【市级联考】广东省惠州市20182019学年高一第一学期期末质量检测数学试题.doc

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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【市级联考】广东省惠州市2018-2019学年高一第一学期期末质量检测数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分

注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人
得分

一、单选题
1．已知集合A=1,3，集合B=3,4,5，则集合A∩B= （ ）
A．3 B．4,5 C．1,2,4,5 D．3,4,5
2．已知向量a=4,2，向量b→=1,x．若a⊥b，则x的值是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
3．要得到函数y=cos(2x+3)的图象，只要将函数y=cos2x的图象（ ）
A．向左平移32个单位 B．向右平移3个单位
C．向左平移3个单位 D．向右平移32个单位
4．函数fx=ex-x-2的一个零点所在的区间为（ ）
A．(0 , 1) B．(1 , 2) C．(2 , 3) D．(3 , 4)
5．已知a=1223，b=1313，c=ln3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
6．已知cosπ12-θ=13，则sin5π12+θ=（ ）
A．-223 B．-13 C．13 D．223
7．函数y=x2+lnx的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数fx=3-x+1x≤0xa+2x>0 ，若ff-1=18，那么实数a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0，φ<π)的图象的一部分，则该解析式为（ ）

A．y=23sin(2x+π3) B．y=23sin(x2+π4)
C．y=23sin(x-π3) D．y=23sin(2x+2π3)
10．在ΔABC中，若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O是ΔABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=12弦×矢+矢2，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）

A．“弦”AB=43米，“矢”CD=2米
B．按照经验公式计算所得弧田面积（43+2）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（16π3-23）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据3≈1.73， π≈3.14)
12．定义域为R的偶函数fx，满足对任意的x∈R有fx+2=fx，且当x∈2,3 fx=-2x2+12x-18，若函数y=f(x)-logax+1在R上至少有六个零点，则a的取值范围是（ ）
A．0，33 B．0，77 C．55，33 D．0，13

第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人
得分

二、填空题
13．若fx=ax(a>0)的图象过点2,4，则a=______.
14．cos18∘⋅cos42∘-cos72∘⋅sin42∘=_____.
15．已知关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__.
16．已知函数fx=x2+xx2-5x+6，则fx的最小值为____.

评卷人
得分

三、解答题
17．（1）计算：(log23)2-log23⋅lg6lg2+log26.
（2）若tanα=-13，求sinα+2cosα5cosα-sinα.
18．已知向量a=1,2，向量 b=-3,2.
（1）求向量a-2b的坐标；
（2）当k为何值时，向量ka+b与向量a-2b共线.
19．已知函数fx=2sinx⋅cosx+2cos2x-1.
（1）求fx的最小正周期；
（2）求fx的单调递增区间．
20．已知函数fx=x+mx图象过点P1,5．
（1）求实数m的值，并证明函数fx是奇函数；
（2）利用单调性定义证明fx在区间2，+∞上是增函数．
21．已知函数fx=3sinωx+φ-cosωx+φ-π2<φ<0,ω>0为偶函数，且函数y=fx的图象相邻的两条对称轴间的距离为π2．
（1）求fπ12的值；
（2）将y=fx的图象向右平移π6个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=gx的图象，求y=gx在-π3,5π6上的最值．
22．设函数f(x)=a2x-1ax(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
（1）若f(1)>0，求使不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（2）若函数f(x)的图象过点P(1,32)，是否存在正数m(m≠1)，使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

