华罗庚数学思维训练导引三年级.doc

《华罗庚学校思维训练导引》三年级
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第一节
三年级上学期 第01讲 计算问题第01讲
加法与减法
【内容概述】
各种加法和减法的速算与巧算方法，如凑整，运算顺序的改变，数的组合与分解，利用基准数等。
【例题分析】
1．计算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
分析1：通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10，因此可以设一个基准数。
详解：我们不妨设1986为基准数。
1966＋1976＋1986＋1996＋2006
=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）
=1986*5
=9930
评注：通过仔细观察题目后，通常会发现一些规律。找到规律，就能轻而一举的解决问题。
分析2：等差数列的个数是奇数个时，中间数是它们的平均数
详解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
＝1986×5
＝9930
2．计算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890
答案：34
分析：这些数粗略一看好象是杂乱无章，其实不然。通过对各位数的观察，
详解：
先看个位：3+4+5-6+7-8+9-0=14
再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意个位的进位：2+1=3（1是个位进位来的）
最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0
这样：我们就得到了34这个数
评注：做这种有技巧的计算时，要先通过观察，找到规律后再逐一化简。把它变成一道很容易且学过的题。就像这道题一样，本来是3位数加减法，而我们把它变成了一位数加减法。但需要注意的是：千万不能忘了前一位的进位。
3．计算：6472－（4476－2480）[phone]）[phone]）[phone]）
答案：20000
分析：这个题目一眼看去没有办法简单运算，但如果把括号内得数算出，便发现了一些规律。
详解：6472－（4476－2480）[phone]）[phone]）[phone]）
=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996
=6472+5319+9354+6839-1996*4
=6472+5319+9354+6839-7984
=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）
=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）
=（6472+5319+6839）+1300+70
=18630+1370
=20000
评注：在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。
4．（1）在加法算式中，如果一个加数增加50，另一个加数减少20，计算和的增加或减少量？
答案：增加30
分析：此题并非很难，只是初学者会认为缺少条件。其实这与两个加数与和的本身值是无关的。因为计算的只是“和的增加或减少量”。
详解：如果我们用“A”来代替一个加数，B代表另一个加数，（A+B）代表和
（A+50）+（B-20）
=（A+B）+30
评注：某些题目的某些条件并不是我们所需知的，用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。
（2）在加法算式中，如果被减数增加50，差减少20，那么减数如何变化？
答案：增加70
分析：与上题一样。其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。
详解：我们用“A”来代表被减数，B代表减数，（A-B）代表差
减数=被减数-差
=（A+50）-[（A-B）-20]
=B+70
评注：用字母表示数的方法用在这里很合适。一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消，这样会给计算带来方便。
5．计算：
1＋2＋1
1＋2＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
…………………
根据上面四式计算结果的规律，求：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1的值。
分析：通过观察，我们发现：所有数的和＝中间数×中间数
详解：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1
＝193×193
＝37249
评注：这个数列我们特别讲一个很复杂的方法，但很锻炼大家的思维的。
设 1式.............1+2+1
2式.............1+2+3+2+1
3式.............1+2+3+4+3+2+1
4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1
5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
……
观察发现1式与2式差5，2式与3式差7，3式与4式差9，4式与5式差11……
又通过观察发现每两式相差的数都相差2(例如：1式与2式差5，2式与3式差7，7-5=2；再例如：2式与3式差7，3式与4式差9，9-7=2）
再观察 1式与2式差5 5与2式中的3差2
2式与3式差7 7与3式中的4差3
3式与4式差9 9与4式中的5差4
4式与5式差11 11与5式中的6差5
观察上面这一步 最后相差的都是式子中间的数减1
所以最后一个式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）与它上面一个式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差为：193+（193-1）=385
所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）
=（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385）
=4+390*[（385-5）/2+1]/2
=4+390*191/2
=4+37245
=37249
当然，这样的方法考试不可取，平常炼一下，多见识几种方法还是有好处的。
