第 八章3应力应变状态分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 八章 应力应变状态分析,一,.,研究应力状态的意义,8-1,引言,（,1,）同一点各个方向的应力不同；,(2),相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与低碳钢的压缩破坏。,二、一点的应力状态,1.,一点的应力状态,：,通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况,。,2.,研究应力状态的目的,：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,三、研究应力状态的方法,单元体法,1.,单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力与应变分析,x,O,z,y,dz,dx,dy,X,Y,Z,O,s,y,s,y,s,z,s,z,t,zy,t,y,z,t,yz,t,zy,t,yx,t,yx,t,xy,t,xy,s,x,s,x,t,zx,t,xz,t,zx,t,xz,应力与应变分析,（,1,）应力分量的,角标规定,：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（,2,）面的方位用其法线方向表示,3.,截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴,(,笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状,而定,),在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.,单元体上的应力分量,应力与应变分析,P,M,e,M,e,P,P,M,e,M,e,c),同,b),，,但从,上表面截取,C,t,s,s,b),横截面，周向面，直径面各一对,B,a),一对横截面，两对纵截面,A,s=,P/A,s,t=M,e,/,W,n,A,B,C,B,C,A,P,C,A,B,t,B,t,C,s,C,s,C,s,A,s,A,低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。,铸铁,低碳钢,为什么要研究一点的应力状态？,CL10TU2,主平面,剪应力为零的平面,主应力：,主平面上的正应力,主方向：,主平面的法线方向,可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。,三个主应力用,1,、,2,、,3,表示，按代数值大小顺序排列，即,1,2,3,二,.,基本概念,应力状态的分类：,单向应力状态：,三个主应力中只有一个不等于零；,二向和三向应力状态统称为,复杂应力状态,二向应力状态,（平面应力状态）：两个主应力不等于零；,三向应力状态,（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零,8-2,平面应力状态下的应力分析,CL10TU8,一,.,应力单元体,二,.,应力分析的解析法,（,1,）斜截面应力,：,拉应力为正,：,顺时针转动为正,：,逆时针转动为正,平衡对象,用,斜截,面截取的微元局部,平衡方程,t,yx,参加平衡的量,应力乘以其作用的面积,A,，,2.,斜面上的应力,微元体的平衡方程,s,-,cos,),cos,(,A,x,-,s,y,A,(,sin,),sin,t,yx,A,s,+,t,A,(,cos,),sin,xy,+,t,A,(,sin,),cos,yx,n,法向的平衡,-,t,A,+,s,x,A,(,cos,),sin,+,t,xy,A,(,cos,),cos,-,s,y,A,(,sin,),cos,-,t,yx,A,(,sin,),sin,t,yx,t,切向平衡,注：三角公式,讨论：,8-3,.,主应力,由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应力和最小主应力。,由,由：,8-4,应力分析的图解法,应力圆,1.,莫尔,(Mohr),圆,在,t,-,s,坐标系中，标定与微元垂直的,A,、,D,面上 应力对应的点,a,和,d,连,ad,交,s,轴于,c,点，,c,即为圆心，,d,应力,圆半径。,A,D,a,(,s,x,t,xy,),d,(,s,y,t,yx,),c,R,2.,应力圆的画法,3.,应力圆的几种对应关系,(3),转向对应,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,(4),二倍角对应,半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,(1),单元体与应力圆对应,单元体的应力分量已知一般来说对应着唯一的应力圆；,(2),点面对应,应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；,点与面对应,c,a,A,圆与单元体对应,初始面,C,q,2q,a,A,A,a,y,x,转向对应、二倍角对应,A,D,c,主应力与主切应力,d,(,s,y,t,yx,),a,(,s,x,t,xy,),(1),根据单元体上的应力,x,、,y,、,x,画应力圆,:,4.,用应力圆求任意斜截面上的应力,（,2,）求任意斜截面上的应力,例,8-1,分别用解析法和图解法求图示单元体的,(1),指定斜截面上的正应力和剪应力,;,(2),主应力值及主方向，并画在单元体上；,(3),最大剪应力值。