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3 计算题
1．完全竞争市场上，目前存在三家生产相同产品的企业，q表示各企业的产量。各企业的生产成本函数如下：企业1的短期生产成本函数为C1(q)=18+2q2+20q，企业2的短期生产成本函数为C2(q)=25+q2，企业3的短期生产成本函数为C3(q)=12+3q2+5q。试求：
（1）该产品的市场价格处于何种范围时，短期内三家企业的产量都为正（请说明理由）。
（2）短期市场供给曲线与长期市场供给曲线。（上海财大2005试）
解：（1）短期内只要价格高于平均可变成本，企业就进行生产：
（删除此处红色部分）企业1的平均可变成本AVC1＝2q＋20，其中，q＞0，该企业进行短期生产的条件是P＞Min（AVC1），即P＞20；
根据MC（q）=AVC（q） 的原则，对应不同的成本函数得到以下结论：
C1 = 18+2q2+20q→MC1=4q+20, AVC=2q+20
MC（q1）=AVC（q1）→4q+20=2q+20→q=0 P1=AVC=20
C2=25+q2→MC2=2q, AVC2=q
MC（q2）=AVC（q2） →2q=q→=0, p2=AVC2=0
C3=12+3q2+5q→MC3=6q+5 AVC3=3q+5
MC（q3）=AVC（q3）→6q+5=3q+5→q3=0 P3=AVC3=5
（删除此处红色部分）只有市场价格P20时，才可能三家企业都选择短期生产。
综合上面三个条件可知，只有市场价格P20时，才可能三家企业都选择短期生产,即产量都为正。
（2）①短期市场供给曲线
企业的短期供给曲线等于高于平均可变成本的边际成本曲线。
企业1的边际成本为：MC1＝4q＋20；由于市场是完全竞争的，边际收益MR＝P。
企业1遵循边际成本等于边际收益的利润最大化原则，即4q＋20＝P
所以其短期供给曲线为：
q＝（P－20）/4，（P＞20）
同理可得：企业2的短期供给曲线为：q＝P/2，（P＞0）
企业3的短期供给曲线为：q＝（P－5）/6，（P＞5）
把各企业的短期供给曲线横向加总，将得到短期市场供给曲线：
a．当5≥P＞0时，只有企业2进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝P/2；
b．当20≥P＞5时，企业2和企业3进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝P/2＋（P－5）/6＝（4P－5）/6；
c．当P＞20时，三个企业都将进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝（P－20）/4＋P/2＋（P－5）/6＝（11P－70）/12。
②长期市场供给曲线
在长期内，所有的要素都是可变的，企业仅仅在价格等于或高于收支相抵点时，才愿意进行生产，即长期内价格必须等于或高于长期的平均成本。企业的长期供给曲线是高于平均成本的边际成本曲线。
企业1的平均成本为：AC1＝18/q＋2q＋20，其中，q＞0，该企业进行长期生产的条件是P＞Min（AC1），即P＞32；
同理可得：企业2进行长期生产的条件是P＞50；
企业3进行长期生产的条件是P＞34。
与①用同样的方法，可得三个企业的长期供给曲线：
企业1的长期供给曲线为：q＝（P－20）/4，（P＞32）
企业2的长期供给曲线为：q＝P/2，（P＞10）
企业3的长期供给曲线为：q＝（P－5）/6，（P＞17）
把各企业的长期供给曲线横向加总，将得到长期市场供给曲线：
a．当P≤10时，没有企业生产，市场供给为零；
b．当17≥P＞10时，只有企业2进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝P/2；
c．当32≥P＞17时，企业2和企业3进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝P/2＋（P－5）/6＝（4P－5）/6；
d．当P＞32时，三个企业都将进行生产，此时市场供给曲线为：Q＝（P－20）/4＋P/2＋（P－5）/6＝（11P－70）/12。
1．完全竞争行业中某厂商的成本函数为：
试求：
(1)假设产品价格为66元，利润最大化时的产量及利润总额：
(2)由于竞争市场供求发生变化，由此决定的新价格为30元，在新价格下，厂商是否会发生亏损?如果会，最小的亏损额为多少?
