资源描述
第1讲 导数的概念及运算
考试要求 1.导数的概念及其实际背景，A级要求；2.导数的几何意义，B级要求；3.根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数，A级要求；4.利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，B级要求．
知 识 梳 理
1．导数的概念
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax
(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( )
(4)若f(x)＝a3＋2ax＋x2，则f′(x)＝3a2＋2x.( )
解析 (1)f′(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值，而f((x0))′表示函数值f(x0)的导数，其意义不同，(1)错．
(2)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(2)错．
(4)f(x)＝a3＋2ax＋x2＝x2＋2ax＋a3，∴f′(x)＝2x＋2a，(4)错．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(选修1－1P57例4改编)函数f(x)＝－2x＋10在区间[－3，－1]内的平均变化率为________．
解析 平均变化率为＝
＝－2.
答案 －2
3．(2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
答案 3
4．(2017·镇江期末)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
解析 ∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
答案 5x＋y＋2＝0
5．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析 由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，则f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，
∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案 1
考点一 导数的计算
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝x；
(3)y＝x－sincos；
(4)y＝.
解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex＝ex.
(2)因为y＝x3＋1＋，
所以y′＝(x3)′＋(1)′＋′＝3x2－.
(3)因为y＝x－sin x，
所以y′＝′＝x′－′＝1－cos x.
(4)y′＝′＝＝－.
规律方法 (1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．
(2)如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
【训练1】 (1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0＝________.
(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋·x＝2 018＋ln x．由f′(x0)＝2 018，得ln x0＝0，则x0＝1.
(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案 (1)1 (2)3
考点二 导数的几何意义(多维探究)
命题角度一 求切线方程
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________．
(2)(2017·扬州中学质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．
解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案 (1)2x－y＝0 (2)x－y－1＝0
命题角度二 求切点坐标
【例2－2】 (2017·苏、锡、常、镇四市调研)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
解析 由y′＝ex，知曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，又y＝(x>0)的导数y′＝－，
曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－.
依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.
则点P的坐标为(1,1)．
答案 (1,1)
命题角度三 求与切线有关的参数值(或范围)
【例2－3】 已知直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为________．
解析 设切点坐标为P(x0，y0)，
由y＝－x＋ln x，得y′＝－＋.
∴y′|x＝x0＝－＋，
依题意，－＋＝，∴x0＝1，则P，
又切点P在直线y＝x＋b上，
故－＝＋b，得b＝－1.
答案 －1
规律方法 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其他的公共点．
(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．
(3)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
【训练2】 (1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(2)(2017·常州复习检测)已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 (1)由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.
设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，
所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．
(2)y′x＝3＝－，
又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直．
∴－a·＝－1，则a＝－2.
答案 (1)(e，e) (2)－2
[思想方法]
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意交换的等价性．
3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
[易错防范]
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．设y＝x2ex，则y′＝________.
解析 y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
答案 (2x＋x2)ex
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.
解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案 －1
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．
解析 y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
4．(2017·苏州调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为________．
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.
答案
5．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析 因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.
答案
6．(2017·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.
答案 0
7．(2017·苏北四市模拟)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.
解析 ∵y′＝，∴
由条件知＝－1，∴a＝－1.
答案 －1
8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．
解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
答案 8
二、解答题
9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，
所以切线方程为3x＋3y－11＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
所以tan α≥－1，所以α∈∪.
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·山东卷改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数：
①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x3.
其中具有T性质的是________(填序号)．
解析 若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于①：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；
对于②：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于③：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于④：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
答案 ①
12．(2017·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
解析 点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，
点P到直线y＝x－2的距离最小，
直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，
得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，
故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，
点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，
∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.
答案
13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x2－ax＋ln x，
∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．
答案 [2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
解 根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.
第2讲 利用导数研究函数的单调性
考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求．
知 识 梳 理
1．函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导，
(1)如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；
(2)如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或＜0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数．
一般需要通过列表，写出函数的单调区间．
3．已知单调性求解参数范围的步骤为：
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常数函数，舍去此参数值.
诊 断 自 测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )
(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．( )
解析 (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增一定有f′(x)≥0，且不恒为0，故①错．(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．如f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(x)≥0，故(3)错．
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是________．
解析 ∵f′(x)＝2x－＝(x＞0)．
∴当x∈(0,1)时f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
答案 (0,1)
3．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≥0，即a≤3x2在x∈[1，＋∞)恒成立．又当x∈[1，＋∞)时，3x2≥3，∴a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．
答案 (－∞，3]
4．(2017·南京、盐城模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
解析 设F(x)＝f(x)－(2x＋4)，则F(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝2－2＝0.