,解：,(),使用解析法求解,s,=,105,MPa,1,=,s,0,2,s,=,-,65,MPa,3,1,a,t,s,s,tan,=,-,-,=,x,x,y,2,2,0,(),使用图解法求解,t,s,a,a,=,=,102,22,=,s,105,max,65,s,=,-,min,t,=,85,max,5,a,=,22,0,.,作应力圆，从应力圆上可量出：,例,8-3,一点处的应力状态如图所示，试用应力圆求主应力。,CL10TU71,例,8-3,一点的应力状态如图所示（应力单位,MPa,），,试作应力圆求主应力及其作用平面。,327,，,-237,127,，,-73,低碳钢,铸铁,例,8-4,讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。,圆筒形薄壁压力容器，内径为,D,、,壁厚为,t,，,承受内力,p,作用,CL10TU4,),t,D,p,(,m,s,m,s,t,s,承受内压,p,作用薄壁圆筒的应力计算,),t,D,p,(,m,s,84,梁的主应力及其主应力迹线,应力状态与应变状态,1,2,3,4,5,P,1,P,2,q,如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上,M,、,Q,0,，,试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。,单元体：,应力状态与应变状态,2,1,s,1,s,3,s,3,3,s,1,s,3,4,s,1,s,1,s,3,5,a,0,45,a,0,s,t,A,1,A,2,D,2,D,1,C,O,s,A,2,D,2,D,1,C,A,1,O,t,2,a,0,s,t,D,2,D,1,C,D,1,O,2,a,0,=90,s,D,2,A,1,O,t,2,a,0,C,D,1,A,2,s,t,A,2,D,2,D,1,C,A,1,O,拉力,压力,主应力迹线（,Stress Trajectories,),：,主应力方向线的包络线,曲线上每一点的切线都指示,着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。,实线表示拉主应力迹线；,虚线表示压主应力迹线。,应力状态与应变状态,1,3,1,3,q,x,y,主应力迹线的画法：,1,1,截面,2,2,截面,3,3,截面,4,4,截面,i,i,截面,n,n,截面,b,a,c,d,1,3,应力状态与应变状态,3,1,1.,三向应力状态应力圆：,平行,s,3,斜截面上应力由,s,1,、,s,2,作出应力圆上的点确定；,平行,s,2,斜截面上应力由,s,1,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,平行,s,1,斜截面上应力由,s,2,、,s,3,作出应力圆上的点确定；,由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。,一、三向应力状态下的应力圆,2.,三向应力状态下的最大剪应力,t,max,所在平面与,s,1,和,s,3,两个主平面夹角为,45,o,。,二、例题,8-5,三向应力状态下的最大应力,三向应力状态研究,应力圆法,应力状态与应变状态,s,2,s,1,x,y,z,s,3,1,、空间应力状态,2,、三向应力分析,弹性理论证明，图,a,单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图,b,的应力圆上或阴影区内的一点。,图,a,图,b,整个单元体内的最大剪应力为：,t,max,应力状态与应变状态,s,2,s,1,x,y,z,s,3,例,4,求图示单元体的主应力和最大剪应力。（,MPa,）,解：,由单元体图知：,y z,面为主面,建立应力坐标系如图，画应力圆和点,1,得,:,应力状态与应变状态,50,40,x,y,z,30,10,(M,Pa),s,a,（M,Pa）,t,a,A,B,C,A,B,s,1,s,2,s,3,t,max,s,3,s,2,s,1,s,2,s,3,s,1,s,2,s,1,s,3,s,3,C,1,C,3,s,1,s,2,O,t,s,t,12,t,23,t,13,C,2,例,8,-,4,试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,x,300,150,y,1,40,z,90,解：,给定应力状态中有一个主应力是已知的，即,s,z,=90MPa,。