2019年高中数学第一章计数原理课时跟踪检测(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质新人教A版选修.doc

2019年高中数学 第一章 计数原理 课时跟踪检测（八）“杨辉三角”与二项式系数的性质 新人教A版选修2-3
1．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1 024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：选C　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)
A．11　　　　　　　　 　B．10
C．9 D．8
解析：选D　∵只有第5项的二项式系数最大，
∴＋1＝5.∴n＝8.
3．设(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，n等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C　令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n，∴＝254，∴n＝7.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为(　　)
A．3　　　　 　B．6 C．9　　　　D．12
解析：选B　x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C·2＝6.
5．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选B　C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝729.
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
6．设二项式n(n∈N*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝________.
解析：由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝n也成等比数列，所以＝2n＋1.
答案：2n＋1
7．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
解析：设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
答案：
8．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8<C＋C＋…＋C<32，即8<2n<32.
所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
9．若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a1＋a2＋…＋a10；
(2)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.
解：(1)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
(2)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.
10．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
T4的系数为C423＝；T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C727＝3 432.
层级二　应试能力达标

1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1　　　　　　 　B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n
解析：选C　法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项．
2．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为(　　)
A．0 B．AB
C．A2－B2 D．A2＋B2
解析：选C　(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.
3．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选C　(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016，令x＝，则2 016＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
4．若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．(1，＋∞)
解析：选D　二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.
依题意有由此得
由此解得x>1，
即x的取值范围是(1，＋∞)．
5．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n，
∴2n＝64，∴n＝6.
∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.
由6－2r＝0得r＝3，
∴其常数项为T3＋1＝C＝20.
答案：20
6．若n的展开式中含有x的项为第6项，若(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
解析：二项式n展开式的通项为Tr＋1
＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r.
因为含x的项为第6项，
所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a8＝28－1＝255.
答案：255
7．已知n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小于120，求第一个展开式中的第3项．解：因为n的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n－1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n－1，所以有2n－1＝22n－1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C()22＝6.

8．在二项式(axm＋bxn)12(a＞0，b＞0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．
(1)求系数最大的项是第几项？
(2)求的范围．
解：(1)设Tr＋1＝C(axm)12－r·(bxn)r＝
Ca12－rbrxm(12－r)＋nr为常数项，
则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0，
∴r＝4，它是第5项．
(2)∵第5项是系数最大的项，
∴
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥a，即≤.
由②得≥，
∴≤≤.
故的取值范围为.

