资源描述
辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数：
学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课
类型
T 平行四边形的概念、性质
T 平行四边形的判定
C中位线定理
授课日期时段
教学内容
一、同步知识梳理
知识点1：平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
表示：平行四边形用符号“”来表示．
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．
知识点2：平行四边形的性质：
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
二、同步题型分析
题型1：平行四边形的边、角
例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．
分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．
解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得
∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补，
∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．
∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，
∴CD＝13 am．AD＝10 cm．
题后反思：注意充分利用性质解题．
例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．
分析：本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．
解：AE＝CF．
理由：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．
∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：
∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF
题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．
题型2：平行四边形的周长
例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）
图3
A. 6 B. 12 C. 18 D. 不确定
分析：本题主要考查平行四边形的性质:对角线互相平分。再由OE⊥BD，根据垂直平分线的性质得DE=BE,△BCE的周长=BE+BC+EC=CD+BC=6，平行四边形ABCD的周长就为12.
例2：在平行四边形ABCD中，已知对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝20，△AOB的周长为15，则CD＝______．
解：因为：三角形ABO的周长为15，AB=6，
所以：AO+BO=15--6=9，
因为：四边形ABCD是平行四边形，
所以：AC=2AO，BD=2BO，
所以：AC+BD=2AO+2BO
=2（AO+BO）
=2×9
=18
题型3：平行四边形的面积
例1：如图4，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB＝OD．已知S△OBC＝1，求四边形ABCD的面积．
图4
分析：要求四边形ABCD的面积，就要找到其与OBC的关系，考虑四边形ABCD是否为特殊四边形，即平行四边形，而从题中条件，利用“等底等高的两三角形面积相等”，问题得解．
解：因为AB∥CD，且OB＝OD，据“等底等高的两三角形面积相等”可得：四边形ABCD为平行四边形．利用平行四边形的性质，可得四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝4．
题后反思：“等底等高的两三角形面积相等”在平行四边形中也有很多不经意的好用处．
例2：在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为( )
A．2 B． C． D．15
图5
分析：可以设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C= BC=b，B2C边上的高是•5y=4y．
则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by= ．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．
解得S= ．
故选C．
题后反思：考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键．
例3：已知：如图6，在YABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△AEF的面积为2cm2，求YABCD的面积．
图6
解：由△AEF的面积为2，先以AB为底看，设Q为BF中点，则△FQE的面积=△AEF的面积（底相等，高也相等），同理，△QBE的面积=△AEF的面积=2，则△AEB的面积为6；再以AC为底看△ABC，EC=AC，AE=AC，则△EBC的面积=△ABE的面积的一半=3，则△ABC的面积=9,平行四边形ABCD的面积=18
三、课堂达标检测
1. 如图，YABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．
2. 如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．
4. 如图，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．
5. 如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．
6. 已知：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
7. 如图，YABCD中，∠B=60°，AB=6，则BC边上的高等于________．
(第7题) (第8题)
8. 如图，在YABCD中，∠A的平分线交BC于点E．若AB=3，AD=8，则EC=_______．
9. 如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC
的周长长8cm，求这个四边形各边长．
10. 如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周长为多少？
11. 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．
12. 已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．
13.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。
求证：△AEH≌△CGF。
【能力提升】
1． 如图，在中EF分别是AD、 CD 边上的点，
连接BE 、AF,他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H,则图中的全等三角形有 （ ）
A、2对 B、3对 C、4对 D、5对
2．在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5
3.如图,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 .
