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1、 高中微积分基本知识 第一章、 极限与连续 一、 数列的极限 1． 数列 定义： 按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 叫数列，记作，并吧每个数叫做数列的项，第n个数叫做数列的第n项或通项 界的概念： 一个数列，若，对，都有，则称是有界的： 若不论有多大，总，，则称是无界的 若，则称为的下界，称为的上界 有界的充要条件：既有上界，又有下界 2． 数列极限的概念 定义： 设为一个数列，为一个常数，若对，总,当时，有 则称是数列的极限，记作或 数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义： 从第项开始，的所有项全部落在点的邻域 3
2、． 数列极限的性质 ①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系数列大小关系（时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形 ①：设在点处的某去心邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立， 则称在时有极限 记作或 几何意义：对，，当时，介于两直线 单侧极限：设在点处的右侧某邻域内有定义，为常数，若对，，当时，恒有成立，称在处有右极限， 记作或 的充要条件为：= 垂直渐近线：当时，为在处的渐近线 ②：设函数在上有定义，为常数，若对，当时，有成立，则称在时有极限，记作 或 的充要条件为： 水平渐进线： 若或，则是的水平渐近线 2.函数极限的性质： ①唯一
3、性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当时成立） 三、 极限的运算法则 1． 四则运算法则 设、的极限存在，则 ① ② ③ （当时） ④ （为常数） ⑤ （为正整数） 2． 复合运算法则 设，若，则 可以写成 （换元法基础） 四、极限存在准则及两个重要极限 1．极限存在准则 ①夹逼准则 设有三个数列，，，满足 ， 则 ②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限 ① ② 或 五、无穷大与无穷小 1．无穷小： 在自变量某个变化过程中，则称为x在该变化过程中的无穷小 ※ 若，则为
4、x在所有变化过程中的无穷小 若，则不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小 4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小 5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小 定理：的充要条件是，其中为x在该变化中过程中的无穷小 无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较) ，为同一变化过程中的无穷小 若（常数） 则是的同阶无穷小 （当时为等价无穷小） 若（常数） 则是的k阶无穷小 若 则是的高阶无穷小 常用等价无穷小：()； ；； 2．无
5、穷大： 设函数在的某去心邻域内有定义。若对于，当时，恒有 称当时为无穷大，记作 定理： （下：趋于某点，去心邻域不为0） ※ 无穷大的乘积为无穷大， 其和、差、商不确定 六、连续函数 1．定义 设函数在某邻域有定义，若对，当时，恒有： 也可记作 或 （或）为左（或右）连续 2．函数的间断点 第一类间断点：左右极限存在 第二类间断点：无穷间断点，震荡间断点等 3.连续函数的运算 若函数与都在处连续，则函数 ，， （） 定理：，，若在处连续，在处连续，则在处连续 4． 闭区间连续函数的性质 ① 最值定理：在上连续， 则，对一切有
6、 ②介值定理：在上连续，对于与之间的任何数，至少一点， 第二章、 导数 一、导数的概念 定义：设函数在点的某邻域有定义，如果极限 存在，则称函数在点可导，极限值为函数在点处的导数，记为 单侧导数：设函数在点处的左侧有定义，若极限 存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记为，类似有右导数 导函数：函数在某区间上可导，则 性质：①函数在点处可导的充要条件 ②可导连续 导数的几何意义： 函数点处的切线斜率
7、 二、求导法则 1．函数的和、差、积、商的求导法则 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 推论：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 定理：若都在x处可导，则函数在x处也可导，且 2．反函数的求导法则 定理：设函数在上单调可导，它的值域为，而，则其反函数在区间上可导，并且有 4． 复合函数的求导法则 定理：若函数在可导，函数在点可导
