高三数学函数专题复习策略.doc

高三数学试卷中函数专题复习策略
一、《考试说明》对函数部分的要求
1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性，了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值；
2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象，理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质，理解指数及对数的运算.
3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解.
4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用.
5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值.
二、函数部分命题特点
近3年高考函数题考查情况
年份
题型题号
考点
2010年
填空题5,8,11,14；解答题20
函数的奇偶性；分段函数的单调性；函数的最值；函数的切线方程； 函数的导数及其应用
2011年
填空题2,8，11,12；解答题17,19
函数的单调性；函数的概念和性质；导数及其应用
2012年
填空题5, 10，13,14；
解答题17,18
函数的定义域，值域；函数的周期性；函数的概念和性质；导数及其应用；函数的零点

函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况，函数命题呈现如下特点：
1.知识点覆盖面全.近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考.
2.题型难度涉及面广.在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有.
3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，例如，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列本质上也是函数问题.
三、函数复习中关注方面
（一）关注函数的定义域
定义域的求法实际上就是解不等式，考生必须能够做到以下两点：一是熟知定义域常见要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；三角函数中的正切、余切的定义域等等；二是熟练掌握常见不等式的解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式.
例1.（2012年江苏卷）函数的定义域为 ．
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
。
有关定义域问题最重要的是定义域优先原则，即研究函数的任何问题都要首先考虑其定义域. 例如研究函数的单调性和奇偶性，函数的最值等都需要首先确定定义域.另外，在进行换元时，应先确定“新元”的范围，然后再在其范围内讨论各种问题，这也是定义域优先的具体体现.
（二）拓展求函数值域最值的方法
求函数值域一直是函数的重要考查方向，它的丰富多样的求解方法和数学思想，将函数所有的性质融为一体，具有很强的综合性.常见两种题型，一种题型是具体函数求值域问题，另一种是将其他问题转化为求函数值域（或最值）问题，例如不等式恒成立求参数范围的问题，最后都是转化为函数的最值的问题.因此，考生一定要在复习当中重视不同结构的求值域问题.
例2．（ 2012年上海春季高考）函数的最大值是 .
【解析】，设，则，
求导可得函数在时单调递减，故时，取得最大值5.
例3.关于的方程在内有解，求实数的取值范围.
【解析】令，原问题转化为在上有解，这属于二次方程根的分布问题，需要结合二次函数图象，利用分类讨论进行求解，但是计算繁琐.事实上，求参变量范围的问题.我们还可以考虑“分离参变量”，即，所谓方程有解，即在函数的值域内，注意到函数在上递减，即.
（三）灵活应用函数的性质
函数性质是函数的重点内容，包括函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性。对于函数的各种性质的定义，考生必须完全知晓并深刻理解。除了能够判断函数的各种性质以外，还要能够灵活应用函数的性质，灵活应用的前提是能够识别函数的四大性质，并能自如应用，要有应用函数性质的意识。
例4.（2012年江苏卷）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ．
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①.
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。∴.
例5.（2010年江苏卷）设函数是偶函数，则实数a=________
【解析】考查函数的奇偶性的知识.为奇函数，由，得.
例6.（2012年新课标卷）设函数的最大值为,最小值为，则
【解析】，令，则为奇函数，对于奇函数来说其最大值与最小值之和为0，即所以
（四）强化识图、画图能力以及用图意识
函数的图象是最直观反映函数性质的方式，要能够通过函数的性质以及图象变换画出函数的草图。此外，还要有应用图象的意识，养成函数问题画图的习惯。
例7.（2012年高考辽宁理）设函数满足 ,且当时,.又函数,则函数上的零点个数为 .
【解析】时，，
当，
当时，当时，注意到函数都是偶函数，且，作出函数的大致图象，函数除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点.
（五）熟练掌握二次、指数、对数、幂函数等基本函数的知识
在高中阶段，考生主要学习的具体函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及它们之间进行的四则运算和复合，我们必须熟练掌握这些基本函数的各种性质、图象以及相互之间的关系。
例8.（2012年新课标卷）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
【解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，所以只需求点到直线的最小距离即可，即的平行于直线的切线与直线的距离，令，得可求得点到直线的距离为，所以的最小值为.
例9.已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．
图1
图2

①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝f(－|x|)；④y＝－f(－|x|)．
【解析】由图象的变化知，原图保留了y轴左边的部分，并把y轴左边的部分关于y轴对称到y轴右边．①中，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，当x<0时，y＝f(－x)，所以应是把y轴右边部分对称到y轴左边，故①错．
②中是把x轴下边部分对称到x轴上边，故②错．
③项中当x>0时，y＝f(－|x|)＝f(－x)，当x<0时，
y＝f(－|x|)＝f(x)，因此保留了y轴左边部分，并作y轴左边部分关于y轴对称的图象，故③对．
例10.(2012年湖南改编)已知两条直线l1：和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为________．
【解析】由题意得，

∵＋m＝(2m＋1)＋－≥2－＝，
当＝，即m＝时取等号．
的最小值为
(六)稳健用好导数工具
导数最重要的价值，在于导数是一种方便研究函数性质的工具，比如求曲线的切线，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，不等式恒成立问题等等。作为一个重要的工具，导数运算一定要准确，要对已知函数进行正确求导。同时，准确掌握导数与单数单调性以及极值之间的关系.
例11（2012年福建卷文）且在上的最大值为
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在内零点的个数，并加以证明.
【分析】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．
【评析】给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式． 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．
例12（2012年四川理）已知为正实数,为自然数,抛物线与轴
正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.
(Ⅰ)用和表示;
(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;
(Ⅲ)当时,比较与的大小,并说明理由.
【分析】本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．
【评析】本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．

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