高一数学对数函数经典题及详细答案.doc

高一数学对数函数经典练习题

一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知，那么用表示是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案A。
∵3=2∴a=log2
则: log8-2log6=log2-2log(2*3) =3log2-2[log2+log3] =3a-2(a+1) =a-2
2、，则的值为（ ）
A、 B、4 C、1 D、4或1
答案B。
∵2logM-2N）=logM+logN，
∴log(M-2N)=log(MN），∴（M-2N)=MN，
∴M-4MN+4N=MN，m-5mn+4n=0（两边同除n）()-5+4=0,设x=
x-5x+4=0(x-2*x+)-+=0 (x-)-=0 (x-)= x-=
x=即
又∵，看出M-2N>0 M>0 N>0
∴=1即M=N舍去， 得M=4N 即=4 ∴答案为：4
3、已知，且等于（ ）
A、 B、 C、 D、
答案D。
∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n，loga(1-x)=-n两式相加得： loga [(1+x)(1-x)]=m-n loga(1-x²)=m-n ∵ x²+y²=1，x>0，y>0, y²=1- x²loga(y²)=m-n
∴2loga(y)=m-n loga(y)=(m-n)
4. 若x，x是方程lgx ＋(lg3＋lg2)lgx＋lg3·lg2 = 0的两根，则xx的值是( )．
(A)．lg3·lg2 (B)．lg6 (C)．6 (D)．
答案D
∵方程lgx+（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为、，[注：lgx即（lgx)，这里可把lgx看成能用X，这是二次方程。]
∴lg +lg= -= -（lg2+lg3） lg（×）= -lg（2×3）
∴lg（×）= -lg6=lg ∴×= 则x1•x2的值为 。
5、已知，那么等于（ ）
A、 B、 C、 D、
答案C
∵log【log(logX)】=0∴log(logx)=1logx=3x=8
x=8=2=2====
6．已知lg2=a，lg3=b，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案C
lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b
lg15=lg=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 （注：lg10=1）
∴比值为（2a+b)/(1-a+b)
7、函数的定义域是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案A
的定义域是

∴答案为：

8、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案为：C ,y=(-,-3］
∵x-6x+17=x²-6x+9+8=(x-3)²+8≥8，∵log= log=(-1) log= - log (∴- logx单调减 logx单调减 log[(x-3)²+8] 单调减.,为减函数
∴x-6x+17=(x-3)²+8 ,x取最小值时(x-3)²+8有最大值 (x-3)²+8=0最小,x=3, 有最大值8, log[(x-3)²+8]= log8= - log8= -3, ∴值域 y≤-3∴y=(-,-3］[注：Y=x-6x+17 顶点坐标为（3，8），这个Y为通用Y]

9、若，那么满足的条件是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案为：C
｛对数函数的定义：一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。对数函数的解析式： y=logax（a＞0，且a≠1）。对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】｝分析：根据对数函数的图象与性质可知，当x=9＞1时，对数值小于0，所以得到m与n都大于0小于1，又logm9＜logn9，得到m＞n，
∴m．n满足的条件是0＜n＜m＜1．
（注另解：∵logm9＜0，logn9＜0，得到0＜m＜1，0＜n＜1；也可化成logm9=， logn9=，则<<0 由于lg9大于0 ∴a此时上面有01时则loga(x)是增函数， loga(2/3)<1（即loga）
∴2/31综述得取a>1有效。∴01
11、下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案为：D。
A、 x+1在（0,2）上是增函数 以为底的对数就是一个减函数 ∴复合函数y就是个减函数。
B、 在（0,2）上递增，但又不能取<1的数，x<1不在定义域（0,2）内 ∴不对。这种情况虽然是增，但（0,2）内含有<1的。
C、是减函数，以2为底的对数是个增函数，∴y为减函数

D、与A相反，x²-4x+5=(x-2)+1,对称轴为2，在（0,2）上递减，以的对数也是递减，所以复合函数是增函数
12．已知函数y=log (ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．a ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1
答案为：C。
（注：对数函数定义底数则要>0且≠1 真数>0）∵函数y=log(ax+2x+1)的值域为R
∴ax+2x+1恒>0,令g(x)=ax+2x+1,显然函数g(x)=ax+2x+1是一个一元二次函数（抛物线）,要使g(x)（即通用的Y）恒>0, ①必须使抛物线开口向上即a＞0
②同时必须使△＞0（保证抛物线始终在x轴上方,且与x轴没有交点,这也是△不能为0的原因）(注：如△<0, 抛物线可在x轴下方,且与x轴有交点)
即b-4ac=4-4a＞0,解得a＜1。∴则实数a的取值范围是0＜a＜1。
说明：答案是0＜a＜1,而不是0≤a≤1。