2019年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.2 函数的最大值、最小值课后提升训练 新人教A版必修1
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(xx·青岛高一检测)函数y=x-在[1,2]上的最大值为　(　　)
A.0 B. C.2 D.3
【解析】选B.因为函数y=x-在[1,2]上是增函数,所以ymax=2-=.
2.若函数f(x)=则f(x)的最大值为　(　　)
A.10　　　　B.9　　　　C.8　　　　D.7
【解析】选B.当x≤1时,f(x)=4x+5,此时f(x)max=f(1)=9;
当x>1时,f(x)=-x+9,
此时f(x)<8.综上f(x)max=9.
3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为　(　　)
A.每个95元 B.每个100元
C.每个105元 D.每个110元
【解析】选A.设售价为x元,利润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80) =-20(x-95)2+4500(80≤x≤110),所以当x=95时,y有最大值4500.
4.设a,b∈R,且a>0,函数f(x)=x2+ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上g(x)的最大值为2,则f(2)等于(　　)
A.4 B.8 C.10 D.16
【解析】选B.因为a>0,所以g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,又g(x)的最大值为2,所以a+b=2.所以f(2)=4+2a+2b=4+2(a+b)=8.
5.(改编)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则a的值
是　(　　)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
【解析】选C.当a=0时,不满足题意;
当a≠0时,f(x)=ax+1在[1,2]上单调,
故|f(1)-f(2)|=2,即|a+1-(2a+1)|=2,
所以a=±2.
6.(xx·贵阳高一检测)函数y=+的值域为　(　　)
A.[1,] B.[2,4] C.[,2] D.[1,]
【解析】选C.因为y=+,所以y2=2+2,所以y2∈[2,4],所以y∈[,2].
【补偿训练】函数f(x)=+x的值域是　(　　)
A.　　　　 B.
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
【解析】选A.因为y=和y=x在上都是增函数,所以f(x)在上是增函数.所以f(x)≥f(x)min=f=.
7.已知f(x)=,则f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为　(　　)
A.与 B.与1
C.与 D.与
【解析】选A.由f(x)=,所以y=f(x+2)=,
因为y=在[2,8]上单调递减,
所以ymin=f(8)=,ymax=f(2)=.
8.(xx·大庆高一检测)函数f(x)=x2-2x+3在区间[0,a]上的最大值为3,最小值为2,则实数a的取值范围为　(　　)
A.(-∞,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[1,2]
【解析】选D.由f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2知,当x=1时,f(x)最小,且最小值为2.当f(x)=3,即x2-2x+3=3时,得x=0或x=2,结合图象知1≤a≤2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(xx·北京高考)函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.
【解题指南】把x-1看成t,再分离常数转化为反比例函数问题.
【解析】令t=x-1(t≥1),则x=t+1,所以y==1+(t≥1).所以0<≤1,所以1<1+≤2.所以f(x)的最大值为2.
答案:2
10.用长度为24米的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________米.
【解析】设隔墙长度为x米,场地面积为S米2,则S=x·=12x-2x2=-2(x-3)2+18.所以当x=3时,S有最大值18米2.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(xx·浏阳高一检测)已知二次函数y=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)若a=-1,写出函数的单调增区间和减区间.
(2)若a=-2,求函数的最大值和最小值.
(3)若函数在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=-1时,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,因为x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为[1,6],单调递减区间为[-4,1).
(2)当a=-2时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,因为x∈[-4,6],所以函数的单调递增区间为[2,6],单调递减区间为[-4,2),所以函数的最大值为f(-4)=35,最小值为f(2)=-1.
(3)由y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2可得:函数的对称轴为x=-a,因为函数在[-4,6]上是单调函数,所以a≤-6或a≥4.
【补偿训练】(xx·菏泽高一检测)设y=x2+mx+n(m,n∈R),当y=0时,对应x值的集合为{-2,-1}.
(1)求m,n的值.
(2)若x∈[-5,5],求该函数的最值.
【解析】(1)当y=0时,即x2+mx+n=0,
则x1=-1,x2=-2为其两根,
由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m,
所以m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n,
所以n=2.
(2)由(1)知:y=x2+3x+2=-,
因为x∈[-5,5],所以,当x=-时,
该函数取得最小值f(x)min=f=-,
又因为f(-5)=12,f(5)=42,
所以当x=5时,该函数取得最大值f(x)max=f(5)=42.
12.(xx·石家庄高一检测)已知函数f(x)=x+.
(1)证明:函数f(x)=x+在x∈[2,+∞)上是增函数.
(2)求f(x)在[4,8]上的值域.
【解析】(1)设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+
=(x1-x2),
因为2≤x1<x2,
所以x1-x2<0,x1x2>4,
即0<<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在[2,+∞)上是增函数.
(2)由(1)知f(x)在[4,8]上是增函数,
所以f(x)max=f(8)=,f(x)min=f(4)=5,
所以f(x)的值域为.
【能力挑战题】
(xx·济宁高一检测)某专营店销售某运动会纪念章,每枚进价5元,同时每销售一枚这种纪念章需向荆州筹委会交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售xx枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x元,x为整数.
(1)写出该专营店一年内销售这种纪念章所获利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x(元)的函数关系式,并写出这个函数的定义域.
(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出最大值.
【解析】(1)依题意
y=
所以y=

定义域为{x∈N*|7<x<40}.
(2)因为y=

所以当7<x≤20时,
则x=16时,ymax=32400(元)
当20<x<40时,
则x=23或24时,ymax=27200(元).
综上,当x=16时,该特许专营店一年内获得的利润最大,为32400元.