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高一数学对数函数经典题及详细答案.doc

上传人:a199****6536 文档编号:10449333 上传时间:2025-05-28 格式:DOC 页数:13 大小:1,006.05KB 下载积分:8 金币
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高一数学对数函数经典练习题 一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、已知,那么用表示是( ) A、 B、 C、 D、 答案A。 ∵3=2∴a=log2 则: log8-2log6=log2-2log(2*3) =3log2-2[log2+log3] =3a-2(a+1) =a-2 2、,则的值为( ) A、 B、4 C、1 D、4或1 答案B。 ∵2log(M-2N)=logM+logN, ∴log(M-2N)=log(MN),∴(M-2N)=MN, ∴M-4MN+4N=MN,m-5mn+4n=0(两边同除n)()-5+4=0,设x= x-5x+4=0(x-2*x+)-+=0 (x-)-=0 (x-)= x-= x=即 又∵,看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴=1即M=N舍去, 得M=4N 即=4 ∴答案为:4 3、已知,且等于( ) A、 B、 C、 D、 答案D。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n,loga(1-x)=-n两式相加得: loga [(1+x)(1-x)]=m-n loga(1-x²)=m-n ∵ x²+y²=1,x>0,y>0, y²=1- x²loga(y²)=m-n ∴2loga(y)=m-n loga(y)=(m-n) 4. 若x,x是方程lgx +(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2 = 0的两根,则xx的值是( ). (A).lg3·lg2 (B).lg6 (C).6 (D). 答案D ∵方程lgx+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为、,[注:lgx即(lgx),这里可把lgx看成能用X,这是二次方程。] ∴lg +lg= -= -(lg2+lg3) lg(×)= -lg(2×3) ∴lg(×)= -lg6=lg ∴×= 则x1•x2的值为 。 5、已知,那么等于( ) A、 B、 C、 D、 答案C ∵log【log(logX)】=0∴log(logx)=1logx=3x=8 x=8=2=2==== 6.已知lg2=a,lg3=b,则等于( ) A. B. C. D. 答案C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 (注:lg10=1) ∴比值为(2a+b)/(1-a+b) 7、函数的定义域是( ) A、 B、 C、 D、 答案A 的定义域是 ∴答案为: 8、函数的值域是( ) A、 B、 C、 D、 答案为:C ,y=(-,-3] ∵x-6x+17=x²-6x+9+8=(x-3)²+8≥8,∵log= log=(-1) log= - log (∴- logx单调减 logx单调减 log[(x-3)²+8] 单调减.,为减函数 ∴x-6x+17=(x-3)²+8 ,x取最小值时(x-3)²+8有最大值 (x-3)²+8=0最小,x=3, 有最大值8, log[(x-3)²+8]= log8= - log8= -3, ∴值域 y≤-3∴y=(-,-3][注:Y=x-6x+17 顶点坐标为(3,8),这个Y为通用Y] 9、若,那么满足的条件是( ) A、 B、 C、 D、 答案为:C {对数函数的定义:一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R。对数函数的解析式: y=logax(a>0,且a≠1)。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】}分析:根据对数函数的图象与性质可知,当x=9>1时,对数值小于0,所以得到m与n都大于0小于1,又logm9<logn9,根据对数函数的性质可知当底数小于1时,取相同的自变量,底数越大对数值越小,所以得到m大于n. ∵logm9<0,logn9<0,得到0<m<1,0<n<1;又logm9<logn9,得到m>n, ∴m.n满足的条件是0<n<m<1. (注另解:∵logm9<0,logn9<0,得到0<m<1,0<n<1;也可化成logm9=, logn9=,则<<0 由于lg9大于0 ∴<n<m,0<n<m<1. 【注:换底公式 a,c均大于零且不等于1】 10、,则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 答案为:A. ①0<a<1时则loga(x)是减函数, 1=loga(a),∵,即loga(2/3)<loga(a) ∴2/3>a此时上面有0<a<1综述得0<a<2/3 ②a>1时则loga(x)是增函数, loga(2/3)<1(即loga) ∴2/3<a此时上面有a>1综述得取a>1有效。∴0<a<,a>1 11、下列函数中,在上为增函数的是( ) A、 B、 C、 D、 答案为:D。 A、 x+1在(0,2)上是增函数 以为底的对数就是一个减函数 ∴复合函数y就是个减函数。 B、 在(0,2)上递增,但又不能取<1的数,x<1不在定义域(0,2)内 ∴不对。这种情况虽然是增,但(0,2)内含有<1的。 C、是减函数,以2为底的对数是个增函数,∴y为减函数 D、与A相反,x²-4x+5=(x-2)+1,对称轴为2,在(0,2)上递减,以的对数也是递减,所以复合函数是增函数 12.已知函数y=log (ax2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是( ) A.a > 1 B.0≤a< 1 C.0<a<1 D.0≤a≤1 答案为:C。 (注:对数函数定义底数则要>0且≠1 真数>0)∵函数y=log(ax+2x+1)的值域为R ∴ax+2x+1恒>0,令g(x)=ax+2x+1,显然函数g(x)=ax+2x+1是一个一元二次函数(抛物线),要使g(x)(即通用的Y)恒>0, ①必须使抛物线开口向上,即a>0 ②同时必须使△>0(保证抛物线始终在x轴上方,且与x轴没有交点,这也是△不能为0的原因)(注:如△<0, 抛物线可在x轴下方,且与x轴有交点) 即b-4ac=4-4a>0,解得a<1。∴则实数a的取值范围是0<a<1。 说明:答案是0<a<1,而不是0≤a≤1。 二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上) 13计算:log2.56.25+lg+ln+= . 答案为: 【注:自然常数e(约为2.71828)是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以e为底的对数。ln1=0,lne=1。 设2=x则由指数式化为对数式可得: logx= (log3) ∴x=3 ∵2=x, 又∵ x=3, ∴2=3.】 log2.56.25+lg+ln+= log2.5+ lg10+ lne+22 =2+(-3)++23=2-3++6=。 【注:假如是2,则2=2=2=2=2=】 14、函数的定义域是 。 答案为: (2)要使原函数有意义,则真数大于0,底数大于0,底数不等于1 。 ∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3)。 15、 。 lg25+lg2·lg50+(lg2)2 答案为:∵lg2+lg5=1 ,lg10=1 lg25+lg2lg50+(lg2) =lg5+lg2lg50+lg2lg2=2lg5+lg2(lg50+lg2) =2lg5+lg2lg(502) =2lg5+lg2lg100=2lg5+lg2lg10=2lg5+lg22lg10 =2lg5+2lg2=2(lg5+lg2) =2lg10=2 16、函数是 (奇、偶)函数。 答案为: 第①种解:∵f(-x)=lg(+x)=lg(+x)* =lg=lg=lg = lg=lg(-x)= -lg(-x)= -f(x), f(-x) = -f(x)∴是奇函数 第②种解: ∵f(-x)+f(x)= lg(+x)+ lg(-x)= lg[(+x)(-x)]= lg(x+1-x)= lg1=0, f(-x)-f (x)=0,∴f(-x)与f (x)互为正负数 ∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数. 三、解答题:(本题共3小题,共36分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17已知y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,求a的取值范围. 答案为:【对数函数含义:一般地,如果a(a>0,且a≠1)的y次幂等于x,那么数y叫做以a为底x的对数,记作logax=y,其中a叫做对数的底数,x叫做真数。y叫对数(即是幂)。注意:负数和0没有对数。 底数a则要>0且≠1,真数x>0。并且,在比较两个函数值时: 对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称: 以上要熟记】 解题:∵y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,∵a>0,真数(2-ax)已经是减函数了,然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底a要是增函数,∵增减复合才得减,∴由函数通用定义知要使函数成增函数必a>1。 又∵函数定义域:2-ax >0得ax<2, ∴x< 又∴a是对数的底数a>0且a≠1。∵[0,1]区间内2-ax递减,∴当 即-ax 最大时,2-ax取得最小值,为2-a。 ∵x=1∵x<可得>1,∴a<2. ∴a的取值范围1<a<2 。 18、已知函数, (1)求的定义域;(2)判断的奇偶性。 解题:【注:定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。 如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了,那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数。 如果定义域不是全体实数,比如是全体正实数,那定义域在x轴的负半轴上都不能取值,当然更谈不上是对称了。 再比如定义域是全体负实数,那定义域在x轴正半轴也不能取值,所以定义域也不是关于原点对称。 举个例子:f(x)=此题的定义域是x1,那么如果定义域要是关于原点对称,x也-1。 再举个例子:f(x)=x的偶次方根,此题的定义域是x非负,x非负这个取值,关于原点的对称区间是x非正(没有)。 所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。】 解题:(即Y值的取值方向固定) (1)设x-3= t(t>-3),∵,∴f(t)=lg,又由>0,∴t>3(注:这里x非负), ∴ 的定义域为。 (2)∵的定义域不关于原点对称(x非负),∴为非奇非偶函数。 19、已知函数的定义域为,值域为,求的值。 解题: ∵f(x)=log的定义域为R,∵x+1>0,∴mx+8x+n>0恒成立. 令y= ,∵函数f(x)的值域(即log)为[0,2], ∴ 1≤y(即)≤9 。 y(x+1)=mx+8x+nyx+y -mx-8x-n=0(y-m)•x-8x+y-n=0 成立。 ∵x∈R,可设y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m)(y-n)≥0 -16 +(y-m)(y-n)0即 y-(m+n)y+mn-16≤0. ∵y=1和y=9是方程 y-(m+n)y+mn-16=0的两个根, ∴y+y= -=m+n=10,y+y=mn-16=9。