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
13计算：log2.56.25＋lg＋ln＋= ．
答案为：
【注：自然常数e（约为2.71828）是一个无限不循环小数。是为超越数。ln 就是以e为底的对数。ln1=0，lne=1。
设2=x则由指数式化为对数式可得： logx= (log3) ∴x=3
∵2=x, 又∵ x=3, ∴2=3.】
log2.56.25＋lg＋ln＋= log2.5+ lg10+ lne+22
=2+(-3)++23=2-3++6=。 【注：假如是2，则2=2=2=2=2=】
14、函数的定义域是 。
答案为：
（2）要使原函数有意义，则真数大于0，底数大于0，底数不等于1 。
∴函数的定义域为（1，2）∪（2，3）。
15、 。
lg25+lg2·lg50+（lg2）2
答案为：∵lg2+lg5=1 ，lg10=1
lg25+lg2lg50+(lg2)
=lg5+lg2lg50+lg2lg2=2lg5+lg2(lg50+lg2) =2lg5+lg2lg(502)
=2lg5+lg2lg100=2lg5+lg2lg10=2lg5+lg22lg10
=2lg5+2lg2=2(lg5+lg2) =2lg10=2
16、函数是 （奇、偶）函数。
答案为：
第①种解：∵f(-x)=lg(+x)=lg（+x）*
=lg=lg=lg
= lg=lg(-x)= -lg（-x）= -f(x), f(-x) = -f(x)∴是奇函数
第②种解：
∵f（-x）+f（x）= lg(+x)+ lg（-x）= lg[(+x)x）]= lg（x+1-x）= lg1=0, f(-x)-f (x)=0,∴f(-x)与f (x)互为正负数
∴f(-x)= -f(x)，∴f（x）为奇函数．
三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．
答案为：【对数函数含义：一般地，如果a（a>0，且a≠1）的y次幂等于x，那么数y叫做以a为底x的对数，记作logax=y，其中a叫做对数的底数，x叫做真数。y叫对数(即是幂)。注意：负数和0没有对数。
底数a则要>0且≠1，真数x>0。并且，在比较两个函数值时

