南通市2013届高三第一次调研测试数学参考答案及讲评建议(word).doc

南通市2013届高三第一次调研测试数学I
参考答案与评分标准
（考试时间：120分钟 满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U=R，集合，则 ▲ ．
2．已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限．
3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ．
4．定义在R上的函数，对任意x∈R都有，当 时，，
则 ▲ ．
5．已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，
则是的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）
6．已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，
且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．
7．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，
则a5与a7的等比中项为 ▲ ．
8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，
则输出的x不小于55的概率为 ▲ ．
9．在△ABC中，若AB=1，AC=，，则= ▲ ．
10．已知，若，且，则的最大值为 ▲ ．
11．曲线在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ．
(第12题)
O
12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为 ▲ cm．
13．已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 ▲ ．
14．设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：
（1）平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A1AD．

解：（1）连结．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
因为分别是侧面和侧面
的对角线的交点，
所以分别是的中点．
所以． ………………………………………………………3分
又平面中，平面中，
故平面． ………………………………………………6分
（2）因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面，所以．
故由，得． ………………………………………8分
又因为是棱的中点，且为正三角形，所以．
故由，得． …………………………………………………………………10分
而，平面，所以平面．…………………………………12分
又平面，故平面平面．………………………………………………………14分

16.（本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．
解：(1)因为，即，
所以，
即 ，
得 ． ……………………………………………………………………………4分
所以，或(不成立)．
即 , 得 ． …………………………………………………………………7分
(2)由．
因， …………………………………………………………8分
故
=． ………………………………………11分
，故．……………………………14分

17.（本题满分14分）
A
B
C
D
（第17题）

P
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

解：（1）由题意，，．因，故． ……………………………2分
设，则．
因△≌△，故．
由 ，得 ，．……………………5分
（2）记△的面积为，则
………………………………………………………………………………………6分
，
当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．…………………………………………………………8分
故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好． ………………………………………9分
（3）记△的面积为，则
，．……………………………………………10分
于是，．……………………………………………………11分
关于的函数在上递增，在上递减．
所以当时，取得最大值． ……………………………………………………13分
故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好． ………………………………………14分

18.（本题满分16分）
已知数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且．
（1）求a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．
解：(1)令n=1，则a1=S1==0． ………………………………………………………………3分
(2)由，即， ①
得 ． ②
②－①，得 ． ③
于是，． ④
③+④，得，即． ……………………………………………7分
又a1=0，a2=1，a2－a1=1，
所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以，an=n－1． ………………………………………………………………………………………9分
(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，
于是，． …………………………………………………………………………………11分
所以，(☆)．
易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解． ……………………………………………………………13分
当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列，
于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列． …………………………16分
注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分．

19.（本题满分16分）
已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
解：依题设c=1，且右焦点(1，0)．
所以，2a==，b2=a2－c2=2，
故所求的椭圆的标准方程为． …………………………………………………………4分
(2)设A(，)，B(，)，则①，②．
②－①，得 ．
所以，k1=． ………………………………………………………9分
(3)依题设，k1≠k2．
设M(,)，直线AB的方程为y－1=k1(x－1)，即y=k1x+(1－k1)，亦即y=k1x+k2，
代入椭圆方程并化简得 ．
于是，，． ……………………………………………………………11分
同理，，．
当k1k2≠0时，
直线MN的斜率k==．……………………………………13分
直线MN的方程为，
即 ，
亦即 ．
此时直线过定点． ………………………………………………………………………………15分
当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点．
综上，直线MN恒过定点，且坐标为． ……………………………………………………16分

20.（本题满分16分）
已知函数且x≠1)．
（1）若函数在上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若，使f(x1)≤成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立． ………………2分
所以当时，．
又，
故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为． ……………………………………………………6分
（2）命题“若使成立”等价于
“当时，有”． ……………………………………………………7分
由（1），当时，，．
问题等价于：“当时，有”． ……………………………………………………8分
当时，由（1），在上为减函数，
则=，故． ……………………………………………10分
当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即．
(i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，=，不合． …………………………………………………12分
(ii)若，即，由的单调性和值域知，
唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，=，．
所以，，与矛盾，不合． ………………………15分
综上，得． ………………………………………………………………………………16分

答案：．答案：三．答案：48 答案：．答案：否命题
答案：．答案：．答案：．答案：．答案：－2答案：．
答案：－1.5．答案：答案：(2，3)

南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题
参考答案与评分标准

（考试时间：30分钟 满分：40分）
21．【选做题】本题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题，每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4－1：几何证明选讲
A
B
E
F
D
C
O
(第21A题)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：
（1）；
（2）．

证明：（1）连，则，又，
所以△ABE∽△ADC，所以．
∴． ……………………………………………………………………………………5分
（2）连，∵是的中点，∴．
由(1)，得，∴． …………………………………………………10分

B．选修4－2：矩阵与变换
已知曲线，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线，在矩阵N对应的变换作用下得到曲线，求曲线的方程．
解：设A=NM，则A， ………………………………………………………3分
设是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线上的对应的点为，
则 ， 即∴ ……………………………7分
又点在曲线上，∴ ，即．………………………………10分