因此，可将该应力状态沿,z,方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,s,x,=300MPa,，,s,y,=140MPa,，,t,xy,=,-,150MPa,，因此：,根据,s,1,、,s,2,、,s,3,的排列顺序，可知：,s,1,=390MPa,，,s,2,=90MPa,，,s,3,=50MPa,x,z,y,x,z,y,90,300,150,140,A,s,y,=140,t,xy,=150,s,x,=300,A,视,s,2,y,31,o,31,o,s,1,x,s,3,主应力方位：,最大剪应力所在平面法线与主平面夹角,45,o,即与,x,轴夹角,76,o,或,-,14,o,。,单元体内的最大剪应力：,86,平面内的应变分析,x,y,O,一、叠加法求应变分析公式,a,b,c,d,a,A,O,B,剪应变：直角的增大量！,（只有这样，前后才对应）,应力状态与应变状态,D,D,1,E,E,1,应力状态与应变状态,x,y,O,a,b,c,d,a,A,O,B,D,D,2,E,E,2,D,D,3,E,E,3,应力状态与应变状态,x,y,O,a,b,c,d,a,A,O,B,应力状态与应变状态,2,、已知一点,A,的应变（），画应变圆,二、应变分析图解法,应变圆,（,Strain Circle,）,1,、应变圆与应力圆的类比关系,建立应变坐标系如图,在,坐标系内画出点,A,(,x,，,xy,/2,),B,(,y,，,-,yx,/2,),AB,与,a,轴的交点,C,便是圆心,以,C,为圆心，以,AC,为半径画圆,应变圆。,应力状态与应变状态,e,a,g,a,/2,A,B,C,e,a,g,a,/2,三、,方向上的,应变与,应变圆的对应关系,max,min,2,0,D,(,，,/2,),2,n,应力状态与应变状态,方向上的,应变,(,，,/2,),应变圆上一点,(,，,/2,),方向线,应变圆的半径,两方向间夹角,两半径夹角,2,；,且转向一致。,A,B,C,四、主应变数值及其方位,应力状态与应变状态,例,5,已知一点在某一平面内的,1,、,2,、,3,、方向上的,应变,1,、,2,、,3,，,三个线应变，求该面内的主应变。,解：由,i,=1,2,3,这三个方程求出,x,，,y,，,x y,；,然后在求主应变。,应力状态与应变状态,例,6,用,45,应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。,x,y,u,45,o,0,max,应力状态与应变状态,一、广义虎克定律,1.,有关概念：,主应变,：沿主应力方向的应变，分别用,e,1,e,2,e,3,表示；,正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.,广义虎克定律,：,推导方法：,叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,8-,广义虎克定律,s,1,s,2,s,3,s,1,s,1,I,s,2,s,2,II,s,3,III,s,1,I,s,1,s,2,II,s,2,s,1,方向上的应变：,s,2,方向上的应变：,s,3,方向上的应变：,III,s,3,用应变表示应力：,上式中,：,二、例题,例,9,-,5,在一体积较大的钢块上有一直径为,50.01mm,的凹座，凹座内放置一直径为,50mm,的钢制圆柱如图，圆柱受到,P=300kN,的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取,E=200GPa,，,n,=0.30,。,P,p,P,P/A,p,p,p,p,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力,p,。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为,-,p,，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变,e,2,的值为：,解：,在柱体横截面上的压应力为：,圆球形薄壁容器，壁厚为,t,，,内径为,D,，,承受内压,p,作用。,应力的坐标变换,应力圆,一、总应变比能,1.,有关概念：,应变能,(,变形能,),：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的,能量。用,U,表示；,比能,：单位体积的应变能，用,u,表示；,2.,总应变比能：,取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：,比能：,代入虎克定律：,8-8,三向应力状态下的变形比能,s,2,s,1,s,3,e,1,e,2,e,3,dx,dy,dz,二、体积改变比能,u,v,与形状改变比能,u,d,1.,有关概念：,单元体的变形：,体积改变,和,形状改变,。,体积改变比能,：与体积改变相对应的那一部分比能，用,u,v,表示；,形状改变比能,：与形状改变相对应的那一部分比能，用,u,d,表示；,2.u,v,、,u,d,公式,体积改变比能：,s,3,s,2,s,1,体积应变只与平均,正应力有关，则体,积改变比能只与平,均正应力有关。,体积改变,s,m,s,m,s,m,s,3,-,s,m,s,2,-,s,m,s,1,-,s,m,形状改变,形状改变比能：,一般情况：,谢 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