试卷第5页，总5页
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参考答案
1．A
【解析】
【分析】
集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，根据交集的定义可直接求出所求．
【详解】
A=1,3，B=3,4,5，所以A∩B=3，
故选：A.
【点睛】
本题直接考查了集合的交集，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
2．B
【解析】
【分析】
根据a→⊥b→即可得出a→⋅b→=0，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【详解】
解：∵a→⊥b→；
∴a→⋅b→=4+2x=0；
∴x＝﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
3．A
【解析】
【分析】
由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】
解：将函数y＝cos2x的图象象左平移32个单位，可得函数y＝cos（2x+3）的图象，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．B
【解析】
【分析】
将x＝﹣1，x＝0，x＝1代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案．
【详解】
解：∵f（﹣1）=1e+1﹣2=1e-1＜0，f（0）＝1﹣2＝﹣1＜0，
f（1）＝e﹣1﹣2＜0，f（2）＝e2﹣4＞0，
∴函数f（x）的零点在（1，2）内，
故选：B
【点睛】
一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
5．D
【解析】
分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.
详解：由指数函数的性质可知：a=1223∈0,1，b=1313∈0,1，c=ln3>1，
且a=1223=314，b=1313=313，据此可知：b>a，
综上可得：c>b>a.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6．C
【解析】
【分析】
由已知及诱导公式即可计算求值．
【详解】
cosπ12-θ=13，sin5π12+θ=sinπ2-π12-θ=cosπ12-θ=13，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7．A
【解析】
【分析】
利用奇偶性与单调性判断选项即可．
【详解】
设f(x)=x2+lnx，定义域为{x|x≠0}，
f(-x)=(-x)2+ln-x=x2+lnx=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．且当x>0时，f(x)=x2+lnx为单调递增函数．
故选：A
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．C
【解析】
【分析】
推导出f（﹣1）＝3+1＝4，从而f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，由此能求出a的值．
【详解】
解：∵函数f(x)=3-x+1(x≤0)xa+2(x＞0)，f（f（﹣1））＝18，
∴f（﹣1）＝3+1＝4，
f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，
解得a＝2．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．D
【解析】
根据图象，得A=23,T=5π12--7π12=π,∴ω=2πT=2ππ=2，故y=23sin2x+φ，又由图象可知，点-π12,23是“五点法”的第二点，∴2×-π12+φ=π2,φ=2π3，从而y=23sin2x+2π3，故选D.
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出φ，正确求ω，φ是解题的关键.求解析时求参数φ是确定函数解析式的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 时ωx+φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”) 时ωx+φ=π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点) 时ωx+φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”) 时ωx+φ=3π2；“第五点”时ωx+φ=2π.
10．D
【解析】
【分析】
由 OA→⋅OB→=OB→⋅OC→得到 OB→⋅(OA→-OC→)=0→从而 OB→⋅CA→=0→所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O是△ABC的三条高的交点．
【详解】
解：∵OA→⋅OB→=OB→⋅OC→∴OB→⋅(OA→-OC→)=0→；
∴OB→⋅CA→=0→；
∴OB⊥AC，
同理由 OA→⋅OB→=OC→⋅OA→，得到OA⊥BC
∴点O是△ABC的三条高的交点．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形五心、向量的数量积及向量的运算，考查转化与数形结合思想．
11．C
【解析】
【分析】
运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．
【详解】
解：如图，由题意可得∠AOB=2π3，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD=π3，∠DAO=π6，OD=12AO=12×4=2，
可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AOsinπ3=4×32=23，
可得弦＝2AD＝43，
所以弧田面积=12（弦×矢+矢2）=12（43×2+22）＝43+2平方米．
实际面积=12⋅2π3⋅42-12⋅43⋅2=16π3-43，
16π3-83-2=0.907≈0.9．
可得A，B，D正确；C错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．
12．A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用换元法，转化求解函数的零点个数，推出结果．
【详解】
当x∈2,3时，fx=-2x2+12x-18=-2x-32，图象为开口向下，
顶点为3,0的抛物线，∵函数y=f(x)-logax+1在0，+∞上至少有三个零点，令gx=logax+1，因为fx≤0，所以gx≤0，可得0<a<1，
要使函数y=f(x)-logax+1在0，+∞上至少有三个零点，

