【省级联考】2018年江西省高考数学模拟试卷(理科)(4月份).doc

2018年江西省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log3x＜1}，则A∩B等于（　　）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2． 若复数z满足z（1﹣i）2=1+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（　　）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
4． 已知向量，的夹角为120°，且，，则等于（　　）
A．1 B． C． D．
5． 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．﹣3＜m＜0 B．m＜﹣4或m＞3 C．m＜﹣3 D．m＞3
6． 执行如图所示的程序框图，输出的T=（　　）

A．21 B．43 C．53 D．64
7． 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．11 D．40
8． 若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（　　）

A． B．6π C． D．
9． 已知等比数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，若S5+4S3=5S4，则数列的最大项等于（　　）
A．﹣11 B． C． D．15
10． 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为（　　）
A． B． C． D．
11． 定义在R上的偶函数f（x）=e|x﹣k|﹣cosx（其中e为自然对数的底），记，b=f（log25），c=f（k+2），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
12． 已知直线l：y=kx+1与抛物线C：x2=2y相交于A，B两点，与y轴相交于点E，点M满足，，过点M作抛物线的切线l'，l'与直线y=1相交于点N，则的值（　　）
A．等于8 B．等于4 C．等于2 D．与k有关

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 在的展开式中x﹣3的系数为　 　．
14． 设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则函数f（x）的单调递增区间是　 　．
15． 在圆C：（x﹣3）2+y2=3上任取一点P，则锐角（O为坐标原点）的概率是　 　．
16． 四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是　 　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c（2sinA+cosA）．
（1）求sinC；
（2）若，，求△ABC的面积．
18．（12.00分）为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
19．（12.00分）如图平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，AA1=6，DB1=4，AB⊥AD，平面BB1D1D⊥平面ABCD．
（1）求该平行六面体的体积；
（2）设点E是侧棱DD1的中点，求二面角E﹣B1C﹣D的余弦值．

20．（12.00分）已知椭圆C：的离心率，过点A（﹣m，0）、B（m，0）（m＞0）分别作两平行直线l1、l2，l1与椭圆C相交于M、N两点，l2与椭圆C相交于P、Q两点，且当直线l2过右焦点和上顶点时，四边形MNQP的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若四边形MNQP是菱形，求正数m的取值范围．
21．（12.00分）已知函数f（x）=xex+ax3+bx2+c（其中e为自然对数的底，a，b，c∈R）的导函数为y=f'（x）．
（1）当a=c=0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上零点的个数；
（2）设点A（0，f（0）），B（m，f（m））是函数f（x）图象上两点，若对任意的m＞0，割线AB的斜率都大于，求实数a的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣3a|．
（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对∀x∈R，∃a∈[﹣2，2]，使得不等式m2﹣|m|﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．

2018年江西省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|log3x＜1}，则A∩B等于（　　）
A．{1，2} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【分析】求出集合B的等价条件，结合交集定义进行求解即可．
【解答】解：B={x|log3x＜1}={x|0＜x＜3}，
则A∩B={1，2}，
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据交集的定义是解决本题的关键．比较基础．

2． 若复数z满足z（1﹣i）2=1+i，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：由z（1﹣i）2=1+i，得z=，
∴z在复平面内所对应的点的坐标为（，），位于第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金杖，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根长五尺的金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺重4斤．在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据上面的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则金杖的质量为（　　）
A．12斤 B．15斤 C．15.5斤 D．18斤
【分析】由题意可知等差数列的首项和第5项，再由通项公式求得公差，依次可得每一尺的重量；再由由等差数列的前n项和求得金杖的质量为．
【解答】解：由题意可知等差数列中a1=4，a5=2，
则d=，
∴，，．
∴每一尺依次重4斤，3.5斤，3斤，2.5斤，2斤；
S5=，
∴金杖重15斤．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．

4． 已知向量，的夹角为120°，且，，则等于（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据平面向量的数量积定义与模长公式，计算即可．
【解答】解：向量，的夹角为120°，且，
∴||==2；
又，∴•=2×1×cos120°=﹣1；
∴=+2•+=22+2×（﹣1）+12=3，
∴=．
故选：B．
【点评】本题考查了平面斜率数量积的定义与模长公式的应用问题，是基础题．

