．已知奇函数满足，则的取值不可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．10
【答案】B
【解析】由三角函数的奇偶性和对称性可求得参数的值.
【详解】
由是奇函数得
又因为得关于对称，
所以，
解得
所以当时，得A答案；
当时，得C答案
；当时，得D答案；
故选B.
【点睛】
本题考查三角函数的奇偶性和对称性，属于基础题.
6．设等差数列的前项和为，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】把等差数列的前n项和公式直接代入化简即得解.
【详解】
由题意得，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查等差数列的前n项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．已知定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则函数在内所有零点之和为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】函数在零点之和就是与交点横坐标的和，作出函数的图象分析得解.
【详解】
函数在零点之和就是在内所有的根的和，
就是与交点横坐标的和，
函数的图象如图所示，
由图可知，
所以

故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的图象的综合应用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．设，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先化简已知得，进一步分析得到得解.
【详解】
由得,
,
因为,,所以,,
由，得,
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查诱导公式，考查差角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．已知椭圆C的方程为，焦距为，直线与椭圆C相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意表示出点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于关系，求出离心率.
【详解】
设直线与椭圆在第一象限内的交点为，则
由，可知，即，解得，
所以
把点代入椭圆方程得到，
整理得，即，
因，所以可得
故选A项.
【点睛】
本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.
10．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.
【详解】

，为三角形内角，则
，，当且仅当时取等号

【点睛】
本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.
11．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（ ）个

A．2 B．4 C．6 D．0
【答案】B
【解析】【详解】
以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则E（0，4），F（6，4）．
（1）若P在CD上，设P（x，0），0≤x≤6．∴（﹣x，4），（6﹣x，4）．
∴x2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴716．
∴当λ＝7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．
（2）若P在AD上，设P（0，y），0＜y≤6．∴（0，4﹣y），（6，4﹣y）．
∴（4﹣y）2＝y2﹣8y+16，∵0＜y≤6，∴016．
∴当λ＝0或4＜λ＜16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．
（3）若P在AB上，设P（x，6），0＜x≤6.（﹣x，﹣2），（6﹣x，﹣2）．
∴x2﹣6x+4，∵0＜x≤6．∴﹣54．
∴当λ＝﹣5或λ＝4时有一解，当﹣5＜λ＜4时有两解．
（4）若P在BC上，设P（6，y），0＜y＜6，∴（﹣6，4﹣y），（0，4﹣y）．
∴（4﹣y）2＝y2﹣8y+16，∵0＜y＜6，∴016．
∴当λ＝0或4≤λ＜16时有一解，当0＜λ＜4时有两解．

所以，综上可知当时，有且只有4个不同的点使得成立．
故选B.
12．已知定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，利用已知证明为偶函数，且，单调递增，再利用函数的性质解不等式即得解.
【详解】
时，恒成立，即恒成立，
令，则在时，单调递增，
又，即，
∴，
则为偶函数，
由，
化简得
即，
所以，
解得
故选：B
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性的判断，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

二、填空题
13．如图是一组数据（x，y）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为＝x＋1，则＝________.

【答案】0.8
【解析】根据线性回归直线必过样本点中心，即可求出．
【详解】
由图可知，＝＝2，
＝＝2.6，
将（2，2.6）代入＝x＋1中，解得＝0.8．
故答案为：0.8．
【点睛】
本题主要考查由线性回归直线必过样本点中心，求参数的值，属于基础题．
14．设是半径为的圆周上一定点，在圆周上随机取一点，连接得一弦，若表示事件“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则事件发生的概率____________.
【答案】
【解析】利用几何概型的概率求解.
【详解】
如图为圆内接正三角形，当点位于劣弧上时，弦，
所以由几何概型的概率得.

