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高一数学对数函数经典练习题
一、选择题:(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、已知,那么用表示是( )
A、 B、 C、 D、
答案A。
∵3=2∴a=log2
则: log8-2log6=log2-2log(2*3) =3log2-2[log2+log3] =3a-2(a+1) =a-2
2、,则的值为( )
A、 B、4 C、1 D、4或1
答案B。
∵2log(M-2N)=logM+logN,
∴log(M-2N)=log(MN),∴(M-2N)=MN,
∴M-4MN+4N=MN,m-5mn+4n=0(两边同除n)()-5+4=0,设x=
x-5x+4=0(x-2*x+)-+=0 (x-)-=0 (x-)= x-=
x=即
又∵,看出M-2N>0 M>0 N>0
∴=1即M=N舍去, 得M=4N 即=4 ∴答案为:4
3、已知,且等于( )
A、 B、 C、 D、
答案D。
∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n,loga(1-x)=-n两式相加得: loga [(1+x)(1-x)]=m-n loga(1-x²)=m-n ∵ x²+y²=1,x>0,y>0, y²=1- x²loga(y²)=m-n
∴2loga(y)=m-n loga(y)=(m-n)
4. 若x,x是方程lgx +(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2 = 0的两根,则xx的值是( ).
(A).lg3·lg2 (B).lg6 (C).6 (D).
答案D
∵方程lgx+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为、,[注:lgx即(lgx),这里可把lgx看成能用X,这是二次方程。]
∴lg +lg= -= -(lg2+lg3) lg(×)= -lg(2×3)
∴lg(×)= -lg6=lg ∴×= 则x1•x2的值为 。
5、已知,那么等于( )
A、 B、 C、 D、
答案C
∵log【log(logX)】=0∴log(logx)=1logx=3x=8
x=8=2=2====
6.已知lg2=a,lg3=b,则等于( )
A. B. C. D.
答案C
lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b
lg15=lg=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 (注:lg10=1)
∴比值为(2a+b)/(1-a+b)
7、函数的定义域是( )
A、 B、
C、 D、
答案A
的定义域是
∴答案为:
8、函数的值域是( )
A、 B、 C、 D、
答案为:C ,y=(-,-3]
∵x-6x+17=x²-6x+9+8=(x-3)²+8≥8,∵log= log=(-1) log= - log (∴- logx单调减 logx单调减 log[(x-3)²+8] 单调减.,为减函数
∴x-6x+17=(x-3)²+8 ,x取最小值时(x-3)²+8有最大值 (x-3)²+8=0最小,x=3, 有最大值8, log[(x-3)²+8]= log8= - log8= -3, ∴值域 y≤-3∴y=(-,-3][注:Y=x-6x+17 顶点坐标为(3,8),这个Y为通用Y]
9、若,那么满足的条件是( )
A、 B、 C、 D、
答案为:C
{对数函数的定义:一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),值域是R。对数函数的解析式: y=logax(a>0,且a≠1)。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2,3,4,5,等等)】}分析:根据对数函数的图象与性质可知,当x=9>1时,对数值小于0,所以得到m与n都大于0小于1,又logm9<logn9,根据对数函数的性质可知当底数小于1时,取相同的自变量,底数越大对数值越小,所以得到m大于n.
∵logm9<0,logn9<0,得到0<m<1,0<n<1;又logm9<logn9,得到m>n,
∴m.n满足的条件是0<n<m<1.
(注另解:∵logm9<0,logn9<0,得到0<m<1,0<n<1;也可化成logm9=, logn9=,则<<0 由于lg9大于0 ∴<n<m,0<n<m<1.
【注:换底公式
a,c均大于零且不等于1】
10、,则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
答案为:A.
①0<a<1时则loga(x)是减函数, 1=loga(a),∵,即loga(2/3)<loga(a)
∴2/3>a此时上面有0<a<1综述得0<a<2/3
②a>1时则loga(x)是增函数, loga(2/3)<1(即loga)
∴2/3<a此时上面有a>1综述得取a>1有效。∴0<a<,a>1
11、下列函数中,在上为增函数的是( )
A、 B、
C、 D、
答案为:D。
A、 x+1在(0,2)上是增函数 以为底的对数就是一个减函数 ∴复合函数y就是个减函数。
B、 在(0,2)上递增,但又不能取<1的数,x<1不在定义域(0,2)内 ∴不对。这种情况虽然是增,但(0,2)内含有<1的。
C、是减函数,以2为底的对数是个增函数,∴y为减函数
D、与A相反,x²-4x+5=(x-2)+1,对称轴为2,在(0,2)上递减,以的对数也是递减,所以复合函数是增函数
12.已知函数y=log (ax2+2x+1)的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A.a > 1 B.0≤a< 1 C.0<a<1 D.0≤a≤1
答案为:C。
(注:对数函数定义底数则要>0且≠1 真数>0)∵函数y=log(ax+2x+1)的值域为R
∴ax+2x+1恒>0,令g(x)=ax+2x+1,显然函数g(x)=ax+2x+1是一个一元二次函数(抛物线),要使g(x)(即通用的Y)恒>0, ①必须使抛物线开口向上,即a>0
②同时必须使△>0(保证抛物线始终在x轴上方,且与x轴没有交点,这也是△不能为0的原因)(注:如△<0, 抛物线可在x轴下方,且与x轴有交点)
即b-4ac=4-4a>0,解得a<1。∴则实数a的取值范围是0<a<1。
说明:答案是0<a<1,而不是0≤a≤1。
二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上)
13计算:log2.56.25+lg+ln+= .