5． 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．﹣3＜m＜0 B．m＜﹣4或m＞3 C．m＜﹣3 D．m＞3
【分析】利用双曲线的简单性质列出不等式，求解即可．
【解答】解：方程表示双曲线，可得（m+4）（m﹣3）＞0，解得m＞3或m＜﹣4，
方程表示双曲线的一个充分不必要条件是：m＞3，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，充要条件的判断，考查计算能力．

6． 执行如图所示的程序框图，输出的T=（　　）

A．21 B．43 C．53 D．64
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当T=3时，不满足退出循环的条件，S=7，n=2，T=7
当T=7时，不满足退出循环的条件，S=10，n=3，T=13
当T=13时，不满足退出循环的条件，S=13，n=4，T=21
当T=21时，不满足退出循环的条件，S=16，n=5，T=31
当T=31时，不满足退出循环的条件，S=19，n=6，T=43
当T=43时，满足退出循环的条件，
故输出的T=43
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

7． 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最大值为（　　）
A．3 B．4 C．11 D．40
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x+3y，得y=﹣x+z，作出变量x，y满足约束条件对应的可行域，
平移直线y=﹣x+z，由平移可知当直线y=﹣x+z，经过点A时，直线y=﹣x+z，的截距最大，此时z取得最大值，
由，得A（2，3）
将B代入z=x+3y，得z=2+3×3=11，
即目标函数z=x+3y的最大值为11．
故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．

8． 若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（　　）

A． B．6π C． D．
【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据关系以及已知条件求出r，然后求解表面积即可．
【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：r，
该几何体的体积为，
可得：π=，
解得r=2，
半圆锥的表面积为：=6π+4．
故选：A．
【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．

9． 已知等比数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，若S5+4S3=5S4，则数列的最大项等于（　　）
A．﹣11 B． C． D．15
【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，数列为数列{bn}，分析可得q≠1，由等比数列的前n项和公式可得+4×=5×，变形可得：q2﹣5q+4=0，解可得q的值，即可得an=a1×qn﹣1=22n﹣1，由此可得==2+，即bn=2+，结合数列的函数特性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，数列为数列{bn}，
若q=1，若S5+4S3=5S4，则5a1+4×3a1=5×4a1，明显不成立，则q≠1，
若S5+4S3=5S4，则+4×=5×，
变形可得：q2﹣5q+4=0，
解可得q=4或q=1（舍），
则an=a1×qn﹣1=22n﹣1，
则==2+，即bn=2+，
当n=4时，bn取得最大值，且b4=15；
故选：D．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及等比数列的前n项和公式，关键求出等比数列的公比．

10． 已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在上的值域为（　　）
A． B． C． D．
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象平移法则写出g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象与性质求出g（x）的值域．
【解答】解：函数
=2（sinxcos﹣cosxsin）cosx+
=sinxcosx﹣cos2x+
=sin2x﹣cos2x
=sin（2x﹣），
将f（x）的图象向左平移个单位长度，
得y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，
∴g（x）=sin（2x+）；
又x∈时，2x+∈[0，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴g（x）的值域为[﹣，1]．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象平移和正弦函数的图象与性质的应用问题，是综合题．

11． 定义在R上的偶函数f（x）=e|x﹣k|﹣cosx（其中e为自然对数的底），记，b=f（log25），c=f（k+2），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【分析】由偶函数的定义可得k=0，讨论x＞0，f（x）的单调性，结合对数函数的单调性，即可得到所求大小关系．
【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）=e|x﹣k|﹣cosx，
可得f（﹣x）=f（x），即e|x﹣k|﹣cosx=e|﹣x﹣k|﹣cos（﹣x），
可得k=0，
即f（x）=e|x|﹣cosx，
当x＞0，可得f（x）=ex﹣cosx，
导数为f′（x）=ex+sinx＞0，
则f（x）在（0，+∞）递增，
由=f（log23）
b=f（log25），
c=f（k+2）=f（2），
且0＜log23＜2＜log25，
可得f（log23）＜f（2）＜f（log25），
即有a＜c＜b，
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查化简变形能力，以及运算能力，属于中档题．