(3)该厂商在什么情况下会停止生产?
(4)厂商的短期供给函数。（厦门大学2006试）
解：（1）厂商的成本函数为
则，又知P=66元。
根据利润极大化的条件P=MC，有：，
解得：Q=6，Q=－2（舍去）。
最大利润为：（元）
（2）由于市场供求发生变化，新的价格为P=30元，厂商是否发生亏损要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。
均衡条件都为P=MC，即，
则Q=4，或Q=0（舍去）。
此时利润
可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8元。
（3）厂商退出行业的条件是P小于AVC的最小值。
由
得：
有：
令，即，
解得：Q=3
当Q=3时，可见只要价格P<21，厂商就会停止生产。
（4）由
可得：
进而可得：
由于完全竞争厂商的短期供给曲线即为SMC曲线上大于和等于停止营业点的部分来表示，因此厂商的短期供给函数即为：
2．考虑一个有几家厂商的完全竞争的产业，所有厂商有相同的成本函数这里，。这个产业的需求曲线是，是价格。求
（1）每家厂商的长期供给函数。
（2）这个产业的长期供给函数。
（3）长期均衡的价格和这个产业的总产出。
（4）在长期存在于这个产业的均衡的厂商数。（中山大学2004试）
解：（1）由
得
当AC取最小值4时，
完全竞争厂商的长期供给曲线是平均成本最小处的边际成本曲线部分。所以每家厂商的供给函数为（），也即
（2）长期均衡时，有
联合解得
所以
由需求曲线，得市场需求量也即市场供给量为
所以市场上厂商个数为
市场供给曲线为
（3）由（2）可知，长期均衡时，价格为，总产出为
（4）由（2）可知，这个产业厂商个数为
3．已知某企业的生产函数，和为两种投入要素的数量，为常数，求出利润最大化的需求函数、供给函数和利润函数。讨论利润最大化时必须满足的约束条件。（北大2003试）
解：（1）企业的生产函数为
企业的等产量曲线如图6.6所示。
图6.6 企业的等产量曲线
此时，不管，的价格如何，其最佳投入比例都是＝。要使企业存在一个最大化的利润，必须使企业的生产函数为规模报酬递减的，即
中的。
∴
∴只有当时企业存在利润最大化的需求函数，供给函数及利润函数。
（2）企业的利润最大化问题为：，其中p为产品价格，分别为生产要素和的价格；又由（1）的分析可知：。
∴利润最大化问题又可转化为。对中的x求一阶导数并令其为零得：
∴
∴利润最大化的需求函数为
利润最大化的供给函数为
利润函数为
所需满足的条件为。
4．已知在一个完全竞争市场上，某个厂商的短期总成本函数为STC=0.1Q—2.5Q＋20Q＋10。求：
（1）这个厂商的短期平均成本函数（SAC）和可变成本函数（VC）。
（2）当市场价格P=40，这个厂商的短期均衡产量和总利润分别是多少？（人大2001试）
解：（1）∵短期总成本函数为
∴平均成本函数
可变成本函数
（2）完全竞争市场中厂商利润极大值时
∵
又知
即
解得：或（无经济意义，舍去）
∴总利润
5．某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000－5000P，供给函数为Q=40000＋2500P，求解下列问题：
（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？
（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？
（3）如果市场需求变化为Q=100000－5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？（北大1997试）
解：（1）由均衡条件知：70000－5000P=40000＋2500P
解得：P=4，Q=50000
