动力学基本方程.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、绪论：,1.,研究对象,动力学是研究物体机械运动状态的变化与,作用于物体上的力之间的关系的一门学科，将,物体的运动和力加以统一考虑，研究机械运动,所具有的普遍规律。,动力学基本方程,2.,动力学与静力学，运动学之间的关系,静力学,只研究物体的力系的合成与平衡问题，,不考虑其运动，即不考虑力系的不平,衡状态。,运动学,只研究物体作机械运动的几何特征，,只考虑了运动，不考虑引起物体机械,运动状态发生变化的原因，即不考虑,物体的受力状况。,动力学,既研究物体上受力的情况，也需考虑,其运动，静力学和运动学都是动力学,的基础。,事实上，各种物体之间的机械运动状态的,变化与物体的的存在着极为密切的联系而不可,分离，所以单纯只研究受力和研究运动都不能,对机械运动作出合理的研究，必须同时将力与,运动联系起来，加以统一研究，所以学习动力,学就更具有重要性；,3.,两类基本问题,(1),已知运动求力：（主要是指求约束反力）,例如：曲柄滑块机构，其运动规律可以求得，,或者首先设计出来，故作用在滑块上的蒸汽压力,应按一定的要求变化。,（,2,）已知力求运动,如发射炮弹，飞机航行等受力已知，但发射,炮弹要控制弹道曲线，飞机航行要控制运行的轨,迹等，这就要求控制运动。,又如起重机吊重，起步与制动时，作,加速运动，运行过程中作匀速运动，所以,在起步和制动过程中，要考虑由加速和减,速引起的力，钢绳是否能承受这个力，这,就是已知运动要求力的问题。,4.,质点、质点系,(1),质点,在所讨论的问题中，其大小及形状,可以忽略不计，但要求考虑质量的点称为质点。,(2),质点系,在运动中，相互靠一定的联系而联,接在一起的一群质点，如曲柄连杆机构中，,曲柄，连杆及滑块都个为一质点，整体为一,质点系。,二、动力学基本方程,1.,动力学基本定律,第一定律：牛顿第一定律（,惯性定律,）,任何物体都保持其静止的和匀速直线运动,的状态，直至它受到其它物体的作用而被迫改,变这种状态时为止。,（这里所说的物体应理解为没有转动或其,转动可以不计的平动物体，即质点）,惯性,任何物体在不受力作用时都有保持其,运动状态不变的属性，物体的运动这一运动属,性称为惯性。,第一定律正是指出了这种属性，所以又叫惯性,定律。,惯性运动,物体的匀速直线运动就称为惯性,运动。,惯性坐标系,研究机械运动首先应建立参照坐标系，,物体运动的状况是随所选的参照坐标系的不同,而不同的，因此必然会出现这样一种现象：,即对某一参考系而言是作惯性运动的物体,对另一参照系来说却作变速运动，但物体及其,所受的力并不因为所选的参照系的不同而改变，,所以，第一定律能否成立与所选的参照系密切,相关。,惯性坐标系,凡第一定律（惯性定律）在其中能成立,的参照系称为惯性坐标系。,工程实际中，所遇到的大多数的动力学问题，,都可以把固结在地球表面坐标系看作是惯性坐标,系。研究人造地球卫星或行星的运动时，则应分,别选取地心或日心原点，且坐标轴在空间方向保,持不变的坐标系作为惯性坐标系。,同时，第一定律也表明了外力是物体获得,加速度的外部原因。,第二定律：,即使物体所获得的加速度的大小与它所受,的外力成正比，而与物体的质量成反比，加速,度方向与外力的方向相同。,第二定律阐明了物体的质量，加速度与它,所受的力三者之间的关系。,即为动力学基本方程,从上式可以看出，当物体在某个力的作用,下获得大小为一个单位的加速度时，则此物体,的质量在数值上就与该力相等。所以，质量在,数值上等于该物体获得一个单位加速度时所需,加的力。,m,的物理意义,:,可以看出，当,从：,因此：质量小的物体惯性小（容易改变原来的,运动状态）；质量大的物体惯性大（不易改变,原来的运动状态）；所以，物体的质量反映了,物体的惯性，即,质量是物体惯性的量度,。,质量的单位：国际单位：,Kg,基本单位与导出单位：,基本单位：在国际单位制（,SI,）,中，,质量的单位是千克（,Kg,），,长度的单位是米（,m,），,时间的单位是秒（,s,）,导出单位：力的单位属于导出单位。