C．选修4－4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
解：曲线C的普通方程是． …………………………………………………………………2分
直线l的普通方程是． ………………………………………………………………4分
设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是
． …………………………………………………7分
因为，所以
当，即Z)，即Z)时，d取得最大值．
此时．
综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大． ………………………10分
注 凡给出点M的直角坐标为，不扣分．

D．选修4－5：不等式选讲
已知且，求的最大值．
解：
∴, ………………………………………………………………2分
且，即，, ……………………………………………………5分
∴,
当且仅当时，等号成立． …………………………………………………………………10分
O
R
P
x
y
Q
M
（第22题）

22．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．
（1）求动点M的轨迹C1；
（2）圆C2： ，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：为定值．
解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由及R(0，－3)，得
化简，得． ……………………………………………………………4分
所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分
法二：设M(x，y)．
由，得 ．
所以，．
由，得 ，即．化简得 ． …………………4分
所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线． ………………………………………5分
（2）证明：由题意，得 ，⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F．
设，，则． ……………………………………7分
同理 ．
设直线的方程为 ．
由得，即．
所以，． ………………………………………………………………10分

23．(本小题满分10分)．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知数列{an}满足：．
（1）若，求数列{an}的通项公式；
（2）若，试证明：对，an是4的倍数．
解：(1)当时，．
令，则．
因为奇数，也是奇数且只能为，
所以，即 ………………………………………………………3分
(2)当时，． ………………………………………………………………4分
下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．
当时，，命题成立；
设当时，命题成立，则存在N*，使得，
，
其中，，
，当时，命题成立．
由数学归纳法原理知命题对成立． …………………………………………………10分

南通市2013届高三第一次调研测试
数学Ⅰ讲评建议
第1题 考查集合运算．注意集合的规范表示法，重视集合的交并补的运算．
第2题 考查复数的基本概念及几何意义．对复数的概念宜适当疏理，防止出现知识盲点．
第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算．应熟练掌握常见几何体的表面积的计算，灵活应用等体积法计算点面距．
第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用．
第5题 本题考查简易逻辑的知识．应注意四种命题及其关系，注意全称命题与特称性命题的转换．
第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识．对双曲线的讲评不宜过分引申．
第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算．
法一 用性质．S9=9a5= -36，S13= 13a7= -104，于是a5= -4，a7= -8，等比中项为．
法二 用基本量．S9=9a1+36d= -36，S13=13a1+78d= -104，解得a1=4，d= -2．下同法一．
第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识．
法一 当输入x=1时，可输出x=15；当输入x=9时，可输出y=79．于是当输入x的取值范围为[1，9]时，输出x的取值范围为[15，79]，所求概率为．
法二 输出值为．由题意：，故．
第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识．
满足的A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且∠A为直角，于是==1．
第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算．讲评时应强调对数的真数应大于0．强调对数函数的单调性与底数a之间的关系．
第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义．
．
在方程中，令x=0，则得．
讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别．
第12题 本题主要考查三角函数及其应用．考题取自教材的例题．教学中应关注课本，以及有关重要数学模型的应用，讲评时还要强调单位书写等问题．
S(t)=，求S(5)= -1.5即可．
第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识．
圆心C(-1，0)到直线l：y=ax+3的距离为，解得a>0或a<．
由PA=PB，CA=CB，得PC⊥l，于是，进而可求出x0的取值范围．
第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力，考查运用基本不等式解决问题．讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养．
法一 ．
当且仅当，即时m取得最小，此时点的坐标为．
法二 ．
当且仅当时取得最小值．下略．
第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系，考查逻辑推理能力以及空间想象能力．讲评时应注意强调规范化的表达．注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等．
第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识，涉及两角和与差的三角公式、正余弦定理等．讲评时，应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略，同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用，例如两边之和大于第三边，sin(A+B)=sinC，面积公式及等积变换等．
(2)法一：由．
因，
故
=．
，故．
法二：由正弦定理得：．
由余弦定理得：，故．
因为，所以．
又，故，得．
因此，．
第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律，教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心．
在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况．
第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算，考查创新能力．两个基本数列属C能要求，属高考必考之内容，属各级各类考试之重点．
第(3)问中，若数列{an}为等差数列，则数列{}(k>0且k≠1)为等比数列；反之若数列{an}为等比数列，则数列{}(a>0且a≠1)为等差数列．
第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，q(其中m<p<q)，使bm，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m，p，q)；若不存在，说明理由．”那么，答案仍然只有唯一组解．此时，在解题时，只须添加当m≥2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同．
对于第(2)问，在得到关系式：后，亦可将其变形为，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列{an}的通项公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可．但需要说明n≥2．
考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分．
第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力．讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养．
第（2）问，亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x或y，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k1的关系，进而求出k1的值．
第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值．此结论在抛物线中也成立．另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值．
近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”．
第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．
第（2）可另解为：
命题“若使成立”等价于
“，使”．
由（1），当时，，于是．
故，使，即，使．
所以当时，．
记，则．
因，故，于是恒成立．
所以，在上为减函数，
所以，．
所以，．