12． 已知直线l：y=kx+1与抛物线C：x2=2y相交于A，B两点，与y轴相交于点E，点M满足，，过点M作抛物线的切线l'，l'与直线y=1相交于点N，则的值（　　）
A．等于8 B．等于4 C．等于2 D．与k有关
【分析】联立方程组消元，根据根于系数的关系和条件可得M点纵坐标为﹣1，设切线方程为y=mx﹣，分别令y=±1求出M，N的坐标，从而可得出答案．
【解答】解：联立方程组，
消元可得：x2﹣2kx﹣2=0，
设A（x1，），B（x2，），
则x1+x2=2k，x1x2=﹣2．
∵，，
∴xM=x1，==，
∴xM=x1，yM==﹣1，即M（x1，﹣1），
∴M在直线y=﹣1上．
显然过M的切线l′斜率必然存在，且不为0，
不妨设切线l′的方程为：y=mx+b，代入x2=2y可得x2﹣2mx﹣2b=0，
令△=4m2+8b=0可得b=﹣，即直线l′的方程为：y=mx﹣．
令y=1得x==，
令y=﹣1得x==﹣，
∴M（﹣，﹣1），N（，1），又E（0，1），
∴=（﹣）2+4，=（）2，
∴=（﹣）2+4﹣（）2=2．
故选：C．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13． 在的展开式中x﹣3的系数为　160　．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为﹣3求得r值，则答案可求．
【解答】解：由=．
令6﹣3r=﹣3，得r=3．
∴在的展开式中x﹣3的系数为．
故答案为：160．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．

14． 设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若对一切x∈R恒成立，则函数f（x）的单调递增区间是　[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）　．
【分析】利用辅助角公式化简，根据对一切x∈R恒成立，可得x=时取得最小值，即可求解．
【解答】解：函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+θ），tanθ=．
∵对一切x∈R恒成立，可得x=时取得最小值，
即+θ=．
令+θ=，
则θ=﹣．
令x，
解得：≤x≤，k∈Z．
函数f（x）的单调递增区间是[，]，k∈Z．
故答案为：[，]，k∈Z．
【点评】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力．

15． 在圆C：（x﹣3）2+y2=3上任取一点P，则锐角（O为坐标原点）的概率是　　．
【分析】由已知画出图形，求出满足使∠COP为锐角的P所占弧长，由测度比为长度比得答案．
【解答】解：如图，

圆C：（x﹣3）2+y2=3的圆心坐标C（3，0），半径为．
过O作倾斜角为的直线交圆于A，B，过C作CD⊥AB，
则CD=，可得，则，
∴劣弧AB得长度为，而半圆得长度为，
由测度比为长度比可得，锐角（O为坐标原点）的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概型，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

16． 四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是　[，20π]．　．
【分析】由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，由V==∈，可得SO∈[，2]，当SO=时，△SAB为等边△时，设N为正方形ABCD的外心，G为△SAB的外心，M为球心，此时球半径R=BM=，
当SO=时，△SAB为钝角△时，此时球半径R==．当SO=2时，△SAB为直角△，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，R=
【解答】解：如图，由题意可知，平面SAB⊥平面ABCD，过S作SO⊥AB，垂足为O，可得SO⊥面ABCD
∵四棱锥S﹣ABCD的体积取值范围为，则V==∈，
∴SO∈[，2]，
当SO=时，△SAB为等边△时，设N为正方形ABCD的外心，G为△SAB的外心，M为球心，
可得MN=OG=，此时球半径R=BM=，
当SO=时，△SAB为钝角△时，∠SAB=120°，△SAB外接圆半径r=2，外心到AB的距离为2sin60°=．
此时球半径R==．∴四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=20π

当SO=2时，△SAB为直角△，该四棱锥外接球就是以棱长为2的正方体的外接球，R=
∴四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积取值范围为：[，20π]．
故答案为：[，20π]．
【点评】本题考查棱锥、球体积的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12.00分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c（2sinA+cosA）．
（1）求sinC；
（2）若，，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，即可求得sinC的值；
（2）由正弦、余弦定理求得三边长，再计算△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，b=c（2sinA+cosA），
∴sinB=sinC（2sinA+cosA），
∴sin（A+C）=2sinAsinC+sinCcosA，
∴sinAcosC=2sinAsinC，
又sinA≠0，
∴cosC=2sinC，
∴sin2C+cos2C=sin2C+4sin2C=5sin2C=1，
解得sinC=；
（Ⅱ）由正弦定理得===，
设b=k，c=k，
所以cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=，
由余弦定理得：2=5k2+2k2﹣2×k×k×，
解得k2=2，
所以b=，c=2，
所以△ABC的面积为
S=acsinB=××2×=1．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数求值的问题，是中档题．