,使质量为,1Kg,的物体获得,1,米,/s,2,的加速度所需,加的力被取作为力的单位，称为,1,牛顿（简称牛，,符号为,N,），,即：,工程单位制：,工程单位制中力的单位是基本单位，,质量的单位为导出单位。,规定为：质量为,1Kg,的物体置于北纬,45,度的海平面,时该物体的所受的重力值取作为力的单位，称为,1,公斤（力）。,（或者说，将能使质量为,1Kg,的物体所受的重力,值，取作为力的单位，称为,1,公斤（力）。,即：,1Kg,（,力）,1Kg9.8 m/s,2,9.8 N,上式为国际单位制及工程单位制中，力的两种,不同单位（公斤力与牛）之间的转换关系式。,在工程单位制中，质量的单位为：,1,工程质量单位,将在,1,公斤,(,力,),的作用下能获得,1m/s,2,的,加速度的物体所具有的质量称为,1,质量的单位。,1,工程质量单位,1,公斤（力）,秒,2,米,9.8Ns,2,/m=9.8Kg,该式为质量的两种不同单位的换算关系,采用工程单位制时，如已知受力物体的重量,p,（,以公斤为单位），则其质量为,p/g,。,牛顿第二定律的适用范围：,牛顿第二定律适合于惯性坐标系。,附：精密仪器工业中：,绝对单位制为厘米克秒制,基本单位：用,cm,表示长度，,g,表示质量，,s,表示时间。,导出单位：用达因（,dyne,）,表示：,1dyne,1g1cm,s,2,即,:,一克质量的物体获得,1cm,s,2,的加速度,时，作用于物体上的力为,1 dyne.,第三定律,:,作用与反作用定律,当甲物体以一力作用于乙物体时，则乙物体,必对甲物体有一反作用力，作用力与反作用力等,值，反向，共线，且分别作用于甲乙物体之上。,该定律对于静力和动力都适合。,质点运动微分方程：,（,DE,）,运动,DE,指一个方程，该方程直接由牛顿第二,定律导出；方程中包含了确定质点的变量对时,间的变化率；即称为质点运动微分方程，方程,有多种形式；,1.,矢量形式的运动,DE,：,（,3,）直角坐标形式的运动,DE,；,将矢量形式的运动,DE,各项所表达的直角,坐标轴上进行投影，得到投影形式的,DE,：,直角坐标形式的质点运动微分方程（组）,特殊形式：质点沿平面曲线运动：,质点沿直线运动：（力系在,y,，,z,方向上均平衡）,（,4,）自然轴（坐标）形式的运动,DE,若已知质点运动的轨迹，则可将矢量形式,的运动微分方程两端的投影到自然坐标轴。,，,n,，,b,分别为轨迹的切线、法线及次法线轴。,得：,特殊情形：,（,1,）如果质点沿平面曲线运动，那么曲线上,的点的密切面都在该平面上。,（,2,）如果质点作直线运动，则只要第一式。,利用以上三种形式的直线运动微分方程，,原则上就能解决有关质点运动学的所以问题，,至于在具体应用时宜选取什么形式的运动微分,方程，则需要根据具体的问题而定。,质点动力学的问题分为两类：,第一类问题,:,（微分问题）,已知质点的运动，即已知质点的运动方程，或已知质点在某瞬时的速度或加速度，求作用于,质点的未知力。,第二类问题,:,（积分问题）,已知质点所受的力，求质点的运动方程或,速度。,两类问题常常不能截然分开，常常在一个问题中,就包含着这两类问题。,质点动力学第一类问题,已知质点的运动，求作用在质点的力。,如果已知质点的运动方程，求它们对时间的导数，于是由质点的运动微分方程即可求出作用在质点上的力。,所以，这类问题可以归结为,微分问题,。,自由质点与非自由质点：,自由质点,运动时不受约束的质点，,如人造卫星，炮弹等，其运动由主动力和运,动的起始条件决定的。,非自由质点,运动时受到约束的质点，,非自由质点的运动不仅决定于主动力和运动,的起始条件，而且还与约束的性质有关。,如自由质点或非自由质点的运动情况已知，要求出,它所受的力，这类问题属于第一类问题。,解题方法,(1),明确研究对象，画出受力图,选取适当的坐标系，分析运动和受力，根据,问题的已知条件建立适当的运动微分方程。,由简单的导数运算，可求得加速度，再建立,运动微分方程,解出微分方程各未知力，即得需求的结果。（将各力代入微分方程求解）,例,:,汽车的质量,m=1500 kg,以匀速,v=36km/h,在,一段向上弯曲的圆弧路面上行驶，已知圆弧半径,R,100m,，求汽车所受路面对它的法向反力的最,大值。