高中数学必修一三角函数图像性质总结.doc

一．正弦、余弦、正切函数图象和性质
函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
有界性
有界
有界
无界
定义域

值域

当时，
当时，

当时，
当时，

周期性
是周期函数，最小正周期
是周期函数，最小正周期

奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于轴对称
奇函数，图象关于原点对称
单调性
在
上是单调增函数
在 上是单调减函数
在上是单调增函数
在上是单调减函数
在
上是单调增函数

对称轴

对称
中心

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

（一）三角函数的性质
　1、定义域与值域
　2、奇偶性
　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.
　　（2） 型三角函数的奇偶性
　　（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）
g（x）为偶函数

　　 由此得 ；
　　 同理， 为奇函数　　 .
　　（ⅱ）
为偶函数 ； 为奇函数 .
　3、周期性
　　（1）基本公式
　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为 .
　　（ⅱ） 型三角函数的周期
　　 的周期为 ；
　　 的周期为 .
　（2）认知
　　（ⅰ） 型函数的周期
的周期为 ；
的周期为 .
　　（ⅱ） 的周期
的周期为；
的周期为 .
　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.
　　（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.
　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.
　（3）特殊情形研究
　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　　
（ⅱ） 的最小正周期为 ；
　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .　　
由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.
4、单调性
　　（1）基本三角函数的单调区间（族）
　　依从三角函数图象识证“三部曲”：
　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；
　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；
　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）
　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.
　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.
　　（2）y＝ 型三角函数的单调区间
　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为
　　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；
　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；
　　③还原、结论：将u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.
正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（A、＞0）
定义域
R
R

R
值域

R
R

周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
当非奇非偶
当奇函数

单调性
上为增函数；上为减函数（）
；上为增函数
上为减函数
（）

上为增函数（）
上为减函数（）
上为增函数；
上为减函数（）
注意：①与的单调性正好相反；与的单调性也同样相反.一般地，若在上递增（减），则在上递减（增）.
②与的周期是.
③或（）的周期.
的周期为2（，如图，翻折无效）.
④的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.

⑤当·；·.
⑥与是同一函数,而是偶函数，则
.
⑦函数在上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数：）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：是奇函数，是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若的定义域，则一定有.（的定义域，则无此性质）
⑨不是周期函数；为周期函数（）；
是周期函数（如图）；为周期函数（）；
的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
.
⑩ 有.
二、形如的函数：
1、几个物理量：A―振幅；―频率（周期的倒数）；―相位；―初相；
2、函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如，的图象如图所示，则＝_____（答：）；

3．函数
最大值是，最小值是，周期是，最小正周期
频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
4、研究函数性质的方法：类比于研究的性质，只需将中的看成中的，但在求的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如
（1）函数的递减区间是______（答：）；
（2）的递减区间是_______（答：）；
5、函数图象的画法：（1）利用“五点法”作函数(其中)的简图，是将看着一个整体，先令列表求出对应的的值与的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。②图象变换法：这是作函数简图常用方法===由图象推的图象
6．函数的图象与图象间的关系：图象变换
(1)振幅变换
(2)周期变换
(3)相位变换
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k的变化引起的．k＞0, 上移；k＜0,下移

具体变换方法：三角函数图象的平移和伸缩
函数的图象与函数的图象之间可以通过变化来相互转化．影响图象的形状，影响图象与轴交点的位置．由引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．
（一）先平移后伸缩
的图象得
的图象得
的图象得
的图象得图象
（二）先伸缩后平移
的图象得
的图象得
的图象得
的图象得 图象无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位，例如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？（答：向上平移1个单位得的图象，再向左平移个单位得的图象，横坐标扩大到原来的2倍得的图象，最后将纵坐标缩小到原来的即得的图象）；
三、正切函数的图象和性质：
（1）定义域：。（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如的周期都是, 但的周期为，而，的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。