m=10-n, (10-n) n-16=910n-n-25=0 n-10n +25=0(n-5)=25m=n=5。 若y-m=0,即y=m=n=5 时,对应的x=0,符合条件。综上可得,m=n=5。 20.已知x满足不等式2logx+7logx +3≤0,求函数f(x)=loglog的最大值和最小值。(换元法是必须要有的)求多种方法。 解题: 第①种解:设 a = logx,则原不等式 2logx+7logx +3≤0可化为: 2a + 7a + 3 ≤ 0 ∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0 ∴ -3 ≤ a ≤ -∴-3 ≤logx ≤- -3 ≤-logx ≤- ∴ ≤ logx ≤ 3。 解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便. f(x)=loglog= (logx -log4) × (logx -log2) =(logx -2) × (logx -1) 设 m = logx , ∵ ≤ logx ≤ 3 (已证) ∴ m ∈ [,3 ] 于是问题转化为: 求函数y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) 的最大值和最小值. 这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) y = f(x) = m - 3m + 2 = m-m+- y = f(x) = (m -)- 其中m ∈ [,3 ] 考察二次函数y = f(x) = (m -)- 开口向上、对称轴为 m = -= 、最小值为-、关键是定义域为m ∈[,3 ]. 画出二次函数y = f(x) = (m -)- 的图像, 由图知:对称轴在定义域范围之内, 故当m = 时,函数y = f(x) 取到最小值-; 当m = 3 时,函数y = f(x) 取到最大值,把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为: (3 -)-=(-)-=-=2. 第②种解:设 a = logx 则原不等式 2logx+7logx +3≤0可化为: 2a + 7a + 3 ≤ 0(这种基本化解要熟) ∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0 ∴ -3 ≤ a ≤ -(同上化得) ∴-3 ≤logx ≤ -(同上化得) ∴ ≤logx ≤ 3log2 ≤logx ≤log22≤ x ≤ 2 ∴≤ x ≤ 8∴x ∈[,8] f(x)=loglog=(logx -log4) ×(logx -log2) = (logx -2) × (logx -1)= (logx)- 3 logx + 2 = (logx -)- +2= (logx -)- ∵x∈[,8] 而 对称轴3/2在定义域[,8]之内。∴当x = 时,f(x)有最小值-; 当x = 8时,f(x)有最大值, 最大值为:(log8 -)- =(3 - )- = 2.。 21. 已知x>0,y0,且x+2y=1,求g=log (8xy+4y2+1)的最小值 解题: 第①种解由x+2y=1,得: 2y=1-x, ∴8xy+4y+1=4x2y+(2y)+1=4x(1-x)+ (1-x)+1 =4x-4x+1-2x+x+1 = -3x+2x+2= -3(x-x+)++2 = -3(x-)+, 当x=时,有最大值:, 而y=logx在定义域上是减函数, ∴当x=,y=时, log (8xy+4y+1)有最小值:log=-log7 - log3=log3-log7. 第②种解∵x+2y=1, ∴8xy+4y+1= x+4xy+4y+4xy-x+1=(x+2y)+4xy-x+1=1+4xy -x+1 = -x+4xy+2= -x+4x(-x)+ 2= -x+ 2x -2x+2 =-3x+2x+2= -3(x-x+)++2 = -3(x-)+, 当x=时,有最大值:, 而y=logx在定义域上是减函数, ∴当x=,y=时, log (8xy+4y+1)有最小值:log=-log7 - log3=log3-log7. 22. 已知函数f(x)=。 (1)判断f(x)的奇偶性与单调性; (2)求 【注:反函数一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f(x) 。反函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。 一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。 在微积分里,f(x)是用来指f的n次微分的。 若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible)。 简单的说,就是把y与x互换一下,比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2,把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2。在函数x=f(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f(y)中的字母x,y,把它改写成y=f(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称】 解题: ∵已知函数f(x)=,∴f(-x)== = -= - f(x), ∴是奇函数。 令a=10,则10 = ,a>0。 ∴y=f(x)= ,上下同a==-=1- 设a,a∈(-∞,+∞),且a> a, 则f(a) -f(a) =1--(1-)=-+ === ∵a=10>0,∴a>0,a+1>1。>0 ,∵a>a∴>0, ∴>0 f(a) -f(a)>0, ∴f(x)为增函数。 ∵f(x)= 1-。设y=1-y-1= -1-y= = ==-1a= a=。∵a=10,a=10∴10=2x=lgx=lg 即y=lg,∴=lg。
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