8、则复合函数在处可导 或 （连锁规则） 三、高阶导数 定义：若函数的导数仍可导，则导数为的二阶导数，记作， 类似的，有n阶导数 四、隐函数求导 对于,或，若求 求导法：方程两侧对x求导 微分法：方程两侧求微分 公式法： ，将方程化成=0，将F看成关于x,y的二元函数，分别对x,y求偏导 五、参数方程所确定的函数求导 ， 导数公式 基本函数： 导数运算法则:
9、 高阶导数 ※1. 2.，需补充条件在处可导或该极限存在 第三章、微分 一、微分的概念 定义：设函数在某区间上有定义，，若可表示为 （其中A与无关） ，则称为y在处的微分，记作 ※的区别： 当y为自变量时， 当y为因变量时，，，为y的线性主部 定理：对于一元函数， 性质：一阶微分形式不变性，对于高阶微分 二、微分的几何意义 “以直
10、代曲” 三、微分中值定理 中值定理 条件 结论 Rolle ①上连续,②上可导,③ 至少存在一点，使得 Lagrange ①上连续, ②上可导 Cauchy ①上连续, ②上可导，③ ①有限增量定理： ②法则： 型未定式定值法：在的某去心邻域有定义，且，在的某去心邻域可导，且 ，则有 ，，，，，类似 四、函数的单调性与极值 1.单调性： 定理：设函数在上连续，在上可导，则 导数符号 原函数单调性 2.极值 定义：设函
11、数在点某邻域有定义，若对该邻域内一切x都有 则是函数的一个极大值，点为函数的一个极大值点。（极小值类似） 函数取得极值的一阶充分条件 函数在点去心邻域可导，且在处可导或导数不存在，则： ①当时，，时，，则是极大值 ②当时，，时，，则是极小值 ③无论还是，总有（或），则不是极值 函数取得极值的二阶充分条件 函数在点处具有二阶导数，且，，则 ①若，则是极小值 ②若，则是极大值 第四章、不定积分 一、不定积分的概念和性质 1.原函数与不定积分 原函数：设在上有定义，若对，都有 或 则称为在上的一个原函数
12、原函数存在定理：若函数在上连续，则在上可导函数，对，都有。即连续函数一定有原函数 不定积分：设使的一个原函数，C为任意常数，称为的不定积分，记作 几何意义：积分曲线族 2.不定积分的性质： ①积分运算与微分运算为互逆运算 ② ③ 二、换元积分法 1.第一类换元积分法 定理：设有原函数，且具有连续导数，则有原函数 2.第二类换元积分法 定理：设连续，具有连续导数，且，则 ，其中 三、分部积分法 四、有理函数的积分 1.简单有理函数的积分 ①将真分式分解为部分分式之和 对于形式：应分解成k个部分分式 对于：应分解成个部分分式 ②求4种积
13、分 ，，， 其中，对于，可令， 则，再利用递推法 2.三角函数有理式的积分 万能变换：， ， 其他方法： 形式 换元 一、 二、与 对于令 对于令 三、与 为偶数 对于令 对于令 四、 当n,m至少有一个为奇数时，可利用将其转化 当n,m均为偶数时，利用2倍角转化 五、 令 解出A,B 原函数为 积分表 () 第五章、定积分 一、定积
14、分的定义 定义：设函数在上有界，在内任意插入n-1个分点 把分成n个小区间，().记，在第个区间上任取一点，用乘上区间长度，即，并作和. 记，无论怎么分割，无论怎么取，若时，趋于同一极限，则称此极限为在上的定积分.记作 可积定理： ①函数在上连续 ②函数在上有界，且仅有有限个第一类间断点 ③函数在上单调有界 二、定积分的性质 ① ② ③区间可加性 ④ ⑤单调性:若上则 ⑥ ⑦估值性质：设，分别为在上的最大值与最小值，则 ⑧定积分中值定理：若在上连续，则在区间上至少存在一点, ⑨在上的平均值为 ⑩若为奇函数，；若为偶
15、函数 ⑾ 为周期函数， 三、微积分学基本定理 1.变上限函数 定理：若在上连续，则变上限函数可导， 2.原函数存在定理 若在上连续，则函数是在上的一个原函数 3.Newton-Leibniz公式 （微积分基本定理）在上连续，是在上一个原函数 则 ※若不满足连续条件，可分段积分 四、定积分换元法 定理：设函数在上连续，函数满足： ①在上单调，值域为， ②在上具有连续导数 则有: 五、定积分的分部积分法 类似不定积分 六、广义积分 1.无穷区间上的广义积分 设函数上连续，任取，若极限 存在 则称此极限为函数在无穷
16、区间上的广义积分，记作 类似定义上的广义积分 对于，令，为常数 2．无界函数的广义积分 设函数在上连续，而，取，如果极限 存在 则称此极限为函数在上的广义积分，记作 类似可定义b为无穷间断点时的广义积分 3.函数 含参变量的广义积分 称为函数 性质： ① ②当， ③余元公式： ④令，令 得 七、定积分的应用 1.求面积 2.求体积 ①旋转体：旋转轴为， ②平行截面面积为已知的立体体积：平行截面是x的函数， 3.求弧长 ①对于， ②参数方程 ， ③极坐标 ， ※为奇函数，则为偶函数；为偶函数，则中仅为奇函数 为周期函数，则为周期函数；为周期函数，且则为周期函数
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