6．请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。
答案：9、77、231、693、985。
分析：首先，我们观察数的特征，要使得5个数的和恰好是1995，那么我们需要通过求出3到4个数的和，使它们接近1955，剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。
详解：通过我们观察数的特征，我们将几个较大的数相加，得到：985+693+231=1909
1995-1909=86
这样比1995还相差86
所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可
77+9=86
所以这五个数是：
9、77、231、693、985。
评注：一些题目往往不一定要按顺序思考，利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995，用差来作为寻找的目标。
7．题目：从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后再减去253，再加上244......，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？
答案：195次
分析：这道题目看似简单，因为一个循环减少9，有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。其实还隐藏着一个问题：如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253，而减去253后就等于0。我们来实验一下所述情况有没有可能发生
1999-253=1746
1746/(253-244)=194
194+1=195
恰好如我们所猜测的。
详解：1999-253=1746
1746/(253-244)=194次
但是最后一次减去也是一次运算：194+1=195次
评注：结果正如分析所述，194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。为了需要，我们先减去了253，这样算起来会比后减253更方便。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第二节
1、有20人修筑一条公路，计划15天完成，动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天？
答案：19天
分析：此题因中途抽出5人植树，修路的总人数发生变化。但前3天并未变化。我们并不需知道每人每天的工作量，不妨把它设为“1”，那么这条路的工作总量就是20×15=300，3天后已经完成的工作量是20×3=60，还剩下300-60=240的工作量由剩下的15人完成
详解：根据分析可以得到：我们假设每人每天的工作量为1，那么这条路的工作总量就是15×20=300；
3天后已经完成的工作量是20×3=60，3天后还剩下的工作量为300-60=240；
接下来时间里每天的工作人数为15人，所以还需要240÷15=16天
16+3=19天
评注：解此种类型的题目时，要抓住工作的总量的变化关系，找准需要设的单位1。需要提醒的是：此题不要忘了加上前3天。
2、2个篮球的价钱可以买6个排球，6个足球的价钱可以买3个篮球。买排球、足球、网球各1个的价钱可以买1个篮球。那么，买一个篮球的价钱可以买多少个网球？
答案：6个
分析：此种题目只是一个思维的过程。可以拿字母或符号来代表各种不同类型的球的价钱。但在这里我们只介绍“口算法”，题目条件给得比较?嗦，口算要求对其中的关系必须非常清楚，那么，我们就要从表示方式上简化。
∵2篮=6排    3篮=6足
∴ 1排+1足+1网=1篮==〉   6排+6足+6网=6篮
带入6排=2篮    6足= 3篮
∴2篮+3篮+6网=6篮
==〉1篮=6网
∴买1个篮球的价钱可以买6个网球
详解：根据分析可以得到（略）。
评注：这种类型的题目我们通常采用简单的式子来表示复杂的关系。这样容易清楚地看到它们之间的联系。从而达到简化、节约时间的目的。
3、三年级一斑选举班长，每人投票从甲、乙、丙三个候选人中选一人。已知全班共有52人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票。如果得票比其他两人都多的候选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选？
答案：4张
分析：此题隐含的一个条件是：“每人只能投一张票”知道这个条件后，这道题就能轻易破解了。先求出目前已投的票数（17+16+11=44张），再求出还剩的票数（52-44=8张），甲想当班长，考虑最坏的情况：剩下的8张票全落在甲、乙手中，甲必须得到多少才比乙多呢？甲只要比乙多一票即可，目前17>16，所以剩下的8票，甲至少要得到4票才能保证比乙多。17+4>16+4
如果甲得到3票，就有可能和乙竞选成平手（17+3=16+5）。
所以当甲再获得4张选票时，将能够保证当选班长。
详解：剩下票数=52-17-16-11=8票，所以甲乙最多共得票=17+16+8=41
所以甲至少要得到（41+1）/2=21张票，而甲已经有17张票，
那么甲最少再得21-17=4张票就能够保证当选。
4.甲乙两队共同挖一条长8250米得水渠，乙队每天比甲队多挖150米。已知先由甲队挖4天后，余下的由两队共同挖了7天，便完成了任务。那么甲队每天挖多少米？
答案：400
详解1：设甲队每天挖X米，乙队每天挖（X+150）米；根据水渠全长8250米得
4X+7X+7（X+150）=8250
18X=7200
X=400
∴甲队每天挖400米
详解2：
分析：“已知先有甲对挖4天后，余下的由两对共挖7天”的意思就是：甲做11天+乙独做7天。而这句话又可以换一种理解：总的工作量的=甲做11天+（甲做7天+150*7）
（8250-150*7）/（11+7）
=7200/18
=400（米）
评注：理解一句话的方式不同，很有可能会带来几种不同的效果.
5、某单位举行迎春茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量。那么原来每箱苹果重多少千克？
答案：32千克
分析：4箱同样重的苹果，从每箱取出24千克后，一共取走24*4=96（千克）；
结果各箱所剩的苹果重量的和，恰好等于原来一箱的重量说明取走的96千克相当于原来4-1=3箱，故原来每箱96/3=32千克。
详解：24×4÷3
=32（千克）
6、甲有桌子若干张，乙有椅子若干把。如果乙用全部椅子换回数量同样多的桌子，则需补给甲320元；如果乙不补钱，就要少换回5张桌子，已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元，那么乙原有椅子多少把？