18．（12.00分）为选拔选手参加“中国诗词大会”，某中学举行一次“诗词大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图（图1），并作出样本分数的茎叶图（图2中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X表示所抽取的2名学生中得分在[80，90）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
【分析】（1）利用茎叶图和频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．
（2）分数在[80，90）内的学生有30人，分数在[90，100]内的学生有10人，抽取的2名学生中得分在[80，90）的人数X可能取值0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==100，
x==0.005，
y=0.100﹣0.005﹣0.015﹣0.040﹣0.014=0.030．
（2）分数在[80，90）内的学生有30人，分数在[90，100]内的学生有10人，
抽取的2名学生中得分在[80，90）的人数X可能取值0，1，2，
则P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
则X的分布列为：
X
0
1
2
P

所以EX==．
【点评】本题考查茎叶图和频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

19．（12.00分）如图平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，AA1=6，DB1=4，AB⊥AD，平面BB1D1D⊥平面ABCD．
（1）求该平行六面体的体积；
（2）设点E是侧棱DD1的中点，求二面角E﹣B1C﹣D的余弦值．

【分析】（1）求解三角形可得DB1⊥DB，结合平面BB1D1D⊥平面ABCD，得DB1⊥平面ABCD，由棱柱体积公式可得该平行六面体的体积；
（2）以D为原点，分别以DA、DC、DB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面EB1C与平面DB1C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣B1C﹣D的余弦值．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，
∵AB=4，AD=BC=2，∴BD=，
∴，则DB1⊥DB，
又平面BB1D1D⊥平面ABCD，∴DB1⊥平面ABCD，
∴，
即该平行六面体的体积V=32；
（2）如图，以D为原点，分别以DA、DC、DB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则D（0，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），B1（0，0，4），
，
∴点E的坐标为（﹣1，﹣2，2），
设平面EB1C的法向量，
由，取z=1，得，
又平面DB1C的一个法向量为．
∴cos＜＞=，
∴所求二面角的余弦值为．