4．一题多变，培养应变能力
已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F． 求证：OE=OF．
（图1）
（图2） （图3） （图4）
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？（图2、图3）
变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H（如图4），你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？
5. 如图12-57，在△ABC中，点M，N在AB上，AM=BN，ME∥BC交AC于E，MG∥AC交BC于G，NH∥AC交BC于H,求证：AC=NH+MG。
6.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE。
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°？证明你的结论。
一、同步知识梳理
知识点3：平行四边的判定：
（1）
（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线：对角形互相平行的四边形是平行四边形
二、同步题型分析
题型1：平行四边形的判定
例1：如图7所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（ ）
图7
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
解析：本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线把平行四边形ABCD分成8个（不含原来）四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义，∵ EF∥AB，HG∥AD，它们的各边都平行．即有□ABCD，□DEOH，□HOFC，□AGOE，□GOFB，□AGHD，□GBCH，□ABFE，□EFCD．答案C
题后反思：先分清图中共有哪些四边形，然后根据定义去判断．
例2：如图8，已知六边形ABCDEF的每一个内角都是120°且AB＝l，DE＝2，BC＋CD＝8，求这个六边形的周长．
图8
分析：要求其周长，只要求出AF与EF的和即可．如何求？考虑到特殊角，结合三角形知识，可将六边形化归为平行四边形来解．
解：如图5，延长FA、CB相交于点G，延长CD、FE相交于点H，由已知，△ABG和△DEH都是等边三角形．所以∠G＝∠H＝60°．因为∠C＝∠F＝120°，则四边形CGFH为平行四边形，
GF＋FH＝CH＋CG＝CD＋DH＋CB＋BG ＝CD＋BC＋DE＋AB＝8＋1＋2＝11．
所以AF＋FE＝11－1－2＝8．
则该六边形的周长为：8＋8＋1＋2＝19．
题后反思：解题关键是作辅助线，将不规则的六边形变成平行四边形．
题型2：平行四边形的性质、判定
例1：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF．
图9
证明：因为ABCD是平行四边形，
所以 AD//BC，AD=BC，
因为 E，F分别是AD，BC的中点，
所以 ED=AD/2，BF=BC/2，
因为 AD=BC，
所以 ED=BF，
因为 AD//BC，ED=BF，
所以 四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
所以 BE=DF，且BE//DF。
例2：已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．
图10
证明：
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴①BE//DF
②∠BEA=∠DFC=90º....................................A
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD...........................................................S
AB//CD
∴∠BAE=∠DCF............................................A
∴⊿BAE≌⊿DCF（AAS）
∴BE=DF
∴四边形BEDF是平行四边形【对边平行且相等】
例3：如图11，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形 （ ）
A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB
图11
解析：由AE＝CF，OA＝OC，得OE＝OF．
∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形；由∠ADE＝∠CBF，或∠AED＝∠CFB，都能推出△ADE≌△CBF，∴AE＝CF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
答案：B
题后反思：本题所用方法叫“排除法”．在做选择题时经常用到，要注意总结．
二、课堂检测达标
1．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．
2．在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）．
（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=CD，AD=BC （D）AB=AD，CB=CD
3．下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（ ）．
（A）对角线互相垂直 （B）对角线相等 （C）对角线互相垂直且相等 （D）对角线互相平分
4．判断题：
(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )
(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )
(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )
(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )
6．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形.
7．已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DF∥BE，EF交BD于点O．求证：EO=OF．
8．已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC， 求证：BE=CF
9．在□ABCD中，O是对角线的交点。直线EF、MN都经过点O
求证：ME∥NF
【能力提升】
1．如图：由火柴棒拼出的一列图形，第n个图形由（n+1）个等边三角形拼成，通过观察，分析发现：
①第4个图形中平行四边形的个数为 ．
②第8个图形中平行四边形的个数为
2．下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑥个图形中平行四边形的个数为（ C ）
A．55 B． 42 C． 41 D． 29
3．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC交EB于F，求证：EF=FB．
4．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
5．如图，中，、分别在、上，与交于点，与交于点，猜想与间的关系，并证明你的猜想。
知识点4：三角形中位线定义及定理：
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；
（2）定理：三角形中位线平行且等于第三边的一半．
推论：经过三角形一边中点，且平行于另一边的直线，必经过第三边中点
一、专题精讲
例1：如 图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：延长DE至点F,使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF，DE=FE，因为点D为AB的中点，得到四边形DBCF是平行四边形，再由平行四边形的性质即可得证。
证明：
过C作CF//AB，交DE的延长线于F
因为CF//AB
所以∠A=∠ECF，∠ADE=∠F
因为点E为AC的中点
所以AE=CE
所以△ADE≌△CFE
所以AD=CF，DE=FE
因为点D为AB的中点
所以AD=DB
又CF//AB，即CF//DB
所以四边形DBCF是平行四边形
所以DF//BC，DF=BC
又DE=FE，DE+FE=DF
所以DE//BC，DE= BC
例2：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
分析:首先连接AC，BD，由三角形中位线的性质，可判定EH∥FG，GH∥EF，继而可证得四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC，BD，
∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理：GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