【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．若直线与圆C：相交于A，B两点，且三角形ABC的面积为，则m的值为________.
【答案】
【解析】先利用三角形ABC的面积求出或，利用几何关系求出圆心C到直线AB的距离，代入点到直线的距离公式求出
【详解】
将化成标准方程为，因为三角形ABC的面积为，所以，所以，所以或，所以圆心C到直线AB的距离是或，根据点到直线的距离公式得或，所以．故填.
【点睛】
考查三角形的面积，点到直线的距离公式，基础题．
16．我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为____．

【答案】①②④
【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．
【详解】
由三视图还原原几何体如图，

可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，
底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，
则四个侧面是直角三角形，故①正确；
最长棱为PC，长度为2，故②正确；
由已知可得，PB=2，PC=2，PD=2，则四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为PC=，其表面积为4π×=24π，故④正确．
∴其中正确的命题是①②④．
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查由三视图还原原几何体，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．

三、解答题
17．某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120

(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率.
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.
【答案】（1）0.27； （2）0.24
【解析】试题分析：（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率求得，，在根据投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，问题就得以解决；
（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，在求出其频率，最后利用频率表示概率.
试题解析：
（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：
，，
由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：

设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有
所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
由频率估计概率得
【考点】古典概型及其概率计算公式.

18．如图，已知四棱锥中，平面，底面中，.

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】（1）取的中点，的中点，连结，证明平面,平面平面即得证；（2）连结，求出, ,再利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】

（1）取的中点，的中点，连结，则，
因为,所以,
所以四边形是平行四边形, 所以,
平面, , ,
平面,
又平面, ,
又为中点, ,
平面,
又，平面,
又平面
所以平面平面.
（2）连结，则,
,
, ,
设到平面的距离为,, .
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．已知正项数列满足：时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的，恒成立？若存在，求出所有的正整数m；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，m=2或m=3，理由见详解
【解析】(1)有，可得，设，可得的通项公式，可得的通项公式；
（2）由错位相减法可得的值和性质，可得的最大和最小的值，可得m的值.
【详解】
解：（1）由，得
令∴（），而
∴即，即，由正项数列知；
（2）由得，
，
①，
②，
①-②得
，，可得
∴的而的
∴当m=2或m=3时
使恒成立.
【点睛】
本题主要考察数列与不等式的综合、数列的递推式及数列前n项的和性质，灵活运用错位相减法求是解题的关键.
20．如图，过抛物线的焦点的直线交于两点，且

（1）求抛物线的标准方程；
（2）是上的两动点，的纵坐之和为1，的垂直平分线交轴于点，求的面积的最小值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）由题意得，设直线方程为，联立直线和抛物线方程由韦达定理得p的值，即得抛物线的方程；（2）设，求出t的值，再求出即得面积的最小值.
【详解】
（1）由题意得，设直线方程为
由得，,
由题意设是方程两根，所以,
所以,抛物线的标准方程为.
（2）设，因为在的垂直平分线上，所以.
得,
所以
即
所以
又因为, ,
故
于是
由（1）得

因此当时有最小值3.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，求证：．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据定义域研究导函数零点：当时，仅有一个零点；当时，有两个零点；列表分析导函数符号变号规律得单调区间（2）根据（1）得，将不等式转化为证明，构造函数。利用导数可得
试题解析：（1），，
则，
当时，在上单调增，上单调减，
当时，令，解得，，
当，解得，
∴，的解集为，；的解集为，
∴函数的单调递增区间为：，，
函数的单调递减区间为；
当，解得，
∴，的解集为；的解集为，
综上可知：，函数的单调递增区间为：，，函数的单调递减区间为；，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．
（2）证明：∵，故由（1）可知函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
∴在时取极大值，并且也是最大值，即 ，
又∵，
∴，
设，，
∴的单调增区间为，单调减区间为，
∴，
∵，∴，∴，，
∴．
【考点】利用导数求单调区间，利用导数证明不等式
22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：
（2）若成等比数列，求a的值。
【答案】（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.
【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．
【详解】
（1）由直线l的参数方程消去参数t得,
，即为l的普通方程
由，两边乘以得
为C的直角坐标方程.
（2）将代入抛物线得

由已知成等比数列，

即，，，
整理得
（舍去）或.
【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．
23．已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，若，且，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）先求出s=1，再求出，构造函数求取值范围.
【详解】
（1），
①由；
②由；
③由；
所以或.
（2），
，
，.
设,
当时，函数单调递减，所以；
当时，函数单调递减，所以；
当时，函数单调递增，所以
所以.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查三角绝对值不等式和绝对值的范围的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

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