【点评】本题考查棱锥的体积及其求法，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．

20．（12.00分）已知椭圆C：的离心率，过点A（﹣m，0）、B（m，0）（m＞0）分别作两平行直线l1、l2，l1与椭圆C相交于M、N两点，l2与椭圆C相交于P、Q两点，且当直线l2过右焦点和上顶点时，四边形MNQP的面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若四边形MNQP是菱形，求正数m的取值范围．
【分析】（1）由椭圆C的离心率，把椭圆方程可以化为x2+2y2=2c2，直线l2过右焦点和上顶点时，方程可以设为y=﹣x+c，联立方程组得：3x2﹣4cx=0，从而，进而四边形MNQP的面积为S==，解得c2=2，由此能求出椭圆方程．
（2）依题意可以分别设l1，l2的方程为：y=ky﹣m，x=ky+m，由椭圆的对称性得：|MN|=|PQ|，从而MNQP是平行四边形，MNQP是菱形，等价于MQ⊥NP，即OM⊥ON，将直线l1的方程代入椭圆方程得到：（k2+2）y2﹣2kmy+m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与直线垂直性质，结合已知条件能求出正数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵椭圆C：的离心率，
∴a2=2b2=2c2，椭圆方程可以化为x2+2y2=2c2，
直线l2过右焦点和上顶点时，方程可以设为y=﹣x+c，
联立，得：3x2﹣4cx=0，∴，
∴四边形MNQP的面积为S==，解得c2=2，
∴a2=4，b2=2，
∴椭圆方程为：=1．
（2）依题意可以分别设l1，l2的方程为：y=ky﹣m，x=ky+m，
由椭圆的对称性得：|MN|=|PQ|，
∴MNQP是平行四边形，MNQP是菱形，等价于MQ⊥NP，即OM⊥ON，
将直线l1的方程代入椭圆方程得到：（k2+2）y2﹣2kmy+m2﹣4=0，
由△＞0，得4k2m2﹣4（k2+2）（m2﹣4）＞0，∴m2＜2k2+4，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由OM⊥ON，得x1x2+y1y2=0，
得到：（ky1﹣m）（ky2﹣m）+y1y2=0，
∴（k2+1）y1y2﹣km（y1+y2）+m2=0，
从而：（k2+1）•﹣+m2=0，化简得：3m2=4k2+4，
∴，解得m≥，
∴正数m的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查正数的取值范围的求法，考查椭圆、直线方程的斜率、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21．（12.00分）已知函数f（x）=xex+ax3+bx2+c（其中e为自然对数的底，a，b，c∈R）的导函数为y=f'（x）．
（1）当a=c=0时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上零点的个数；
（2）设点A（0，f（0）），B（m，f（m））是函数f（x）图象上两点，若对任意的m＞0，割线AB的斜率都大于，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分类参数可得﹣b=g（x）=，判断g（x）的单调性，计算g（x）的最小值，讨论g（x）的最小值的符号得出结论；
（2）令kAB＞f′（）恒成立，可得em﹣e﹣e+am2＞0，利用导数判断左侧函数的单调性，根据函数单调性得出结论．
【解答】解：（1）a=c=0时，由f（x）=0可得﹣b=，记g（x）=，则g′（x）=，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，
所以当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=e，
①当﹣b＜e即b＞﹣e时，函数f（x）在区间（0，+∞）上无零点；
②当﹣b=e即b=﹣e时，函数f（x）在区间（0，+∞）上有一个零点；
③当﹣b＞e即b＜﹣e时，函数f（x）在区间（0，+∞）上有两个零点；
（2）f′（x）=ex+xex+3ax2+2bx，
f′（）=e+e++bm，kAB==em+am2+bm，
依题意：对任意的m∈（0，+∞），都有em+am2+bm＞e+e++bm，
即em﹣e﹣e+am2＞0，
记h（m）=em﹣e﹣e+am2，则h′（m）=em﹣e﹣me+am，
记φ（m）=h′（m），则φ′（m）=em﹣e﹣me+．
记r（m）=φ′（m），则r′（m）=em﹣e﹣me=e（e﹣﹣）≥e（+1﹣﹣）＞0，
所以当m＞0时，r（m）递增，所以r（m）＞r（0）=，
①当≥0即a≥﹣时，r（m）＞0，即φ′（m）＞0，
所以φ（m）在区间（0，+∞）上单调递增，
所以φ（m）＞φ（0）=0，即h′（m）＞0，从而h（m）在区间（0，+∞）上单调递增，
所以h（m）＞h（0）=0恒成立；
②当＜0即a＜﹣时，因为m＞0时，r（m）递增，
所以存在x0＞0，使得当0＜m＜x0时，r（m）＜0，即φ′（m）＜0，
所以φ（m）在区间（0，x0）上单调递减，
所以当0＜m＜x0时，φ（m）＜φ（0）=0，即h′（m）＜0，
所以0＜m＜x0时，h（m）在区间（0，x0）上单调递减，
所以当0＜m＜x0时，h（m）＜h（0）=0，
从而h（m）＞0在（0，+∞）上不恒成立．
综上：实数a的取值范围是[﹣，+∞）．
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|PA|•|PB|的取值范围．
【分析】（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数关系式的恒等变换求出结果．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为 ，
转换为直角坐标方程为：3x2+4y2=12，
整理得：．
（Ⅱ）因为点P在椭圆C的内部，故直线l与C恒有两个交点，
即a∈R，将直线l的参数方程与椭圆C的直角坐标方程联立，
得：，
整理得：（3+sin2α）t2+（4sinα+6cosα）t﹣8=0，
则：|PA||PB|=．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，一元二次方程根与系数的关系的应用．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣3a|．
（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对∀x∈R，∃a∈[﹣2，2]，使得不等式m2﹣|m|﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质求出其最小值，从而求出a的值即可；
（2）根据f（x）的最小值，得到故m的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）|x﹣2a|+|x﹣3a|≥|（x﹣2a）﹣（x﹣3a）|=|a|，
当且仅当x取介于2a和3a之间的数时，等号成立，
故f（x）的最小值为|a|，
∴a=±2；
（2）由（1）知f（x）的最小值为|a|，
故存在a∈[﹣2，2]，使m2﹣|m|＜|a|成立，
即m2﹣|m|＜2，
∴（|m|+1）（|m|﹣2）＜0，
∴﹣2＜m＜2．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道中档题．

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