答案：20把
分析：通过：“则需补给甲320元；如果乙不补钱，就要少换回5张桌子”说明5张桌子价值320元，可以求出每张桌子的价钱。再通过这句话：“已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元”可以求出椅子的价钱。同时320元还是每张桌子比每把椅子多的钱数乘以乙原有椅子的把数的积。所以，只需用320除以桌子的钱数减椅子钱数的差就能求出乙原有椅子多少把了。
详解：根据分析可知，每张桌子的价钱：320/5=64（元）故每张桌子64元
（64×3+48）÷5=48（元）        故每把椅子48元
320/（64-48）=20（把）           乙原有椅子20把
评注：此题之关键在于320这个数，320包含了两个不同的含义，正是这两个不同的含义，使我们找到了解此题的。这也正是巧妙之处。
7、实验室里有一只特别的钟，一圈共有20格，每过7分钟，指针跳一次，每跳一次就要跳过9个格。今天早上8时的时候，指针恰好从0跳到9，问昨天晚上8时整的时候指针指着几？
答案：2
分析：大家不要被题目所迷糊，此题并非很难，只是叙述复杂，难以理解。这段话的意思就是：一个钟有20个格，每过7分钟，跳9个格。在第6分59秒前，并不跳。所以，只要求出一共12小时跳多少格，再除以这个钟的格数（20）就可以了。
详解：从昨晚8时到今天早上8时，共12个小时60×12=720（分）
720÷7=102（次）……6（分）
102×7=714（分）
所以在714分钟前（即昨晚8：06）一共跳了102次
减去今天早上8时那一次，即101次
又因为指针每跳20次就回到原处
所以101/20=5（次）……1（次）
所以在昨晚8：06时，指针跳到11处
所以昨天晚上8时整的时候指针还没有跳，指针指着11-9=2。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第三节
  三年级上学期第03讲，应用题第2讲   和差倍问题之一    （偶数题）
2．三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题，先求出第一，二小组的人数，再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题。
解：（180＋20）÷2＝100（人）――第一，二小组的人数
   （100－2）÷2＝49（人）――第一小组的人数
综合：［（180＋20）÷2－2］÷2＝49（人）――第一小组的人数
　　　　　　　　　　　　答：第一小组的人数是49人。
4．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？
分析：这是一个和倍问题。减数是差的3倍，那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的8倍，应该等于120，所以差＝120÷8＝15。
解：120÷（1＋3＋1＋2）＝15                                答：差等于15。
6．有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？
分析：这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多6个女生的话，最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）6个人！男生人数就是：
解：（50＋6）÷2＝28（人）。                      答：男生人数是2 8人。
注：还有一种解法，7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（人）
我的分析方法还不能说得很清楚。请大家指正。
8．甲、乙、丙共有100本课外书。甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。那么乙有多少本书？
分析：这是和倍问题。看懂题后可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5＋1）6。那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少。
解：［100－1－（1×5＋1）］÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本）   答：乙有3本书。
10．有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件？
分析：如果我们把第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件，那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9＝12件，第二堆就是12×4＝48件，第三堆就是12×2＋2＝26件，第四堆就是12×2－2＝22件。
解：（108＋2－2）÷（1＋2×2＋2＋2）＝108÷9＝12（件）――第一堆
  12×2×2＝48（件）――第二堆； 12×2＋2＝26（件）――第三堆； 12×2－2＝22（件）――第四堆；
答：每堆各有12件、48件、26件、22件。
12．用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？
分析：这是一个差倍问题。依题有，马是1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与马的倍数差是（2×4－1）7倍，而炮与马的两数差是56，根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。
解：56÷（8－1）＝8――马；
8×2＝16――车
16×4＝64――炮
8＋16＋64＝88――车＋马＋炮       答：车、马、炮的和是88
14．甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？
分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少半小时，现在的两数差是（30＋30）60分钟，现在的差数差是（6－1）5倍，这样可求出现乙每天自学的时间，加上30分钟，可得原计划每天自学时间。
解：（30＋30）÷（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟）   答：原计划每天自学42分钟。
《华罗庚学校思维训练导引》三年级第四节
  三年级上学期第4讲，应用题第3讲　　　盈亏问题　