均衡价格与长期平均成本的最低点相等，故处于长期均衡。
（2）n=50000/500=100
所以当处于长期均衡时，该行业有100个厂商。
（3）由均衡条件知：100000－5000P=40000＋2500P
得均衡价格P=8元，Q=60000
每个厂商q=60000/100=600
此时厂商的短期平均成本为4.5元，所以厂商盈利（8>4.5）。
6．已知某完全竞争市场中单个厂商的短期成本函数为：
试求厂商的短期供给函数。（人大2002试）
解：可变成本：
平均可变成本：
边际成本：
由AVC=MC ：
解得：Q=10，（没有经济意义，舍去）
因此：AVC=5
根据利润最大化的条件：P=MC，短期供给函数为：
即：，
7．假设某完全竞争的行业中有100个厂商，每个厂商的总成本函数为C＝36＋8q＋q2，其中q为单个厂商的产出量。行业的反需求函数为P＝32－Q/50，其中Q为行业的市场需求量。
（1）试求该产品的市场均衡价格和均衡数量。
（2）请问该市场处于长期均衡吗？为什么？（北京工商大学2005试）
解：（1）单个厂商的平均可变成本：
平均成本：
边际成本：
由，得：
短期供给曲线：
100个厂商的供给为
解得
（2）由，得每个厂商的产量，代入AC方程，得
所以有
所以该行业处于长期均衡。
8．某完全竞争行业中一小企业的产品单价为640元，其成本函数为TC=2400Q－20Q2＋Q3。
（1）求利润极大化时的产量，此产量的单位成本、总利润；
（2）假定这个企业在行业中是有代表性的，试问这一行业是否处于长期均衡状态？为什么？
（3）这一行业处于长期均衡时企业的产量，单位成本和价格各是多少？（华中科技大学2003试）
解：（1），成本函数
而均衡条件为
即
解得：（无经济意义，舍去）或
当时，
总利润
即利润极大时的产量是20，单位成本是240，总利润为8000。
（2）要判断行业是否处于长期均衡状态，只须判断P是否等于处于AC的最低点的值。
只须令
即
解得：
而
即不等于的最低点的值
该行业并没有处于长期均衡状态。
（3）当该行业处于均衡时，企业的产量为（上面已计算）。
单位成本
由于，所以价格也是140。
9．假设某完全竞争行业有100个相同的厂商，每个厂商的成本函数为。
（1）求市场供给函数。
（2）假设市场需求函数为，求市场的均衡价格和产量。
（3）假定对每单位产品征收0.9元的税，新的市场均衡价格和产量又为多少？厂商和消费者的税收负担各为多少？（东南大学2002试）
解：厂商的成本函数为S，则
所以，
显然，当产量Q≥0，则MC>AVC，故厂商的短期供给函数为P=MC。
即P=0.2Q＋1
故厂商的短期供给函数为P=0.2Q＋1，或者Q=5P－5（P≥1）。
因为该行业有100个相同的厂商，行业的供给曲线是各个厂商的供给曲线水平方向的相加，故行业的短期供给曲线也即供给函数为：
，即（P≥1）
（2）已知市场需求函数为，而市场供给函数为，市场均衡时，即500P－500=4000－400P。
解得：P=5，
市场均衡产量：。
（3）原来的行业的总供给函数为。当每单位产品征收0.9元的税后，行业的供给函数就变为：。行业的需求函数仍为。
市场均衡时，，即：
因此，新的市场均衡价格P=5.5，新的市场均衡产量为：。
由于税收的作用，产品的价格提高了0.5元（5.5元－5元=0.5元），但整个行业的销售量下降了200单位（1800－2000=－200）。进一步分析会发现，价格提高的数量（5.5元－5元=0.5元）小于每单位产品的税收的数量（0.9元）。可见，在0.9元的税收中，有0.5元通过价格转移到消费者身上，剩下的0.4元由厂商来承担。
10．某完全竞争行业中每个厂商的长期成本函数为LTC（q）=。假设市场需求函数是。试求市场的均衡价格，数量和厂商数目。（北大2000试）
解：已知，则，欲求LAC的最小值，只要令，即2q－4=0，q=2。