对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称：

以上要熟记】

解题：∵y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，∵a>0，真数（2-ax）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数,那么对数底a要是增函数，∵增减复合才得减，∴由函数通用定义知要使函数成增函数必a>1。
又∵函数定义域：2-ax >0得ax＜2, ∴x＜
又∴a是对数的底数a＞0且a≠1。∵［0,1］区间内2-ax递减,∴当 即-ax 最大时，2-ax取得最小值，为2-a。
∵x=1∵x＜可得＞1,∴a＜2. ∴a的取值范围12)判断的奇偶性。
解题：【注：定义域没有与原点对称的函数是非奇非偶函数。
如果定义域是全体实数,那肯定就是关于原点对称了，那就可能或奇或偶函数、既奇又偶函数。
如果定义域不是全体实数，比如是全体正实数，那定义域在x轴的负半轴上都不能取值，当然更谈不上是对称了。
再比如定义域是全体负实数，那定义域在x轴正半轴也不能取值，所以定义域也不是关于原点对称。
举个例子：f（x）=此题的定义域是x1，那么如果定义域要是关于原点对称，x也-1。
再举个例子：f（x）=x的偶次方根，此题的定义域是x非负，x非负这个取值,关于原点的对称区间是x非正（没有）。
所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。】
解题：（即Y值的取值方向固定）
（1）设x-3= t（t＞-3），∵，∴f(t)=lg，又由>0,∴t>3(注：这里x非负)，
∴ 的定义域为。
（2）∵的定义域不关于原点对称(x非负)，∴为非奇非偶函数。
19、已知函数的定义域为，值域为，求的值。
解题：
∵f（x）=log的定义域为R，∵x+1＞0，∴mx+8x+n＞0恒成立．
令y= ，∵函数f（x）的值域（即log）为[0，2]，
∴ 1≤y（即）≤9 。 y(x+1)=mx+8x+nyx+y -mx-8x-n=0（y-m）•x-8x+y-n=0 成立。
∵x∈R，可设y-m≠0，∴方程的判别式△64-4（y-m）（y-n）≥0
-16 +（y-m）（y-n）0即 y-（m+n）y+mn-16≤0．
∵y=1和y=9是方程 y-（m+n）y+mn-16=0的两个根，
∴y+y= -=m+n=10，y+y=mn-16=9。m=10-n,
(10-n) n-16=910n-n-25=0 n-10n +25=0(n-5)=25m=n=5。
若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件。综上可得，m=n=5。
20.已知x满足不等式2logx+7logx +3≤0，求函数f（x）=loglog的最大值和最小值。（换元法是必须要有的）求多种方法。
解题：
第①种解：设 a = logx，则原不等式
2logx+7logx +3≤0可化为： 2a + 7a + 3 ≤ 0
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －∴－3 ≤logx ≤－
－3 ≤－logx ≤－
∴ ≤ logx ≤ 3。
解以上不等式的所有方法中,“因式分解法”较为简便.
f（x）=loglog= (logx －log4) × (logx －log2)
=(logx －2) × (logx －1)
设 m = logx ,
∵ ≤ logx ≤ 3 （已证）
∴ m ∈ [,3 ]
于是问题转化为：
求函数y = f(x) = m － 2 ) × ( m －1 ) 的最大值和最小值.
这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题.
y = f(x) = ( m － 2 ) × ( m －1 )
y = f(x) = m － 3m ＋ 2 = m-m+-
y = f(x) = (m －)－ 其中m ∈ [,3 ]
考察二次函数y = f(x) = (m －)－
开口向上、对称轴为 m = －= 、最小值为－、关键是定义域为m ∈[,3 ].
画出二次函数y = f(x) = (m －)－ 的图像,
由图知：对称轴在定义域范围之内,
故当m = 时,函数y = f(x) 取到最小值－；
当m = 3 时,函数y = f(x) 取到最大值,把m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为：
(3 －)－=（-)－=－=2.
第②种解：设 a = logx
则原不等式
2logx+7logx +3≤0可化为：
2a + 7a + 3 ≤ 0（这种基本化解要熟）
∴(a + 3) (2a + 1) ≤ 0
∴ －3 ≤ a ≤ －(同上化得)
∴－3 ≤logx ≤ －(同上化得)
∴ ≤logx ≤ 3log2 ≤logx ≤log22≤ x ≤ 2
∴≤ x ≤ 8∴x ∈[,8]
f（x）=loglog=(logx －log4) ×(logx －log2)
= logx －2) × (logx －1)= （logx）－ 3 logx ＋ 2
= （logx －)－ ＋2= （logx －)－
∵x∈[,8] 而 对称轴3/2在定义域[,8]之内。∴当x = 时,f(x)有最小值－；
当x = 8时,f(x)有最大值,
最大值为：（log8 －)－ =(3 － )－ = 2.。
21. 已知x>0,y0,且x+2y=1,求g=log (8xy+4y2+1)的最小值
解题：
第①种解由x+2y=1,得：
2y=1-x,
∴8xy+4y+1=4x2y+(2y)+1=4x(1-x)+ (1-x)+1
=4x-4x+1-2x+x+1
= -3x+2x+2= -3(x-x+)++2
= -3(x-)+,
当x=时,有最大值：,
而y=logx在定义域上是减函数,
∴当x=,y=时,
log (8xy+4y+1)有最小值：log=-log7 - log3=log3-log7.

第②种解∵x+2y=1,
∴8xy+4y+1= x+4xy+4y+4xy-x+1=（x+2y)+4xy-x+1=1+4xy -x+1
= -x+4xy+2= -x+4x(-x)+ 2= -x+ 2x -2x+2
=-3x+2x+2= -3(x-x+)++2
= -3(x-)+,
当x=时,有最大值：,
而y=logx在定义域上是减函数,
∴当x=,y=时,
log (8xy+4y+1)有最小值：log=-log7 - log3=log3-log7.
22. 已知函数f(x)=。
（1）判断f(x)的奇偶性与单调性；
（2）求
【注：反函数一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f(x) 。反函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。
在微积分里，f(x)是用来指f的n次微分的。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
简单的说，就是把y与x互换一下，比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2，把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2。在函数x=f(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f(y)中的字母x,y，把它改写成y=f(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式
函数及其反函数的图形关于直线y=x对称】

解题：
∵已知函数f(x)=，∴f(-x)== = -= - f(x)， ∴是奇函数。
令a=10，则10 = ，a>0。
∴y=f(x)= ，上下同a==-=1-
设a，a∈（-∞，+∞），且a> a，
则f(a) -f(a) =1--(1-)=-+
===
∵a=10>0，∴a>0，a+1>1。>0 ，∵a>a∴>0，
∴>0 f(a) -f(a)>0， ∴f（x）为增函数。
∵f(x)= 1-。设y=1-y-1= -1-y=
= ==-1a=
a=。∵a=10，a=10∴10=2x=lgx=lg
即y=lg,∴=lg。