答案为:
【注:自然常数e(约为2.71828)是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以e为底的对数。ln1=0,lne=1。
设2=x则由指数式化为对数式可得: logx= (log3) ∴x=3
∵2=x, 又∵ x=3, ∴2=3.】
log2.56.25+lg+ln+= log2.5+ lg10+ lne+22
=2+(-3)++23=2-3++6=。 【注:假如是2,则2=2=2=2=2=】
14、函数的定义域是 。
答案为:
(2)要使原函数有意义,则真数大于0,底数大于0,底数不等于1 。
∴函数的定义域为(1,2)∪(2,3)。
15、 。
lg25+lg2·lg50+(lg2)2
答案为:∵lg2+lg5=1 ,lg10=1
lg25+lg2lg50+(lg2)
=lg5+lg2lg50+lg2lg2=2lg5+lg2(lg50+lg2) =2lg5+lg2lg(502)
=2lg5+lg2lg100=2lg5+lg2lg10=2lg5+lg22lg10
=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2) =2lg10=2
16、函数是 (奇、偶)函数。
答案为:
第①种解:∵f(-x)=lg(+x)=lg(+x)*
=lg=lg=lg
= lg=lg(-x)= -lg(-x)= -f(x), f(-x) = -f(x)∴是奇函数
第②种解:
∵f(-x)+f(x)= lg(+x)+ lg(-x)= lg[(+x)(-x)]= lg(x+1-x)= lg1=0, f(-x)-f (x)=0,∴f(-x)与f (x)互为正负数
∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数.
三、解答题:(本题共3小题,共36分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17已知y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,求a的取值范围.
答案为:【对数函数含义:一般地,如果a(a>0,且a≠1)的y次幂等于x,那么数y叫做以a为底x的对数,记作logax=y,其中a叫做对数的底数,x叫做真数。y叫对数(即是幂)。注意:负数和0没有对数。
底数a则要>0且≠1,真数x>0。并且,在比较两个函数值时:
对于不同大小a所表示的函数图形:关于X轴对称:
以上要熟记】
解题:∵y=loga(2-ax)在区间{0,1}上是x的减函数,∵a>0,真数(2-ax)已经是减函数了,然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底a要是增函数,∵增减复合才得减,∴由函数通用定义知要使函数成增函数必a>1。
又∵函数定义域:2-ax >0得ax<2, ∴x<
又∴a是对数的底数a>0且a≠1。∵[0,1]区间内2-ax递减,∴当 即-ax 最大时,2-ax取得最小值,为2-a。
∵x=1∵x<可得>1,∴a<2. ∴a的取值范围1<a<2 。
18、已知函数,
(1)求的定义域;(2)判断的奇偶性。
解题:【注:定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。
如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了,那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数。
如果定义域不是全体实数,比如是全体正实数,那定义域在x轴的负半轴上都不能取值,当然更谈不上是对称了。
再比如定义域是全体负实数,那定义域在x轴正半轴也不能取值,所以定义域也不是关于原点对称。
举个例子:f(x)=此题的定义域是x1,那么如果定义域要是关于原点对称,x也-1。
再举个例子:f(x)=x的偶次方根,此题的定义域是x非负,x非负这个取值,关于原点的对称区间是x非正(没有)。
所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。】
解题:(即Y值的取值方向固定)
(1)设x-3= t(t>-3),∵,∴f(t)=lg,又由>0,∴t>3(注:这里x非负),
∴ 的定义域为。
(2)∵的定义域不关于原点对称(x非负),∴为非奇非偶函数。
19、已知函数的定义域为,值域为,求的值。
解题:
∵f(x)=log的定义域为R,∵x+1>0,∴mx+8x+n>0恒成立.
令y= ,∵函数f(x)的值域(即log)为[0,2],
∴ 1≤y(即)≤9 。 y(x+1)=mx+8x+nyx+y -mx-8x-n=0(y-m)•x-8x+y-n=0 成立。
∵x∈R,可设y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m)(y-n)≥0
-16 +(y-m)(y-n)0即 y-(m+n)y+mn-16≤0.
