高中微积分基本知识.doc

高中微积分基本知识

第一章、 极限与连续
一、 数列的极限
1． 数列
定义：
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项
界的概念：
一个数列，若，对，都有，则称是有界的：
若不论有多大，总，，则称是无界的
若，则称为的下界，称为的上界
有界的充要条件：既有上界，又有下界
2． 数列极限的概念
定义：
设为一个数列，为一个常数，若对，总,当时，有
则称是数列的极限，记作或
数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的
几何意义：
从第项开始，的所有项全部落在点的邻域
3． 数列极限的性质
①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系数列大小关系（时）
二、 函数的极限
1.定义：两种情形
①：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立， 则称在时有极限
记作或
几何意义：对，，当时，介于两直线
单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立，称在处有右极限，
记作或
的充要条件为：=
垂直渐近线：当时，为在处的渐近线
②：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作
或
的充要条件为：
水平渐进线： 若或，则是的水平渐近线
2.函数极限的性质：
①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当时成立）
三、 极限的运算法则
1． 四则运算法则
设、的极限存在，则
①
②
③ （当时）
④ （为常数）
⑤ （为正整数）
2． 复合运算法则
设，若，则
可以写成 （换元法基础）
四、极限存在准则及两个重要极限
1．极限存在准则
①夹逼准则
设有三个数列，，，满足
， 则
②单调有界准则
有界数列必有极限
3． 重要极限
① ② 或
五、无穷大与无穷小
1．无穷小：
在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小
※ 若，则为x在所有变化过程中的无穷小
若，则不是无穷小
性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小
2.常量与无穷小的乘积为无穷小
3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小
无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)
，为同一变化过程中的无穷小
若（常数） 则是的同阶无穷小 （当时为等价无穷小）
若（常数） 则是的k阶无穷小
若 则是的高阶无穷小
常用等价无穷小：()；
；；
2．无穷大：
设函数在的某去心邻域内有定义。若对于，当时，恒有
称当时为无穷大，记作
定理： （下：趋于某点，去心邻域不为0）
※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定
六、连续函数
1．定义
设函数在某邻域有定义，若对，当时，恒有：
也可记作 或
（或）为左（或右）连续
2．函数的间断点
第一类间断点：左右极限存在
第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数与都在处连续，则函数
，， （）
定理：，，若在处连续，在处连续，则在处连续

4． 闭区间连续函数的性质
① 最值定理：在上连续， 则，对一切有

②介值定理：在上连续，对于与之间的任何数，至少一点，

第二章、 导数

一、导数的概念
定义：设函数在点的某邻域有定义，如果极限
存在，则称函数在点可导，极限值为函数在点处的导数，记为
单侧导数：设函数在点处的左侧有定义，若极限
存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记为，类似有右导数
导函数：函数在某区间上可导，则

性质：①函数在点处可导的充要条件
②可导连续

导数的几何意义： 函数点处的切线斜率
二、求导法则
1．函数的和、差、积、商的求导法则
定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且

定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且

推论：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且

定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且

2．反函数的求导法则
定理：设函数在上单调可导，它的值域为，而，则其反函数在区间上可导，并且有

4． 复合函数的求导法则
定理：若函数在可导，函数在点可导，则复合函数在处可导
或 （连锁规则）
三、高阶导数
定义：若函数的导数仍可导，则导数为的二阶导数，记作， 类似的，有n阶导数
四、隐函数求导
对于,或，若求
求导法：方程两侧对x求导
微分法：方程两侧求微分
公式法： ，将方程化成=0，将F看成关于x,y的二元函数，分别对x,y求偏导
五、参数方程所确定的函数求导
，
导数公式
基本函数：

导数运算法则:

高阶导数

※1.
2.，需补充条件在处可导或该极限存在

第三章、微分
一、微分的概念
定义：设函数在某区间上有定义，，若可表示为
（其中A与无关） ，则称为y在处的微分，记作
※的区别：
当y为自变量时，
当y为因变量时，，，为y的线性主部
定理：对于一元函数，
性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分
二、微分的几何意义
“以直代曲”
三、微分中值定理
中值定理
条件
结论

