测量误差.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,5,章,测量误差及数据处理的基本知识,5.1,概述,5.2,观测值的算术平均值,5.3,衡量观测值精度的标准,5.4,误差传播定律,5.5,加权平均值及中误差,测量与观测值,观测,与观测值的分类,观测条件,等精度观测和不等精度观测,直接观测和间接观测,独立,观测和非独立观测,5.1,测量误差概述,5.1,测量误差概述,1,、,测量误差及其来源,测量误差的来源,（,1,）,仪器误差：,仪器精度的局限、轴系残余误差等。,（,2,）,人为误差：,判断力和分辨率的限制、经验等。,（,3,）,外界条件的影响：,温度变化、风、大气折光等,测量误差的表现形式,测量误差（真误差,=,观测值,-,真值,）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,例：误差 处理方法,钢尺尺长误差,l,d,计算改正,钢尺温度误差,l,t,计算改正,水准仪视准轴误差,I,操作时抵消,(,前后视等距,),经纬仪视准轴误差,C,操作时抵消,(,盘左盘右取平均,),2.,系统误差,误差出现的大小、符号相同，或按,规律性变化，具有,积累性,。,系统误差可以消除或减弱,。,(,计算改正、观测方法、仪器检校,),测量误差分为：,粗差,、,系统误差,和,偶然误差,2,、测量误差的种类及处理方法,1.,粗差,(,错误,),超限的误差,3.,偶然误差,误差出现的大小、符号各不相同，,表面看无规律性。,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，,导致观测值产生误差,。,准确度,(,测量成果与真值的差异,）,最或是值,（最接近真值的估值，最可靠值）,测量平差,（求解最或是值并评定精度）,4.,几个概念,:,精（密）度,（观测值之间的离散程度）,举例,:,在某测区，等精度观测了,358,个三角形的内,角之和，得到,358,个三角形闭合差,i,(,偶然误,差，也即真误差,),，然后对三角形闭合差,i,进行分析。,分析结果表明，,当观测次数很多时，偶然,误差的出现，呈现出统计学上的规律性。,而,且，观测次数越多，规律性越明显。,3,、偶然误差的特性,用,频率直方图,表示的偶然误差统计：,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，,对称于,y,轴。,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区,间的频率,k/n,，而所有条形的,总面积等于,1,。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,图,5-1,误差统计直方图,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误,差的,四个特性,：,特性,(1),、,(2),、,(3),决定了特性,(4),，,特性,(4),具有实用意义。,3.,偶然误差的特性,(1),在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定,的限值,(,有界性,),；,(2),绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多,(,趋向性,),；,(3),绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等,(,对称性,),；,(4),当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零,(,抵偿性,),：,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数,n,无限增多,(n,),、,误差区间,d,无限缩小,(,d,0),时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，,这条曲线称为,“正态分布曲,线”，又称为,“,高斯误差分,布曲线,”,。,所以偶然误差,具有,正态分布,的特性。,图,5-1,误差统计直方图,5.2,算术平均值原理,一、算术平均值原理,在等精度观测条件下，对某量作一系列观测，取其观测值,l,i,的算术平均值，做为真值,X,的最可靠估值（最或是值）。,二、最或是误差（观测值的改正数）,作为计算检核,代替真误差,用最小二乘法证明算术平均值原理,最小二乘法,的意义：见下图，根据,n,个实验点可回归出的直线方程有无数个，其中使各个点至直线的距离,v,i,满足,vv,=,最小的为最优估值（最或是值）,。,证明,vv=,v,1,2,+v,2,2,+v,n,2,=,(,x-l,1,),2,+,(,x-l,2,),2,+,(,x-l,n,),2,vv,=2(,x-l,1,),+,2(,x-l,2,),+,2,(,x-l,n,),vv,=2,+,2,+,2=2n0,有极小值,当：,vv,=2(,x-l,1,),+,2(,x-l,2,),+,2,(,x-l,n,)=0,即当：,时，,vv=,最小，满足最小二乘法原理要求。即在等精度观测中，算术平均值,x,为真值,X,的最优估值（最佳估值、最或然值、最可靠值等）。,1.,方差与标准差,由正态分布密度函数,式中 、为常数；,=2.72828,x=,y,正态分布曲线,(a=0),令：,，上式为：,5.3,衡量精度的指标,标准差 的数学意义,表示的,离散程度,x=,y,较小,较大,称为,标准差,：,上式中，称为,方差,：,测量工作中，用,中误差,作为衡量观测值精度的标准。,中误差,:,观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：,上式中，偶然误差,为观测值,与真值,X,之差：,观测次数,n,有限,时，用,中误差,m,表示偶然误差的离散情形：,i,=,i,-,X,P123,表,5-2,m,1,小于,m,2,说明第一组观测值的误差分布比较,集中,，,其,精度较高,；相对地，第二组观测值的误差分布比,较,离散，,其,精度较低：,m,1,=,2.7,是第一组观测值的中误差；,m,2,=,3.6,是第二组观测值的中误差。