例3：如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，求AG：GD
分析：过E作EM∥AB与GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比．
解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM=GD，
∵DE是中位线，
∴CE= AC，
又∵EM∥AG，
∴△CME∽△CGA，
∴EM：AG=CE：AC=1：2，
又∵EM=GD，
∴AG：GD=2：1．
二、专题过关
1．三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
3．如图1所示，EF是△ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_______cm．
(1) (2) (3) (4)
4．如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（ ）
A．15m B．25m C．30m D．20m
5．如图3所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
6．如图4,在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
7 如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF
8 如图所示，已知在□ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．
9.如图所示，在△ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分∠ACB，AE=EB，求证：EF=BD．
10.如图所示，□ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，求证：OE∥BC．
11.如图，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2CD，M，N分别为AD，BC的中点，连MN交AC、BD于点E、F，若ME=4，求EF的长度
11．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=AD．
12.已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．
13.已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．
【能力提升】
1．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ）
、 B、 C、 D、
2．如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？
4.如图，AD是△ABC的中线，EF为△ABC的中位线。求证：EF和AD互相平分。
5．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．
试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=（BC-AC）．
6．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
三、学法提炼
1、专题特点：三角形中位线性质及应用
2、解题方法：
（1）转化思想（又叫化归思想）四边形问题转化为三角形问题来处理．
（2）方程思想：在直接求平行四边形等的角或线段长等未知量有困难时，可通过设未知数用方程思想来求解。
（3）归纳探索思想：对于由给定条件寻求结论的这类探索性问题，一般是从给的条件出发，探索归纳猜想出结论，然后对猜想的结论进行证明。
3、注意事项 ：正确理解和应用三角形中位线的性质
课后作业
一、选择题
1．若平行四边形ABCD的周长是40cm，△ABC的周长是27cm，则AC的长为( )
A．13cm B．3cm C．7cm D．11.5 cm
2．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形
3．已知平行四边形周长为28cm，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为( )
A．4cm、10cm B．5cm、9cm C．6cm、8cm D．5cm、7cm
4．若A、B、C三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．能够判定四边形是平行四边形的条件是( )
A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相平分 D．一条邻角互补
6．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )
A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与18
7．已知下列三个命题
⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⑵一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形
⑶一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
其中错误的命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC = 10，BD = 8，则AD的取值范围是( )
A．AD＞1 B． AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞9
二、填空题
9．一个平行四边形的周长为40，两邻边的比为3∶5，则四边形的四条边长分别为_________．
10．一个平行四边形的一个内角比它的邻角大，则这个四边形的四个内角分别是________．
11．在平行四边形ABCD中，EF过对角线交点O，交CD、AB于E、F，若AB = 4cm，AD = 3cm，OF = 1.3cm，则四边形BCEF周长为_____________．
12．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_____．
13．在平行四边形ABCD中，对角线BD = 7cm，∠DBC =，BC = 5cm，则平行四边形ABCD的面积为___________．
14．从平行四边形的一锐角顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角，则此四边形的四个角分别为_____________．
三、解答题：
15．平行四边形周长等于68cm，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于80cm，两对角线的长度之比是2∶3，求两条对角线的长度．
16．如图，AD、BC垂直相交于点O，AB∥CD，又BC = 8，AD = 6，求：AB＋CD的长．
D
C
O
B
A
17．已知如图12-1-21所示，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BM＝DN.求证：四边形MENF是平行四边形．
18．如图,在平行四边形ABCD中,已知点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，
E
B
F
C
A
D
试说明四边形AFCE是平行四边形.
19．如图所示，在□ABCD中，AM=CN，试说明四边形MBND是平行四边形．
Ａ
Ｍ
Ｄ
Ｃ
Ｎ
Ｂ
A
E
F
B
C
D
20．已知如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,BC=AD,E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：BE=DF．
21.如图，在□ABCD中，E、F、G、H各点分别在AB、BC、CD、DA上，且AE=BF=CG=DH，请说明：EG与FH互相平分．
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｆ
Ｃ
Ｈ
Ｇ
22.如图所示，四边形中，分别是的中点，
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｂ
Ｏ
试说明．
23.已知如图所示，在□ABCD中，，．求证：四边形是平行四边形．
Ｎ
Ａ
Ｍ
Ｄ
Ｆ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
24.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
四、中考链接
1、（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）
2、（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________．
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