如图要求g2>f2， loga2+1>f2=-2⇒loga3>-2，
可得3<1a2⇒-33<a<33，a>0，所以0<a<33，
故选：A．
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
13．2
【解析】
【分析】
把已知点代入函数，即可解得a值.
【详解】
解：函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2．
故答案为：2
【点睛】
本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
14．12
【解析】
【分析】
利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解．
【详解】
解：cos18°⋅cos42°-cos72°⋅sin42°=cos18°⋅cos42°-sin18°⋅sin42°=cos60°=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．
15．54,+∞（或a≥54）
【解析】
【分析】
由题意，利用判别式△≤0求得a的取值范围．
【详解】
关于x的不等式x2-x+a-1≥0在R上恒成立，所以图象与x轴最多有一个交点，所以判别式Δ=-12-4a-1≤0，解得a≥54，所以a的取值范围为54,+∞．
故答案为：[54，+∞）．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查数形结合与等价转化思想，是基础题
16．-94
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可．
【详解】
解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）
＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）
＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]
＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），
不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，则y=t(t-3)=(t-32)2-94（t≥﹣1），
所以当t=32时，f（x）的取最小值-94．
故答案为：-94
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
17．(1)1 (2) 516
【解析】
【分析】
（1）直接利用对数的运算性质化简求值；
（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【详解】
(1)(log23)2-log23⋅lg6lg2+log26
=(log23)2-log23⋅log26+log26
=log23(log23-log26)+log26，
=-log23+log26=1，
(2) 〖解法1〗由题知cosα≠0
∴sinα+2cosα5cosα-sinα=sinα+2cosαcosα5cosα-sinαcosα.
=tanα+25-tanα，
=516，
〖解法2〗tanα=-13⇒-3sinα=cosα
∴sinα+2cosα5cosα-sinα=sinα+2-3sinα5-3sinα-sinα.
=516，
【点睛】
本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题．
18．（1）(7,-2)（2）k=-12
【解析】
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出ka+b的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）a-2b=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2)
（2）ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，
a-2b=(1,2)-2(-3,2)=(7,-2)
∵ka+b与a-2b共线，
∴7(2k+2)=-2(k-3)
∴k=-12
19．（1）π；（1）(-3π8+kπ,π8+kπ),k∈Z.
【解析】
试题分析：（1）化简函数得f(x)=2sin(2x+π4)，利用T=2πω求解即可；
（2）令-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，即可求增区间.
试题解析：
（1）f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)
T=2πω=π
（2）令-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ (k∈Z)
得：-3π8+kπ≤x≤π8+kπ.
所以增区间为：(-3π8+kπ,π8+kπ),k∈Z.
点睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2 (k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝2πω.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
20．（1）m=4，证明略 （2）见证明
【解析】
【分析】
（1）代入点P，求得m，再由奇函数的定义，即可得证
（2）根据单调性的定义，设值，作差，变形，定符号和下结论即可得证
【详解】
（Ⅰ）f(x)=x+mx的图象过点P(1,5)，
∴5=1+m，∴m=4.
∴f(x)=x+4x，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
f(x)=x+4x，又f(-x)=x-4x，∴f(x)=-f(x)，
f(x)是奇函数．
（Ⅱ）证明：设任意x2>x1≥2，
则f(x2)-f(x1)=x2-x1+4x2-4x1=(x2-x1)(1-4x1x2)=(x2-x1)x1x2-4x1x2
又x2-x1>0，x1≥2，x2>2，∴x1x2>4
∴f(x2)-f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x)在区间[2,+∞)上是增函数
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求解以及单调性的判断和证明，属于基础题，难度不大，掌握相关基本方法是解决该类题目的关键。
21．（1）fπ12=-3 (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再由题意利用三角函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，进而求得f（π12）的值．
（2）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得y＝g（x）在[-π3，5π6]上的最值．
【详解】
（1）f(x)=3sinωx+φ-cosωx+φ=2sinωx+φ-π6.
∵相邻两对称轴距离为π2，∴T=π即ω=2，
∵f(x)是偶函数 ∴φ-π6=π2+kπ,k∈Z,即φ=2π3+kπ,k∈Z，
又-π2<φ<0, ∴φ=-π3
∴f(x)=2sin(2x-π2)=-2cos2x，
fπ12=-2cosπ6=-3，
（2）由图象变换可得g(x)=-2cos12x-π3.
∵x∈[-π3,5π6],即12x-π3∈[-π2,π12]，
结合函数图像可得：当12x-π3=0即x=2π3时，g(x)取最小值为g(x)min=-2
当12x-π3=-π2即x=-π3时，g(x)取最大值为g(x)max=0.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22．（1）-3,1 （2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由f（1）＞0得a-1a又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）＝ax﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；
（2）把点代入求出a＝2，假设存在正数m，构造函数设s＝2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2＝s2﹣ms+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．
【详解】
（1） f(x)=ax-a-x，由f(1)>0 得 a-1a>0，又 a>0 ∴ a>1.
∵ f(kx-x2)+f(x-1)<0，函数fx是奇函数，∴f(kx-x2)<f(1-x)
∵ a>1,f(x)=ax-a-x在R上为增函数，即 kx-x2<1-x对一切x恒成立，
即x2-(k+1)x+1>0 在R恒成立，有Δ<0，∴(k+1)2-4<0
得 -3<k<1，所以k的取值范围是-3,1
（2）假设存在正数m(m≠1)符合，∵ f(x)过（1,32) ∴ a=2
g(x)=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2]，
设s=2x-2-x, h(s)=s2-ms+2
(i) 若0<m<1，则函数h(s)=s2-ms+2在[32,83]上最小值为1
∵ 对称轴 s=m2<12，h(s)min=h(32)=174-32m=1⇒m=136（舍）
(ii) 若m>1，则h(s)=s2-ms+2>0在[32,83]上恒成立，且最大为1，最小值大于0
①12<m2≤2512hsmax=h83=1⟹m=7324
此时m2=7348∈[32,83]，h(s)min=h(7348)<0故不合题意
②m2>2512hsmax=h33=1⟹m>256m=136⟹m无解
综上所述，不存在正数m(m≠1)满足条件。
【点睛】
本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．
答案第11页，总12页