当每个厂商的产量为q=2时，长期平均成本最低，其长期平均成本为：。当价格p等于长期平均成本4时，厂商既不进入，也不退出，即整个行业处于均衡状态。故行业长期供给函数即供给曲线是水平的，行业的长期供给函数为p=4。
需求曲线为，而行业的供给函数为p=4。
所以行业需求量。
由于每个厂商长期均衡产量为2，若有n个厂商，则供给量。行业均衡时，，即1600=2n，n=800。故整个行业均衡价格为4，均衡产量为1600，厂商有800家。
11. 假设某完全竞争厂商使用劳动和资本从事生产，短期内资本数量不变而劳动数量可变，其成本曲线为：
LTC=2/3Q3 一16Q2+180Q；
STC=2Q3－24Q2+120Q+400；
求：（1）厂商预期的长期最低价格是多少？
（2）如果要素价格不变，短期厂商将继续经营的最低产品价格是多少？
（3）如果产品价格为120元，那么短期内厂商将生产多少产品？（南京大学2006试）
答：（1）在长期，对于完全竞争厂商而言，其达到均衡时必须满足条件：
P＝LAC＝LMC
LAC＝＝LMC＝，解得Q＝12，
所以厂商预期的长期最低价格为：P＝2×122－32×12＋180＝84。
（2）如果要素价格不变，短期内厂商生产必须满足条件：
在短期可变成本最小处，有AVC＝SMC，即：
所以Q＝6，所以。
因此短期厂商将继续经营的最低产品价格为：P＝48。
（3）如果产品价格为P＝120，则厂商的利润为：
利润最大化的一阶条件为：
解得短期内厂商将生产Q＝8。
12．完全竞争的成本固定不变行业包含许多厂商，每个厂商的长期总成本函数为：，q是每个厂商的年产量。又知市场需求函数为Q=6000－200P，Q是该行业的年销售量。
（1）计算厂商长期平均成本为最小的产量和销售价格。
（2）该行业的长期均衡产量是否为4500？
（3）长期均衡状态下该行业的厂商家数。
（4）假如政府决定用公开拍卖营业许可证（执照）600张的办法把该行业竞争人数减少到600个，即市场销售量为。问：（i）在新的市场均衡条件下，每家厂商的产量和销售价格为若干？（ii）假如营业许可证是免费领到的，每家厂商的利润为若干？（iii）若领到许可证的厂商的利润为零，每张营业许可证的竞争性均衡价格为若干？
解：（1）已知总成本函数为，所以平均成本函数。欲求LAC最小值的产量和价格，只要令，即，得。
。在长期均衡中，价格等于长期平均成本，即P=7.5。
（2）已知市场需求函数为Q=6000－200P，又已经知道厂商长期平均成本为最小的价格是P=7.5。这一价格就是行业长期均衡价格，因为只有行业长期均衡时厂商的产品价格才会等于最低平均成本。这样，将这一价格代入需求函数就可求得行业的长期均衡产量为Q=6000－200×7.5=4500。
（3）行业的长期均衡产量为4500，从（1）中又已知每个厂厂商的均衡产量为q=6，因此，该行业厂商人数为（家）。
（4）①如果政府用发放执照办法将该行业竞争人数减少到600家，即市场销售量为Q=600q，这一销售量就是市场的实际需求量，又已知市场需求函数为Q=6000－200P，因此，只要将这一销售量代入需求函数，就可求得每一厂商的需求函数，即，得。完全竞争行业中厂商均衡时，P=MC，即，于是得到厂商均衡产量q=7，均衡价格。这就是政府将该行业竞争人数减少到600家时每家厂商的产量和销售价格。
②假如营业许可证是免费领到的，则每家厂商的利润
③只要对每张营业证收费9.8，即可把每个厂商的超额利润化为零。
13．完全竞争厂商在长期当中，当其产量达到1000单位时，长期平均成本达到最低值3元。要求：
（1）如果市场需求曲线为，求长期均衡的价格和均衡产量，以及长期均衡当中厂商的个数。
（2）如果市场需求曲线由于某种原因变为，假设厂商无法在短期内调整其产量，求此时的市场价格及每个厂商的利润水平。
（3）给定（2）中的需求状况，求长期中均衡的价格和数量组合及此时的厂商个数。
（4）作图描绘（3）。