,解：（,1,）研究汽车，受力分析如图,（,3,）建立运动微分方程求解,:,由牛顿第二定律得出：,（,2,）速度分析如图,，,匀速运动：,汽车运动的轨迹为一段圆弧，故选取自然,坐标形式的运动微分方程，故有：,汽车作匀速运动：,由上列方程得：,当汽车达到最低点,B,时，,且：,将：,代入得：,由以上得计算可以看出，汽车在圆弧路面,上行驶时，所受路面法向反力,FN,由两部分组成：,第一部分汽车静止于任一点,A,处时由车重所,引起的法向反力，称为静反力；,第二部分是汽车因受路面的限制，而被迫,改变运动方向而沿圆弧运动所需的向心力，也,属法向反力，称为动反力。,路面对汽车的法向反力等于静反力与动反力之和。,当法向反力达到其最大值（即汽车在,B,点处）,时，其法向反力与法向静反力的比值为：,称为动荷系数。,表示物体按照已知条件运动时，所受的最大法向动反力是法向静反力的倍数。,动力学的问题中，因为动反力经常出现，所以应给,予足够重视。,例,2,质量为,1kg,的重物,M,，,系于长,L,0.3m,的,线上，线的上端固定在天花板上的,O,点，重物,在水平面内作匀速圆周运动而使悬线与铅垂线,间的夹角恒为,60,度，试求重物运动的速度和线,上的张力。,解：（,1,）研究,M,（,2,）,受力分析如图：,拉力,F,，,重力,m,g,（,3,）,运动分析：,M,在平面上 作圆周运动，,速度沿,M,点切线方向,（,4,）建立运动微分方程并求解,因,M,点的轨迹已知为圆周，故可采用自然,坐标形式的运动微分方程,由第,1,式知：,v,常量，,由第,3,式得：,将,T,F,值代入第,2,式得：,即重物的速度为,2.1m/s,。,又悬线上的张力应与重物所受的拉力大小,相等，其值为,19.6,kN,例 套管,A,重,F,P,，,因受细绳牵引，而沿垂直杆,向上滑动。细绳过小滑轮,B,而绕在鼓轮上，滑,轮与杆的水平距离为,L,，,当鼓轮匀角速转动时，,轮缘上各点速度的大小,v,，,如不计滑轮半径和,摩擦，求以距离,x,表示的细绳的拉力。,解：（,1,）取套管,A,为研究对象。,（,2,）受力分析：,重力,F,P,，,细绳拉力,F,T,，,杆对套管的约束反力,F,N,（,3,）建立如图坐标系；,（,4,）,A,点的运动微分方程：,需要先找出,A,点的,运动方程,x,=,f(t),；,再求,2,阶导数，代入,（,1,）,中,求解。,设初瞬时,(,t=0,),套管位于,A,0,，,A,0,至滑轮,B,的,一段绳长为一定值,S,0,，,又在瞬时,t,套管位于,A,A,至滑轮,B,的一段绳长为,S,，,则,S,S,0,就是在,从初瞬时到瞬时,t,所绕在鼓轮上的绳长，它等于,初瞬时绳上位于鼓轮边缘处的点在同一时间,t,内,所过的弧长。故有：,由,图中几何关系得：,套管,A,的运动方程,将运动方程等式两端对时间,t,求导，得：,导管,A,的速度与坐标之间的关系。,A,点的加速度为：,以,x,表示的绳的拉力。,由于,v,0,、,L,、,x,均为正，而 、均为负，说明套管,A,沿铅垂杆加速上升。将 值,代入得：,小结：解动力学第一问题，步骤如下：,（,1,）分析质点的受力情况：,对于非自由质点，除了主动力外还受到约束,反力的作用，一般来说，约束反力是未知力，但,其作用线和指向往往可根据约束的性质决定。根,据受力情况准确的画出质点的脱离体及受力图。,（,2,）分析质点的运动情况：,按题意给出的运动条件，分析质点的轨迹，,速度和加速度。并由此确定所采用的微分方程,的形式。,（,3,）列出运动微分方程，并将已知条件代入以,求出未知力。,4.,质点动力学第二类问题,质点动力学的第二类问题为已知作用于质点,上的力，需要求出质点的速度和运动方程等，这,类问题恰于第一类问题相反，可归结为对运动微,分方程的积分问题。,例如，若已知质点所受的力在坐标轴上的投影,x,、,y,、,z,和,F,、,F,n,，,要求出质点的运动规律，,则必须对于运动,DE,：,积分，并根据运动的初始条件以确定积分常量。,由于力可以是多种多样的各种函数，因此,解决这类问题没有统一的方法，要根据力的类,型而决定。,又由于积分问题比微分问题困难，不是所,有的函数都可求得积分的解析解，还可能采用,数值解，或者采用计算机进行数值解。