∵y=1和y=9是方程 y-(m+n)y+mn-16=0的两个根,
∴y+y= -=m+n=10,y+y=mn-16=9。m=10-n,
(10-n) n-16=910n-n-25=0 n-10n +25=0(n-5)=25m=n=5。
若y-m=0,即y=m=n=5 时,对应的x=0,符合条件。综上可得,m=n=5。
20.已知x满足不等式2logx+7logx +3≤0,求函数f(x)=loglog的最大值和最小值。(换元法是必须要有的)求多种方法。
解题:
第①种解:设 a = logx,则原不等式
2logx+7logx +3≤0可化为: 2a + 7a + 3 ≤ 0
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ -3 ≤ a ≤ -∴-3 ≤logx ≤-
-3 ≤-logx ≤-
∴ ≤ logx ≤ 3。
解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便.
f(x)=loglog= (logx -log4) × (logx -log2)
=(logx -2) × (logx -1)
设 m = logx ,
∵ ≤ logx ≤ 3 (已证)
∴ m ∈ [,3 ]
于是问题转化为:
求函数y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 ) 的最大值和最小值.
这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题.
y = f(x) = ( m - 2 ) × ( m -1 )
y = f(x) = m - 3m + 2 = m-m+-
y = f(x) = (m -)- 其中m ∈ [,3 ]
考察二次函数y = f(x) = (m -)-
开口向上、对称轴为 m = -= 、最小值为-、关键是定义域为m ∈[,3 ].
画出二次函数y = f(x) = (m -)- 的图像,
由图知:对称轴在定义域范围之内,
故当m = 时,函数y = f(x) 取到最小值-;
当m = 3 时,函数y = f(x) 取到最大值,把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为:
(3 -)-=(-)-=-=2.
第②种解:设 a = logx
则原不等式
2logx+7logx +3≤0可化为:
2a + 7a + 3 ≤ 0(这种基本化解要熟)
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ -3 ≤ a ≤ -(同上化得)
∴-3 ≤logx ≤ -(同上化得)
∴ ≤logx ≤ 3log2 ≤logx ≤log22≤ x ≤ 2
∴≤ x ≤ 8∴x ∈[,8]
f(x)=loglog=(logx -log4) ×(logx -log2)
= (logx -2) × (logx -1)= (logx)- 3 logx + 2
= (logx -)- +2= (logx -)-
∵x∈[,8] 而 对称轴3/2在定义域[,8]之内。∴当x = 时,f(x)有最小值-;
当x = 8时,f(x)有最大值,
最大值为:(log8 -)- =(3 - )- = 2.。
21. 已知x>0,y0,且x+2y=1,求g=log (8xy+4y2+1)的最小值
解题:
第①种解由x+2y=1,得:
2y=1-x,
∴8xy+4y+1=4x2y+(2y)+1=4x(1-x)+ (1-x)+1
=4x-4x+1-2x+x+1
= -3x+2x+2= -3(x-x+)++2
= -3(x-)+,
当x=时,有最大值:,
而y=logx在定义域上是减函数,
∴当x=,y=时,
log (8xy+4y+1)有最小值:log=-log7 - log3=log3-log7.
第②种解∵x+2y=1,
∴8xy+4y+1= x+4xy+4y+4xy-x+1=(x+2y)+4xy-x+1=1+4xy -x+1
= -x+4xy+2= -x+4x(-x)+ 2= -x+ 2x -2x+2
=-3x+2x+2= -3(x-x+)++2
= -3(x-)+,
当x=时,有最大值:,
而y=logx在定义域上是减函数,
∴当x=,y=时,
log (8xy+4y+1)有最小值:log=-log7 - log3=log3-log7.
22. 已知函数f(x)=。
(1)判断f(x)的奇偶性与单调性;
(2)求
【注:反函数一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f(x) 。反函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。
在微积分里,f(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible)。
简单的说,就是把y与x互换一下,比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2,把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2。在函数x=f(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y 表示函数,为此我们常常对调函数x=f(y)中的字母x,y,把它改写成y=f(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称】
解题:
∵已知函数f(x)=,∴f(-x)== = -= - f(x), ∴是奇函数。
令a=10,则10 = ,a>0。
∴y=f(x)= ,上下同a==-=1-
设a,a∈(-∞,+∞),且a> a,
则f(a) -f(a) =1--(1-)=-+
===
∵a=10>0,∴a>0,a+1>1。>0 ,∵a>a∴>0,
∴>0 f(a) -f(a)>0, ∴f(x)为增函数。
∵f(x)= 1-。设y=1-y-1= -1-y=
= ==-1a=
a=。∵a=10,a=10∴10=2x=lgx=lg
即y=lg,∴=lg。
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