第二章导数与微分部分考研真题及解答.doc

第二章 导数与微分
2.1导数的概念
01.1)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为 （ B ）
（A）存在 （B）存在
（C）存在 （D）存在
03.3) 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数
(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.
(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ]
03.4) 设函数，其中在x=1处连续，则是f(x)在x=1处可导的 [ A ]
(A) 充分必要条件. （B）必要但非充分条件.
(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件.
05.12)设函数，则f(x)在内 [ C ]
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ]
(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
(B) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.
(C) 若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界.
(取f(x)=，反例排除)
06.34) 设函数在x=0处连续,且,则 （ C ）
(A)存在(B)存在
(C)存在 (D)存在
07.1234) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：）
(A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0.
(C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在
04.2) 设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.
(Ⅰ)写出在上的表达式; (Ⅱ)问为何值时, 在处可导.
【详解】(Ⅰ)当,即时,
.
(Ⅱ)由题设知 .

.
令, 得. 即当时, 在处可导.

2.2导数的运算法则
06.2)设函数则g(1)等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
03.3) 已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为 .
03.3) 设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是.
04.1) 曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 .
04.4) 设，则.
05.2) 设，则= .
09农）设，则=
10.2)已知一个长方形的长l以的速率增加，宽以的速率增加，则当，时，它的对角线增加速率为

2.3高阶导数
06.34) 设函数的某领域内可导,且,则 （复合求高阶导）
07.234)设函数则=
10.2)函数在处的n阶导数

2.4隐函数导数 由参数方程确定的函数的导数
01.2)设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为
03.2) 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0 .
08.1)曲线在点处的切线方程是

02.1)已知函数由方程确定，则 -2
09.2) 设是方程确定的隐函数，则= -3

06.2) 设函数确定，则
02.2)已知曲线的极坐标方程是，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程.
07.2) 曲线上对应于的点处的法线斜率为
03.2) 设函数y=y(x)由参数方程所确定，求
【详解】由，，
得
所以 =
=
当x=9时，由及t>1得t=2, 故

07.2) 已知函数f(u)具有二阶导数，且，函数y=y(x)由方程所确定，设，求
【详解】 ，

在中, 令x= 0 得y=1 . 而由两边对x求导得

再对x求导得
将x=0, y=1代入上面两式得
故

10.2)设函数由参数方程，所确定，其中具有2阶导数，且已知，求函数.

2.5微分及其应用
02.2)设函数可导，当自变量x在处取增量时，相应的函数增量的线性主部为0.1，则 （ D ）
（A）-1. （B）0.1. （C）1. （D）0.5.
06.1234) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 [ A ]
(A) （B）
(C) （D）
弹性
07.34)设某商品的需求函数为，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 （ D ）
(A) 10. (B) 20. (C) 30. (D) 40.
01.34)设生产函数为其中是产出量，是劳动投入量，是资本投入量，而均为大于零的参数，则当时关于的弹性为
09.3) 设某产品的需求函数为Q=Q(P)，其对应价格P的弹性=0.2，则当需求量为1000件时，价格增加1元会使产品收益增加 12000 元
10.3)设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中p为价格，且，则
02.4)设某商品需求量是价格p的单调减少函数：其需求弹性（1）设为总收益函数，证明.（2）求时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.
04.34) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P，其中价格P Î (0 , 20)，Q为需求量.
(I) 求需求量对价格的弹性(> 0)；
(II) 推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.
【详解】(I) .
(II) 由R = PQ，得.
又由，得P = 10. 当10 < P < 20时，> 1，于是，
故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.