,1,、可将通常遇到的力分为以下几类,:,（,1,）常力：,如地面附近的物体所受的重力，均匀静电场中,运动的带电质点所受的电场力等。,（,2,）力是质点坐标（即位置）的函数；,如弹性力，万有引力以及两带电物体间的静电,力等。,（,3,）力是质点速度的函数：,介质（气体或带电体）中的运动物体所受的介质阻力等。,（,4,）力是时间的函数,;,机器启动或停止过程中马达的牵引力；,带电质点在变电场（电流随时间而变化）中,所受的力；,工程结构所受的地震力等等。,在实际问题中，质点往往受到多个不同类的,力的同时作用，例如，空中飞行的炮弹同时受到,重力和介质阻力的作用，而如果是飞行中的飞机，,则除重力与介质阻力外还会受到喷气推进力等等,的作用。,质点所受的力复杂，又不同类，微分方程中,包括了几种不同类型的函数，象这类问题，就找,不到解析解，只能采用近似解。,2,、例题,力是常力和力是质点坐标的函数,例,:,一长为,L,质量不计的细绳上端固定于,O,点，,下端系一质量为,m,的小球并可在沿铅垂平面内,摆动。如图，已知,当绳的摆角为,0,，,小球的速度为,v,0,，,试,求小球在任意位置时,的速度。,解：,（,1,）研究对象：,小球,A,（,2,）,受力分析：,重力,mg,，,绳的约束反力,F,T,（,3,）运动分析：,小球作已知的,圆周运动，半径为,L,，,任一瞬时小球的,速度沿该位置的切线方向。,因其运动轨迹已知为一圆弧运动，所以建立自然坐标形式的运动微分方程。,（,4,）建立运动微分方程：,两端积分得：,小球在任一位置时的速度,例 由地球表面上任意一点沿铅垂方向,向上发射物体，如图，试求此物体射出后不致返回地球所需的发射速度。,解：（,1,）研究质点,M,（,2,）,M,点受万有引力的作用。,由牛顿定律知物体所受地球引力的大小为：,-,是引力常数；,M,是物体的质量；,r,是物体到地心的距离。,以地心为坐标原点，,x,轴铅垂向上，则物体,在任一位置时所受的引力,F,在,x,轴上的投影为：,的确定：,当物体位于地面时，,它所受地心引力为重力。,因而有：,（,3,）运动分析：,M,直线运动,（,4,）建立直角坐标形式的运动微分方程。,采用分离变量求解微分方程：,代入上式得：,设发射速度为,v,0,，,物体在空中任意位置时的速度,为,v,，,则：,故得：,当物体的坐标,x,趋近无穷大时，它所受到的地球,引力应趋近于,0,，这时，即使物体的速度,v,已减到,0,，,物体也不会返回地球，于是由上式可得上抛物体一去,不返的最小发射速度为：,地球半径：,R,6370km,，,g=9.8m/s,2,，,代入上式得：,这就是物体逃离地球所需的最小发射速度，称,为第二宇宙速度（又称为逃逸速度）,3.,力是速度的函数,例 当物体在气体，液体等于介质中运动时，介质,阻力对物体的影响非常大，例如雨滴的降落，泥沙,沉淀以及伞兵跳伞等，这些物体在运动中所受阻力,随速度的增大而增大，因而加速度越来越小，当,介质阻尼力与物体所受重力平衡时，则物体的加速,度减小到零，此后物体速度不会再增加而将保持,为常量，显然，此常量即为物体在降落过程中所,能达到的最大速度，常被称为极限速度。,假定物体所受介质阻力与其速度的平方成正比，求此物体下落的极限速度,c,阻尼系数,s,受阻面积,（即物体在垂直于,v,方向上面积的投影）,介质密度，令：,cs,解：（,1,）研究物体,（,2,）受力分析：,重力,mg,，,介质阻尼,R,，,R,与,v,的平方成正比，设为：,（,3,）建立坐标，运动为直线运动,（,4,）建立运动微分方程为：,当物体达到极限速度时，,其加速度为,0,，故得：,在同一介质中几何形状和大小均相同的两质量,不同的下落物体，则其极限速度也不同。,即：几何形状和大小均相同的物体，在同一介质中,的极限速度与其质量的平方根成正比，利用以,上性质，可在介质中分离密度不同，而几何条,件相同的物体。,若两物体的质量分别为,m,1,、,m,2,，,则极限速度之比为：,根据分析得到以上极限速度。,如飞行员体重,750 N,，,当不张伞时：,C=0.6,，,S=0.4,代入上式可得：,开伞后：,该式变形得：,直接由微分方程积分得极限速度：,