数学高二(下)沪教版(复数的平方根与立方根实系数一元二次方程)教师版.doc

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年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
复数的平方根与立方根，实系数一元二次方程
教学目的
1、理解复数平方根和立方根的定义，会求负数的平方根与立方根；
2、理解在复数范围内，实系数一元二次方程总有里两个根并掌握根的求法。
教学内容
【知识梳理】　
1、复数的平方根
如果满足：，则称是的一个平方根。
【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数；
（2）复数的平方根一般不要记为。
2、复数的立方根
若复数满足，则称是的立方根。
【注】1的立方根有三个：1，，（其中），满足。
3、实系数的一元二次方程:
实系数的一元二次方程（、、，且）
(1)当时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当时，方程有两个相等的实数根；
(3)当时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根

，∴，.
这时两根仍然满足韦达定理：，
【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。
（2）实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、 ，总可以进行因式分解：。
【典型例题分析】
（一）复数的平方根与立方根
例1、求下列复数的平方根
（1）-7（2）-3+4i
答案：（1）（2）1+2i或-1-2i
变式练习：设
解析：分类讨论a>0时，；a<0时，；a=0时，z=0.

例2、利用1的立方根，求下列实数的立方根。
(1)64 ；(2)-125
答案：略

变式练习：计算复数的值。
答案：-64。

（二）实系数一元二次方程
例1、在复数范围内分解因式：
【分析】若是实系数一元二次方程的根，则有

【解】

变式练习1：已知1-i是实系数一元二次方程的一个根，则=

【答案】

例2、复数满足方程，求的值
【分析】由知，是1的两个立方虚根，故令
【解】由得，
所以原式
【点拨】本题的关键是由得，
例3、若为虚数且为实系数一元二次方程的两个根，且，求的值。
【分析】由条件虚数且为实系数一元二次方程两根，故两根互为共轭，即，又，由两个条件可求出，再利用根与系数求
【解】设，则，于是，即
，
从而 即此一元二次方程的根为
所以
例4、设为实系数一元二次方程两虚根，且，求的值。
【分析】本题未给出具体方程，但要求具体的值，两个人条件中第一个条件只能说明，而条件有两个等价形式：的虚部为零或，由于条件一中涉及到共轭问题，因此考虑第二种形式
由得，即，因，故
从而，因为共轭复数，故为虚数，即
本题若直接设,代入得出与的关系，同样可求出的值，不妨试一试。
【答案】
例5、已知为复数
（1）若，求
（2）若，求
【解】（1）

（2）设，则
从而
故该实系数一元二次方程有两共轭虚根，
由韦达定理，即
所以，即满足的复数必然有
例6、设虚数满足，若又是一个实数系一元二次方程的两根，求
【分析】由于是实数系一元二次方程的两根，因此互为共轭。
【解】设
由，得
于是
或
例7、求实数，使方程至少有一个实根。
【错解】由

【错解分析】本题错在把实数系一元二次方程的根判别式套用到复数系一元二次方程中，事实上，判别式对复数系一元二次方程不成立，正确的解法是将复数问题实数化。
【正解】设为原方程的根，则原方程化为

故当时，方程至少有一个实数。
例8、设方程 的两根为，且，求实数的值。
【答案】

变式练习：设，是关于的方程的两根，，且，试求的值。
【答案】
【课堂小练】
1、已知关于的二次方程有实根，求复数的模的最小值。
答案：

2、设则。·
【答案】 1， 0
3、若是方程的一个根，则__________，_________。
【答案】 10
4、在复数范围内分解因式：=_________________________。
【答案】
5、在复数范围内分解成一次式的乘积为 。
【答案】
6、在复数集中分解因式：= 。
【答案】
7、若方程有虚数根z，则|z|= 。
【答案】

8、已知实系数方程的虚根的模等于，求的值，并解此方程。
【答案】

9、已知关于x的方程的两根为、，且，求实数a的值。
【答案】

10、已知方程有两个根，，。
（1）若，求； （2）若，求。
【答案】（1） （2）
11、若关于x的实系数一元二次方程的两个虚根、满足，则实数m的值是( )
(A) 17 (B) (C) 8 (D） 4
【答案】B

12、复数的平方根是 。
【答案】

13、的立方根是 。
【答案】1，

14、求值：
（1） （2）
【答案】（1） （2）

15、设复数，当取何值时，所对应的点在复平面的第四象限内？
【答案】

16、若满足,且是纯虚数，求复数。
【答案】

17、复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围。
【答案】

18、设复数，是实数，且。
（1）求的值； （2）求的实部的取值范围。
【答案】（1）1 （2）

19、已知复数，且，求实数的值。
【答案】

【课堂总结】
1、关于复系数一元二次方程
一般不能用来判断这个方程根的情况，然而实系数一元二次方程中根与系数的关系对于复系数一元二次方程仍适用，即有。一元二次方程的求根公式仍然成立，只不过两根不一定成共轭复数。
2、实系数二次三项式在复数范围内的因式分解
若是实系数一元二次方程的根，则有，这样就可以利用一元二次方程的求根公式在复数范围内将实数系的二次三项式分解因式。
3、解题方法指导
（1）实系数一元二次方程若有虚根，则其虚根是成对出现的，即为共轭复数
（2）已知实数系一元二次方程的一根或两根的关系，求其系数时，一般对根的情况分类讨论，即分实根和虚根，利用根与系数的关系加以求解。

【课后练习】
1、在复数范围内的根为_________________
2、满足方程的复数有 （ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、已知方程至少有一个实根，则实根的取值范围是 （ ）
A B
C D
4、若实系数一元二次方程有一个根为，则这个方程是 （ ）
A B
C D
5、若实数系一元二次方程有一个根，则这个方程一定有另一个根为 （ ）
A B C D
6、为何值时，方程有实数解？求此实数解。

7、复数和满足，如果和又满足，求和

8、设是实数系一元二次方程的两个虚根，且满足，求的值。

9、（1）已知方程有一个根为，求实数的值
（2）已知方程有一个根为，求实数的值

10、已知，且关于的方程的两个根为复数，求

答案：1、 2、C 3、C 4、C 5、B
6、 7、
8、 9、（1） （2）
10、

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