解：（1）厂商的长期均衡由其长期平均成本最低点给定。因此厂商长期最低平均成本等于均衡价格3元，单个厂商的均衡产量为1000个单位。已知需求曲线为长期行业供给S，所以厂商个数为：2000000/1000=2000（个）。
（2）尽管需求发生变化，但是由于厂商无法在短期内调整其产出水平，故供给量2000000为固定。令D=3200000－200000P=2000000，求得价格水平为P=6；此时，单个厂商的利润水平。
（3）随着需求的变化，长期当中，由于超额利润的存在，会促使新厂商进入到该行业当中来，使其均衡价格水平恢复到与其长期最低平均成本相等（3元）。与（1）类似，令长期供给。厂商的个数为2600000/1000=2600。
（4）作图6.7。
图6.7 完全竞争厂商的长期均衡
14．假设某完全竞争行业有1000个相同的厂商，他们都具有相同的边际成本函数MC=2Q＋2，固定成本100，又已知整个行业的需求曲线Q=8000－500P。
（1）试求厂商的短期供给曲线及整个行业的短期供给曲线。
（2）求厂商短期均衡时的产量。
（3）当企业获得正常利润时的产量及总成本。
解：（1）已知MC=2Q＋2，则对其积分得，AVC=Q＋2。
从AVC函数AVC=Q＋2及边际成本函数MC=2Q＋2，我们可以看出Q≥0时，MC≥AVC，所以厂商的短期供给曲线即为：
，或。
由于行业的供给短期曲线是短期供给曲线的水平加总，所以行业的供给为：。
（2）由市场需求函数和供给函数可求出行业的均衡价格
根据厂商均衡条件P=MR=MC，所以P=2Q＋2，，即厂商短期均衡时的产量为。
（3）当企业获得正常利润时，企业处于收支相抵点即MC=AC时，
将Q=10代入总成本。
15．完全竞争市场存在着大量的潜在进入者（如果该行业中存在经济利润）。假设该行业为成本不变行业，每个厂商有共同的成本曲线，当其产量为20个单位时，长期平均成本最低点为10元，市场需求曲线为D=1500－50P。求：
（1）该行业长期供给函数；
（2）长期当中，均衡的价格-数量组合及其厂商的个数；
（3）使得厂商位于长期均衡中的短期成本函数为，求出厂商的短期平均成本函数和边际成本函数以及当短期平均成本最低时的产出水平；
（4）厂商和行业的短期供给函数；
（5）假设市场需求曲线变为D=2000－50P，如果厂商无法在极短期内调整其产出水平，求出此时的价格及每个厂商的经济利润水平；
（6）在短期中，由（4）知行业短期供给函数，试回答（5）；
（7）求长期中，该行业的均衡价格-数量组合及其厂商个数。
解：（1）因为已假设该行业为成本不变行业，每个厂商的成本函数相同，所以在长期中，厂商的均衡产出水平由其长期平均成本最低点给定。行业供给曲线由与长期平均成本最低点相等的价格水平（10元）给出，即P=MC=AC=10。
（2）已知需求曲线为D=1500－50P，价格水平为10元，令行业供给S=D=1500－50×10=1000，且由题意知，每个厂商的均衡产出为20，所以厂商的个数为1000/20=50。
（3）厂商短期平均成本函数为，边际成本函数为。当AC最低时，AC=MC，即，求得产出水平为q=20。
（4）厂商的短期供给函数，即边际成本函数，由求得（P>10）；
行业短期供给函数为。
（5）由于厂商不能在极短期调整其产出水平，令S=1000=D=2000－50P，得P=20，此时单个厂商的利润水平为。
（6）行业短期供给函数由（4）知，为，令，得：50P＋500=2000－50P，解得P=15，产出水平为。
厂商的利润水平（短期内厂商数目不变，仍为50个，平均产出为，此时的平均成本为。
（7）长期中，均衡价格水平由于新厂商的进入将重新回到P=10元的水平（每个厂商均衡产出仍为20），令，厂商个数为1500/20=75。
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