,例,对于同一个三角形分别观测两组各十次，每次测得三角,形内角和的真误差：,第一组：,0,，,+1,，,-2,，,0,，,-8,，,-1,，,+2,，,0,，,+7,，,-4,；,第二组：,+4,，,-2,，,-3,，,+1,，,+2,，,-4,，,-3,，,-1,，,+3,，,-2,。,若以平均误差,|,/n,计算，则两组相同，均为,2.5,由于中误差能突出地反映出大误差的存在,，,因而能较好地评定误差分布的离散程度（即精度）。,白塞尔公式,在等精度观测中，以算术平均值为最或然值代替真值；以最或然误差代替真误差：,m:,观测值中误差,（一测回中误差），并不等于每个观测值的真误差，而是一组观测值真误差离散程度的代表。,算术平均值中误差,m,x,:,例题,等精度观测某角四测回，观测值如下表，求其算术平均值、一测回中误差及算术平均值中误差。,测回,观测值,v,i,vv,计算,1,64,23 48,2,64,24 06,3,64,23 54,4,64,24 12,257,36 00,12,-6,6,-12,0,144,36,36,144,360,证明如下：,真误差：,改正数：,证明两式根号内相等,对上式取,n,项的平方和,由上两式得,其中,:,证明两式根号内相等,中误差,定义,:,白塞尔,公式,:,2.,容许误差,(,极限误差,),根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间,d,内的概,率为：,误差出现在,K,倍,中误差区间内的,概率为：,将,K=1,、,2,、,3,分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在,一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：,P(|m)=0.683=68.3,P(|2m)=0.954=95.4,P(|3m)=0.997=99.7,测量中，,一般取,两倍中误差,(2m),作为,容许误差,，也称为,限差：,|,容,|=3|m|,或,|,容,|=2|m|,3.,相对误差,(,相对中误差,),误差绝对值与观测量之比。,用于表示,距离,的精度。,用分子为,1,的分数表示。,分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K,2,K,1,，所以距离,S,2,精度较高。,例,2,：,用钢尺丈量两段距离分别得,S,1,=100,米,m,1,=0.02m,；,S,2,=200,米,m,2,=0.02m,。计算,S,1,、,S,2,的相对误差。,0.02 1 0.02 1,K,1,=,；,K,2,=,100 5000 200 10000,解：,0.02m,0.02m,例题,测回,观测值,v,i,vv,计算,1,124.345,2,124.352,3,124.360,4,124.349,5,124.356,6,124.362,746.124,+9,+2,-6,+5,-2,-8,0,81,4,36,25,4,64,214,5.3,误差传播定律及其应用,水准测量中,:,h=a-b,高差,h,为水准尺读数,a,、,b,的差函数，若,a,、,b,的观测误差以偶然误差为主，可根据多次实验测出其中误差；,例如：,m,a,=,1 mm,，,m,b,=,1 mm,；,那么高差的中误差,m,h,=?,1,、,2,、,0,、,2,研究观测值函数误差传播的规律，称为误差传播定律。,一、和差函数,设,Z=X,Y,（,X,、,Y,不相关）,有观测误差,真误差,平方求和,除以,n,根据偶然误差第四特性，有,和差函数误差,二、倍函数,设,Z=KX,（,K,为常数）,有观测误差,真误差,平方求和,除以,n,倍函数误差,例,:,在,1:1000,地形图上量得图上距离,d=123.456mm,其误差,m,d,=,0.1mm,，,则其实地距离,D,及其误差,m,D,:,D=123.456m,m,D,=,0.1m,三、线性函数,设,Z=K,1,X,1,K,2,X,2,K,n,X,n,设,Y,i,=K,i,X,i,，则,代入和差函数传播定律，则得线性函数传播定律,例：,算术平均值,算术平均值中误差,四、一般函数,设有函数,Z,=f,(,X,1,，,X,2,，,，,X,n,),(X,i,间不相关,),Z+,Z,=f,(,X,1,+,1,，,X,2,+,2,，,，,X,n,+,n,）,求全微分,式中的各偏导数，在实际观测了各,X,i,后，即为常数；以微分代表测量真误差,，,上述全微分公式与线性函数的真误差公式相似，则有：,如图,6-3,所示，用测距仪测得斜距,L,=1287.44m,10mm,，,竖直角,=2312186,。,仪器高,i,=1.454m,2mm,，,镜高,v,=1.565m 2mm,。,求,AB,间距离,D,及高差,h,AB,的中误差。,解：,1,、计算公式,3,、代入公式，计算得,2,、分别求全微分，,=206265,误差传播应用示例,水准测量,水准测量的高差中误差,设水准测量测定,A,、,B,两点间高差，中间共设,n,站，则,A,、,B,间高差等于各站高差之和，即,h,AB,=h,1,+h,2,+h,n,设每站高差中误差均为,m,站,，则有,即水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比。,即水准测量高差中误差与路线长的平方根成正比。,若为平坦地区，测站间距离,S,大致相等，设,A,、,B,间的距离为,L,，则测站数,n,=,L/S,，代入上式，并设每公里高差中误差,=m,站,/,S,，,得,误差传播应用示例,角度测量,1,、由三角形闭合差计算测角中误差,菲列罗公式,设在三角网中等精度观测各三角形内角，其测角中误差均为,m,各三角形闭合差,f,i,，,闭合差的中误差,m,为,闭合差是内角的和函数，内角等精度,测角中误差,2,、上、下半测回互差,J6,经纬仪的“,6”,：一测回方向值中误差不超过,6,。,一测回方向值是盘左、盘右方向值的平均值，故半测回方向值（即每次方向读数）中误差,m,半方,为：,取容许误差为中误差的二倍，则上、下半测回互差容许值为：,半测回角值为两方向读数值之差函数，故其中误差,上、下半测回角值互差的中误差,