【教学内容】
　　盈亏类型以及用两种相似的条件限制同一对象的应用题．解题的基本步骤为先恰当设定单位，然后通过比较而求出一个单位对应的具体数值。
【典型问题】
2．少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个树坑没人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个
树坑，就恰好挖完所有的树坑。请问，共有多少名少先队员？共挖了多少树坑？
分析：关键在于条件的转换，把“如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6个树坑，就恰好挖完所有的树坑” 转换成“每人挖6个树坑，还差2×（6－4）个树坑。”则本题成为“一盈一亏”的盈亏问题；对比两个条件，因为每人多挖（6－5）一个；所以就要多挖［3＋2×（6－4）］个，这样就可求出人数，继而求出树坑数。
在这里我们把两个条件中每人挖的差（6－5）叫分差，因两个条件中每人挖的数量不同而产生的差叫总差。
本题中：总差÷分差＝人数；
推广可得：两次分配的差叫分差，
总差分3种：一盈一亏中：盈＋亏＝总差；在双盈或双亏中：大数－小数＝总差；
总差÷分差＝份数　　　　份数在不同的题目中表示不同的意思。

解：［3＋2×（6－4）］÷（6－5）＝7（人）
　 7×5＋3＝38（个）--树坑数　　　　　　　　　　　　 答：共挖了38个树坑。

4．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？
分析：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔，
解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）90角，这是双亏：分差是（8－5）3支，总差是（90－15）75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。
　 ［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱
　　 25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数
解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。
［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱
　　 13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数

6．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加
10个，问这批学生可能有多少人？
解答：关键在于条件的理解，
每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏，
我们只能认为至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）；
每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏，
我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）；
根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。　　（至少取大数，至多取小数，）
8．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？
解答：因分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。
说明第一组的人数不到48÷4＝12人，多于（48÷5＝9…3）9个人，即10到11人；
同理，第二组不到48÷3＝16人，又多与48÷4＝12人，即13到15人，
因15－10＝5（人）；由此可知：第一组是10人，第二组是15人。

10．用绳测井深，把绳三折，井外余2米，把绳四折，还差1米不到井口，那么井深多少米？绳长多少米？
分析：绳三折，井外余2米，说明绳子比井深的3倍多（3×2）6米；绳四折，还差1米不到井口，说明绳子比
井深的4倍少（4×1）4米，总差：（因多1折，就差）；（3×2）＋（4×1）；分差：（4－3）；这样可求出井深。

解：［（3×2）＋（4×1）］÷（4－3）＝10÷1＝10（米）--井深
　10×3＋2×3＝36（米）--绳长

12．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条
船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？
分析：条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人；每条船坐9人，差9人。

解：（9＋6）÷（9－6）＝5（条）；5×6＋6＝36（人）

14．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球
原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买
了多少个球？
分析：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要：
　　 30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60个球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240个球。