Rolle
①上连续,②上可导,③

至少存在一点，使得

Lagrange
①上连续, ②上可导

Cauchy
①上连续, ②上可导，③

①有限增量定理：
②法则：
型未定式定值法：在的某去心邻域有定义，且，在的某去心邻域可导，且
，则有
，，，，，类似

四、函数的单调性与极值
1.单调性：
定理：设函数在上连续，在上可导，则
导数符号
原函数单调性

2.极值
定义：设函数在点某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有

则是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点。（极小值类似）
函数取得极值的一阶充分条件
函数在点去心邻域可导，且在处可导或导数不存在，则：
①当时，，时，，则是极大值
②当时，，时，，则是极小值
③无论还是，总有（或），则不是极值
函数取得极值的二阶充分条件
函数在点处具有二阶导数，且，，则
①若，则是极小值
②若，则是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质
1.原函数与不定积分
原函数：设在上有定义，若对，都有
或
则称为在上的一个原函数
原函数存在定理：若函数在上连续，则在上可导函数，对，都有。即连续函数一定有原函数
不定积分：设使的一个原函数，C为任意常数，称为的不定积分，记作

几何意义：积分曲线族
2.不定积分的性质：
①积分运算与微分运算为互逆运算
②
③
二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理：设有原函数，且具有连续导数，则有原函数

2.第二类换元积分法
定理：设连续，具有连续导数，且，则
，其中
三、分部积分法

四、有理函数的积分
1.简单有理函数的积分
①将真分式分解为部分分式之和
对于形式：应分解成k个部分分式
对于：应分解成个部分分式
②求4种积分
，，，
其中，对于，可令，
则，再利用递推法
2.三角函数有理式的积分
万能变换：， ，
其他方法：
形式
换元

一、

二、与
对于令
对于令
三、与 为偶数
对于令
对于令
四、
当n,m至少有一个为奇数时，可利用将其转化
当n,m均为偶数时，利用2倍角转化
五、
令 解出A,B
原函数为
积分表
()

第五章、定积分
一、定积分的定义
定义：设函数在上有界，在内任意插入n-1个分点

把分成n个小区间，().记，在第个区间上任取一点，用乘上区间长度，即，并作和.
记，无论怎么分割，无论怎么取，若时，趋于同一极限，则称此极限为在上的定积分.记作

可积定理：
①函数在上连续
②函数在上有界，且仅有有限个第一类间断点
③函数在上单调有界
二、定积分的性质
① ②
③区间可加性
④ ⑤单调性:若上则
⑥
⑦估值性质：设，分别为在上的最大值与最小值，则

⑧定积分中值定理：若在上连续，则在区间上至少存在一点,

⑨在上的平均值为
⑩若为奇函数，；若为偶函数
⑾
为周期函数，
三、微积分学基本定理
1.变上限函数

定理：若在上连续，则变上限函数可导，

2.原函数存在定理
若在上连续，则函数是在上的一个原函数
3.Newton-Leibniz公式
（微积分基本定理）在上连续，是在上一个原函数
则
※若不满足连续条件，可分段积分
四、定积分换元法
定理：设函数在上连续，函数满足：
①在上单调，值域为，
②在上具有连续导数
则有:
五、定积分的分部积分法
类似不定积分
六、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
设函数上连续，任取，若极限
存在
则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分，记作

类似定义上的广义积分
对于，令，为常数
2．无界函数的广义积分
设函数在上连续，而，取，如果极限
存在
则称此极限为函数在上的广义积分，记作

类似可定义b为无穷间断点时的广义积分
3.函数
含参变量的广义积分

称为函数
性质：
①
②当，
③余元公式：
④令，令 得
七、定积分的应用
1.求面积
2.求体积
①旋转体：旋转轴为，
②平行截面面积为已知的立体体积：平行截面是x的函数，
3.求弧长
①对于，
②参数方程 ，
③极坐标 ，
※为奇函数，则为偶函数；为偶函数，则中仅为奇函数

为周期函数，则为周期函数；为周期函数，且则为周期函数