高考数学一轮复习-导数中恒成立问题总结.doc

教学设计方案
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学科
数学
年级
高三
教材版本
人教A版
课题名称
导数中的恒成立问题
课时计划
4
上课时间

教学目标
同步教学知识内容

个性化学习问题解决

教学重点

教学难点

教学过程
教师活动

一、 要点精讲
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f（x）==。

说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））　　处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．常见函数的导出公式．
　（１）（C为常数）　　　　（２）
　（３）　　　　　　　（４）
（5） （6）

4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。

5．导数的应用
（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

二、 导数题型总结

题型一：利用导函数解析式求原函数解析式
例1：已知多项式函数的导数，且，求

例2：已知函数为偶函数，它的图象过点，且在处的切线方程为，求

题型二：求切线问题
例1：已知曲线方程为，则在点处切线的斜率为 ，切线的倾斜角为
例2：求曲线在原点处的切线方程

例3：已知函数在R上满足，则曲线
在点处的切线方程是

题型三：求倾斜角
例1：P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______

例2：．曲线在点 处的切线倾斜角为__________；

题型四：导数与函数图像问题
例1：若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在上的图象可能是 （ ）
y
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b

A ． B． C． D．.
例2函数y=ax2+ bx与y= (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）

例3函数的图像大致是（ ）

例4设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．

例5．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f ¢(x)可能为 （　）
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
y
O
D
x
x
y
O
图1

题型五：结合单调性求参数的取值范围

例1：已知函数在R是单调函数，则实数的取值范围是

例2：已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是

例3：已知向量，，若函数在区间上是增函数，求t 的取值范围

例4：已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是

例5：设函数
（1）求的单调区间和极值
（2）若关于的方程有三个不同实根，求a 的取值范围
（3）已知当时，恒成立，求实数k的取值范围

例6：已知在时取得极值
（1）求的值
（2）若对，恒成立，求c 的取值范围

例7：已知函数的图象与函数的图象关于点对称
（1）求函数的解析式
（2）若，且在区间上是减函数求实数a 的取值范围

题型六：求单调区间
例1.设函数，求的单调区间。

例2.设函数,求的单调区间。

题型七：求极值问题
例1．设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.

例2已知函数
（I）当时，求的极值;
（II）若 在上是增函数，求的取值范围

例3设定函数，且方程的两个根分别为1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

题型八：最值与参数问题
例1：求抛物线 上的点到直线的最短距离.

例2；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的值域；
（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

例3、已知函数，，且在区间上为增函数．
（1） 求实数的取值范围；
（2） 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

例4.已知函数的切线方程为y=3x+1
（Ⅰ）若函数处有极值，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

例5：已知三次函数在和时取极值，且．
(1) 求函数的表达式；
(2) 求函数的单调区间和极值；
(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件．

例6：已知
(1)当时, 求证在内是减函数;
(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.

例7：设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2） 若当时，恒有，试确定a的取值范围.

例8．已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围.

课后作业
1：求曲线在点出的切线与X轴，直线所围成的三角形的面积
切线方程为 三角形面积

2：求曲线分别满足下列条件的切线方程
（1）平行于直线 （2）垂直于直线
（3）与X轴成的倾斜角 （4）过点，且与曲线相切的直线

3：若函数有三个单调区间，则b 的取值范围是

4：求下列函数的单调区间
(1) (2) (3)

5：已知函数的两个极值点是和3 ，且，，求函数的解析式

6：已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，求的最值。

7、已知函数
（I）求的单调区间；
（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。

9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

10：已知函数在处取得极值，
（1）用表示；
（2）设函数如果在区间上存在极小值，求实数的取值范围.

11：（2006全国卷）设为实数，函数在和 都是增函数，求的取值范围。

12．（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。

13.已知函数f(x)=kx3－3x2+1(k≥0).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的极小值大于0, 求k的取值范围.

课后记
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ _____________________________
学生的接受程度：完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受□ ________________________________
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般□ 不积极□ ________________________________
学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________
配合需求：家长___________________________________________________________________________
学管师_________________________________________________________________________
备 注

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