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（第14题）
初中优等生数学难题集

1．如图,点P是等边△ABC内的一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的度数之比是5∶6∶7，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个内角度数(从小到大排列)之比为 ___.

2．如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若=8，则AB等于 。
3．2006个都不等于119的正整数 ，，…， 排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求 … 的最小值。
4．10个学生参加n个课外小组，每一个小组至多5个人，每两个学生至少参加某一个小组，任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中．求n的最小值．
5．甲、乙、丙、丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为（C）。 （A）0　 （B）1　　（C）2　（D）3
6．空间6个点（任意三点不共线）两两连线，用红、蓝两色染这些线段，其中A点连出的线段都是红色的，以这6个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形至少有（C）。　（A）3个　（B）4个　 （C）5个　（D）6个
7．设为整数，且关于的方程有整数根，则的值为.
8．已知△ABC的内切圆半径为，，则的取值范围是
9．由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分。每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分。最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3。设各运动员的得分总和分别为，，…，，且…，求的最大值。 解：9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分. 下面分情形讨论
10．在18×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数。求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格（有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格），每对小方格中所填之数的差均不小于10。
11. 如图，将3枚相同硬币依次放入一个4×4的正方形格子中（每个正方形格子只能放1枚硬币）．求所放的3枚硬币中，任意两个都不同行且不同列的概率．
12. 如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3的内心是I1，△A2A3A4的内心是I2，△A3A4A1的内心是I3．求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆； （2）∠I1I2I3＝90o．
13. 将四十个自然数1，2……，40任意排成一排，总可以找到连续排列的八个数，它们的和不小于A，则A的最大值等于 _____ .
14. 试求出所有满足下列条件的正整数a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd－1是(a－1)*(b－1) * (c－1) * (d－1)的整数倍.
15. 10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 　 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．
16. 设整数a使得关于x的一元二次方程的两个根都是整数，则a的值是 。
17. 设二次函数，当x = c时，y = 0；当0＜x＜c时，．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：．
17. 有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．
18.
19. 在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE = ______ 。

1. 求所有正整数，使得方程x2-ax+4a = 0 仅有整数根.
2. 已知P为▱ABCD内一点，O为AC与BD的交点，M、N分
别为PB、PC的中点，Q为AN与DM的交点。求证：
(1) P、Q、O三点在一条直线上；
(2) PQ = 2OQ .
3. 试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.
23. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。
24. 已知：a ，b，c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。
25. 已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值。