解：假设1份球数是30个；4÷［（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2］＝4（份）
　 （30＋30）×4＝240（个）　　　　　 答：小明共买了240个球。
华数思维训练导引――数列规律 
华数思维训练导引 三年级上学期 第05讲 数列与数表问题第01讲 数列规律
    1、下面是两个具有一定的规律的数列，请你按规律补填出空缺的项：
    (1)1，5，11，19，29，________，55； (2)1，2，6，16，44，________，328。
    解答：（1）观察发现，后项减前项的差为：6、8、10、......所以，应填41（=29+12），41+14=55符合。
    （2）观察发现，6=2*（2+1），16=2*（2+6），44=2*（16+6），所以，应填120=2*（44+16），2*（120+44）=328符合。
    2、有一列由三个数组成的数组，它们依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……。问第99个数组内三个数的和是多少？
    解答：观察每一组中对应位置上的数字，每组第一个是1、2、3、......的自然数列，第二个是5、10、15、......，分别是它们各组中第一个数的5倍，第三个10、20、30、......，分别是它们各组中第一个数的10倍；所以，第99组中的数应该是：99、99*5、99*10，三个数的和=99+99*5+99*10=1584。
    3、0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的，他第一次先写出0，1，然后第二次写出2，3，第三次接着写6，7，第四次又接着写14，15，依次类推。那么这列数的最后3项的和应是多少？
    解答：观察发现，在0、1后写2、3，2=1*2；在2、3后面写6、7，6=3*2；在6、7后面写14、15，14=7*2；在14、15后面写30，30=15*2；所以，后三项应填31、62（=31*2）、63，和为31+62+63=156。
    4、仔细观察下面的数表，找出规律，然后补填出空缺的数字。

    解答：观察发现，（1）第二行的数字比第一行对应位的数字都大21，所以应该填58+21=79；（2）第一列的数字是同行中后两列的数之和，所以应该填28-9=19。
    5、图5-3中各个数之间存在着某种关系。请按照这一关系求出数a和b。