F′(x)＝f′(x)－2，对任意x∈R，F′(x)>0，
即函数F(x)在R上是单调增函数，
则F(x)>0的解集为(－1，＋∞)，
故f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案 (－1，＋∞)
5．若f(x)＝，0<a<b<e，则f(a)，f(b)的大小关系为________．
解析 f′(x)＝，
当x∈(0，e)时，>0，即f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上为增函数，
又∵0<a<b<e，∴f(a)<f(b)．
答案 f(a)<f(b)
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】 (2016·四川卷节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
规律方法 用导数讨论(证明)函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：
(1)求f′(x)；
(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．
【训练1】 设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．
解 f′(x)＝ex(ax2＋x＋1)＋ex(2ax＋1)
＝ex[ax2＋(2a＋1)x＋2]
＝ex(ax＋1)(x＋2)
＝aex(x＋2)
①当a＝时，f′(x)＝ex(x＋2)2≥0恒成立，
∴函数f(x)在R上单调递增；
②当0＜a＜时，有＞2，
令f′(x)＝aex(x＋2)＞0，
有x＞－2或x＜－，
令f′(x)＝aex(x＋2)＜0，有－＜x＜－2，
∴函数f(x)在和(－2，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
③当a＞时，有＜2，
令f′(x)＝aex(x＋2)＞0时，有x＞－或x＜－2，
令f′(x)＝aex(x＋2)＜0时，有－2＜x＜－，
∴函数f(x)在(－∞，－2)和上单调递增；在上单调递减．
考点二 求函数的单调区间(易错警示)
【例2】 (2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)f(x)的定义域为R.
∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，
综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
规律方法 求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；
(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间．
易错警示 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(x＝0时，f′(x)＝0)，但f(x)＝x3在R上是增函数．
【训练2】 已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，(x>0)．
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
但－1∉(0，＋∞)，舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0.
∴f(x)的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)．
考点三 已知函数的单调性求参数(易错警示)
【例3】 (2017·南京模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x>0.
∴h′(x)＝－ax－2.
若函数h(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，
则当x>0时，－ax－2<0有解，即a>－有解．
设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min.(*)
又G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.
所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．
(2)由h(x)在[1,4]上单调递减，
∴当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，(**)
则a≥－恒成立，所以a≥G(x)max.
又G(x)＝2－1，x∈[1,4]
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝＝，
∵x∈[1,4]，
∴h′(x)＝≤0，
当且仅当x＝4时等号成立．(***)
∴h(x)在[1,4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
易错警示 (1)存在性命题理解不清，不能将第(1)问转化为－ax－2<0有解，难以得到不等式(*)．错求a的取值范围．(2)错误理解“f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．”导致在第(2)问中(**)处易错求h′(x)<0恒成立，另外在(***)处容易忽视a＝－进行检验．
【训练3】 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的单调减区间为(－1,1)，求a的值．
解 (1)因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号．
∴f(x)＝x3－1在R上是增函数．
所以实数a的取值范围是(－∞，0]．
(2)f′(x)＝3x2－a.
当a≤0时，f′(x)≥0，
f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，
所以a≤0不合题意．
当a>0时，令3x2－a<0，得－<x<，
∴f(x)的单调递减区间为，
依题意，＝1，即a＝3.
[思想方法]
1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解，并注意函数f(x)的定义域．
2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．
3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[易错防范]
1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．
2．注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别．
3．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
4．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
解析 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0<x<1，
所以单调递减区间是(0,1)．
答案 (0,1)
2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述：
①f(b)>f(c)>f(d)；
②f(b)>f(a)>f(e)；
③f(c)>f(b)>f(a)；
④f(c)>f(e)>f(d)．
其中正确的是________(填序号)．
解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．
答案 ③
3．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．
解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝.
答案
4．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析 因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－<x<，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．
答案 (－，)
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.
答案 (0,1)∪(2,3)
6．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
∴f′(x)＝2x＋a－>0在上恒成立，即a>－2x在上恒成立．
∵函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，∴a≥4－2×＝3.
答案 [3，＋∞)
7．(2017·南京、盐城模拟)已知f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．
解析 由f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c，得f′(x)＝＋2x－5，
又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数，
∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立，
∴解得≤m≤1.
答案
8．(2017·南通、扬州、泰州调研)设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x>0时，(x2＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为________．
解析 因为当x>0时，(x2＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0恒成立，所以′<0恒成立，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，所以f(1)＝0，g(1)＝0，所以在(0,1)上恒有f(x)>0，在(1，＋∞)上恒有f(x)<0.由图象易知在(－∞，－1)上恒有f(x)>0，在(－1,0)上恒有f(x)<0，即不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
答案 (－∞，－1)∪(0,1)
二、解答题
9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)由题意得f′(x)＝，
又f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
10．(2017·泰州模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝x3＋f′x2－x＋c(其中f′为f(x)在点x＝处的导数，c为常数)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝[f(x)－x3]ex，若函数g(x)在[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，得f′＝－1，∴f(x)＝x3－x2－x＋c，
∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，
由f′(x)>0，得x<－或x>1；
由f′(x)<0，得－<x<1.
故f(x)的单调增区间是和(1，＋∞)；单调减区间是.
(2)∵g(x)＝(－x2－x＋c)·ex，
∴g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex.
当函数g(x)在区间[－3,2]上单调递增时，等价于h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11.
故c的取值范围是[11，＋∞)．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．
解析 依题意得，当x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(－∞，1)上为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，
因此有f(－1)<f(0)<f，
即有f(3)<f(0)<f，c<a<b.
答案 c<a<b
12．(2016·全国Ⅰ卷改编)若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x－sin 2x＋asin x，∴f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝1－(2cos2x－1)＋acos x＝－cos2 x＋acos x＋.
由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立．
令t＝cos x，t∈[－1,1]，则－t2＋at＋≥0，
在t∈[－1,1]上恒成立．
∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立．
令g(t)＝4t2－3at－5，
则解之得－≤a≤.
答案
13．(2017·石家庄质检)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
解析 令g(x)＝，则g′(x)＝>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．
则f(x)＝xg(x)>0⇔或解得x>2或－2<x<0，
故不等式f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
解 (1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.
(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上
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