    解答：图中5个圆、10个数字，其中5个数字是只属于某一个圆本身的，5个数字是每两个圆相重叠的公共区域的，观察发现，两圆重叠部分的公共区域的数字2倍，正好等于两圆独有数字之和，15*2=10+20，30*2=20+40；所以，a=2*17-10=24，b=（16+40）/2=28。验算：20*2-16=24，符合。
    6、将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？
    解答：根据数列规律倒推，第6个数=131-81=50，第5个数=81-50=31，第4个数=50-31=19，第三个数=31-19=12，第2个数=19-12=7，第个数=12-7=5。
    7、1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…。上面是一串按某种规律排列的自然数，问其中第101个数至第110个数之和是多少？
    解答：观察发现，数列的规律为三个一组、三个一组，每一组的第一个数为从1开始的自然数列，每一组中的三个数为连续自然数；101/3=33......2，说明第101个是第33+1=34组中的第二个数，那么应该是34+1=35；从101到110共有110-101+1=10个数，那么这10个数分别是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他们的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365。
    8、如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排，这样就组成了一个多位数：12345678910111213…996997998999。那么在这个多位数里，从左到右的第2000个数字是多少？
    解答：一位数1~9共有9个；二位数10~99共有90个，占90*2=180位；一、二位数共占了189位；2000-9-180=1811，这1811个位数都是三位数，1811/3=603......2，说明第2000个数是第604个三位数的第2位，三位数从100开始，第604个应该是603，第二位就是0。因此，从左到右的第2000个数字是0。
    9、标有A，B，C，D，E，F，G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯各安装着一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯是灭的。小方先拉一下A开关，然后拉B，C，…，直到G的开关各一次，接下去再按从A到G顺序拉动开关，并依此循环下去。他这样拉动了1990次后，亮着的灯是哪几盏？
    解答：如果一个灯的开关被拉了2下，那么，这个灯原来是什么状态，还应该是什么状态，即原来亮着的还亮着，原来不亮的还是不亮。现在共有7盏灯，每个拉2次的话就是14次。也就是说，每拉14下，每个灯都和原来的情况一样。1990/14=142......2，说明，拉1990次就相当于只拉了2次，那么就应该是A和B各被拉了一下。A原来亮着，现在变灭；B原来不亮，现在变亮。所以，拉1990次后亮着的灯应该有：B、C、D、G。
    10、在1，2两数之间，第一次写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到
1    4    3    5    2。
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少？
    解答：原来两数之和：1+2=3；操作一次：1+3+2=6=3+3；操作2次：1+4+3+5+2=15=3+3+9；操作3次：1+5+4+7+3+8+5+7+2=42=3+3+9+27；......规律是，操作n次，和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^n,所以，操作8次的和为3+3^1+3^2+3^3+......+3^8=9843。
    11、有一列数：1，1989，1988，1，1987，…。从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。那么第1989个数是多少？
    解答：为了找到规律，我们把这列数再往下写出一些：1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，1，1983，1982，1，1982，…这样我们可以很容易的看出规律了，即每三个一组，第一个为1，后两个是从1989依次减1排下去；1989/3=663，共有663组，去掉每一组中的1，剩下663*2=1326个，从1989顺序递减，到最后一个应该是1989-1326+1=664。所以，第1989个数是664。
    12、在1，9，8，9后面顺次写出一串数字，使得每个数字都等于它前面两个数之和的个位数字，即得到1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是多少？
    解答：同上一题所讲的思路一样，我们需要再往下写一些，以便发现规律：1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9，…这是我们已经可以发现规律了，即它们会以8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1不断循环，也即从第3个数开始，每12个数一个循环。那么，（398-2）/12=33，即供循环33次；一个循环的数字和为8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60，前398个数字的和=1+9+33*60=1990。
    13、有一列数：2，3，6，8，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数乘积的个位数字，那么这一列数中的第80个数是多少？
    解答：还是上面的思路，需要再往下写一些，寻找规律：2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，…不难发现，规律是从第三个数开始，每6个数一个循环，那么，（80-2）/6=13，所以，第80个数是8。
    14、1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和。现在让第一个同学报1，那么最后一个同学报的数是多少？
    解答：按照要求，我们先写出前面的一些数，寻找规律：1，10，6，15，11，7，16，12，8，17，13，9，18，14，10，......规律是：从第2个数开始，每13个数一个循环；（1999-1）/13=153......9，所以，最后一个同学报的数是17。
    15、将从1到60的60个自然数排成一行，成为111位自然数，即12345678910111213…5960。在这111个数字中划去100个数字，余下数字的排列顺序不变，那么剩下的11位数最小可能是多少？
    解答：为了使剩下的数尽可能小，那么除留下第一个1外，后面应尽可能多的留下0，1~60共有6个0，并且有一个是在最后，所以，第一个1后面只能留下5个0，也就是说，到50为止，前面除第一个1外只留下0，这时便成10000051525354555657585960；除了第一个1和6个0外，还要留下4个数，不难看出，应该留下51525354中的1234，所以，剩下的11位数最小可能是10000012340。
华数思维训练导引 三年级上学期 第06讲 数字谜问题第01讲 加减法填空格
    1、在图6-1算式的每个空格中，各填入一个合适的数字，使竖式成立。

    解答：首先根据十位上8+5得到4可知，个位有一个进位，所以，个位的空格中必定是9；再根据百位上两个数相加，再加一个进位后得到9，并有进位可知，百位两个空格中都是9；结果中的千位只能是1，于是得到：

    2、如图6-2，用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出3个数字，那么这个算式的结果是多少？

    解答：首先，结果中的千位为1；第二，百位上第一个数至少是7，最多是9；如为7，那么，结果中的百位为0，并十位要有进位；由此第一个数的十位可以填6，第二个数的个位填9；如为9，显然不行。所以，结果只能是：

    3、在如图6-3所示的算式中，3个加数的各位数字均是某两个相邻数字中的一个，那么这个算式的计算结果可能是多少？

    解答：由计算结果的前两位得19可知，三个数的百位之和在17~19之间，因此，两个相邻数可能是5、6或6、7；但由个位计算结果为5可以确定只能是5、6；这样，十位进百位只有1，则三个数的百位均为6；那么，十位上有四种组合：5、5、5，5、5、6，5、6、6、，6、6、6，加上个位的进位后，结果就有6、7、8、9四种，所以，这个算式的计算结果可能是1965、1975、1985、1995。
    4、在图6-4所示的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的3倍。问：被加数至少是多少？

    解答：3的3倍是9，即被加数的数字和要为9；十位不能为0，最小1，则被加数最小为18。
    5、在图6-5所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字