小学数学30种典型应用题分类讲解附带例题和解题过程.pdf

小学数学30种典型应用题讲解1、归一J问题2、归总问题3、和差问题4、和倍问题5、差倍问题6、倍比问题7、相遇问题8、追及问题9、植树问题10、年龄问题11行船问题12、列车问题13时钟问题14盈亏问题15、工程问题16正反比例问题17、按比例分配18、百分数问题21、方阵问题22、商品利润问题23、存款利率问题24、溶液浓度问题25、构图布数问题26、幻方问题27抽屉原则问题19、“牛吃草”问题28、公约公倍问题20、鸡兔同笼问题 29、最值问题30、列方程问题1归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题 叫做归一问题。【数量关系】总量小份数=1份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量小（总量。份数）=所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准,求出所要求的数量。例1买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需 要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？0.6+5=0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12X16=L92（元）列成综合算式0.6+5X16=0.12X16=L92（元）答：需要1.92元。例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台 拖拉机6天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90+3+3=10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10X5X6=300（公顷）列成综合算式90+3+3X5X6=10X30=300（公 顷）答：5台拖拉机6天耕地300公顷。例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的 7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100+5+4=5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？5X7=35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105 35=3（次）列成综合算式105+（1004-54-4X7）=3（次）答：需要运3次。2归总问题【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据 其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩 地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量X份数=总量总量+1份数量=份数总量+另一份数=另一每份数量【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出 所求的数量。例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法 后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现 在可以做多少套？解（1）这批布总共有多少米？3.2X791=2531.2（米）（2）现在可以做多少套？2531.2+2.8=904（套）列成综合算式3.2X791:2.8=904（套）答：现在可以做904套。例2小华每天读24页书，12天读完了红岩一书。小明每天读36页书，几天可以读完红岩？解（1）红岩这本书总共多少页？24X12=288（页）（2）小明几天可以读完红岩？288+36=8（天）列成综合算式24X12+36=8（天）答：小明8天可以读完红岩。例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比 原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？解（1）这批蔬菜共有多少千克？50X30=1500（千 克）（2）这批蔬菜可以吃多少天？15004-（50+10）=25（天）列成综合算式 50X30+（50+10）=15004-60=25（天）答：这批蔬菜可以吃25天3和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是 多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数=（和+差）4-2小数=（和一差）4-2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求 两班各有多少人？解 甲班人数=（98+6）+2=52（人）乙班人数=（98-6）4-2=46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米,求长方形的面积。解长=（18+2）4-2=10（厘米）宽=（18-2）+2=8（厘米）长方形的面积=10X8=80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙 两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥 各重多少千克。解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比 丙多（32 30）=2千克，且甲是大数，丙是小数。由 此可知甲袋化肥重量=（22+2）4-2=12（千克）丙袋化肥重量=（22-2）4-2=10（千克）乙袋化肥重量=32 12=20（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化 肥重10千克。例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐 放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装 苹果多少筐？解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还 多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的 差是（14X2+3）,甲与乙的和是97,因此 甲车筐数=（97+14X2+3）4-2=64（筐）乙车筐数=9764=33（筐）答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。4和倍问题【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小 数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类 应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和+（几倍+1）=较小的数 总和一较小的数=较大的数 较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂 的题目变通后利用公式。例1果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏 树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？248+（3+1）=62（棵）（2）桃树有多少棵？62X3=186（棵）答：杏树有62棵，桃树有186棵。例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库 存粮数的14倍，求两库各存粮多少吨？解（1）西库存粮数=480+（1.4+1）=200（吨）（2）东库存粮数=480-200=280（吨）答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。例3甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从 甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙 站车辆数是甲站的2倍？解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆,相当于每天从甲站开往乙站（2824）辆。把几天以后 甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍 量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍,那么，几天以后甲站的车辆数减少为（52+32）4-（2+1）=28（辆）所求天数为（52 28）+（28-24）=6（天）答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。例4甲乙丙三数之和是170,乙比甲的2倍少4,丙比 甲的3倍多6,求三数各是多少？解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1 倍量。因为乙比甲的2倍少4,所以给乙加上4,乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6,所以丙数减去6就变为甲数 的3倍；这时（170+46）就相当于（1+2+3）倍。那么，甲数=（170+4-6）4-（1+2+3）=28乙数=28X24=52丙数=28X3+6=90答：甲数是28,乙数是52,丙数是90。5差倍问题【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小 数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类 应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差。（几倍 1）=较小的数 较小的数义几倍=较大的数【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂 的题目变通后利用公式。例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏 树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？解（1）杏树有多少棵？124+（3-1）=62（棵）（2）桃树有多少棵？62X3=186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。例2爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年 龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？解（1）儿子年龄=27：（4-1）=9（岁）（2）爸爸年龄=9X4=36（岁）答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。例3商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的 2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元,求这两个月盈利各是多少万元？解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30 12）万元就 相当于上月盈利的（2-1）倍，因此上月盈利=（30-12）4-（2-1）=18（万元）本月盈利=18+30=48（万元）答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。例4粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小 麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3 倍？解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下 的数量差等于原来的数量差（138 94）。把几天后剩 下的小麦看作1倍量,则几天后剩下的玉米就是3倍量,那么，（138-94）就相当于（3-1）倍，因此剩下的小麦数量=（138-94）4-（3-1）=22（吨）运出的小麦数量=94-22=72（吨）运粮的天数=72+9=8（天）答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。6倍比问题【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个 量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法 算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量小一个数量=倍数另一个数量义倍数=另一总量【解题思路和方法】先求由倍数，再用倍比关系求出 要求的数。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽 3700千克，可以榨油多少？解（1）3700千克是100千克的多少倍？37004-100=37（倍）（2）可以榨油多少千克？40X37=1480（千克）列成综合算式40X（37004-100）=1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400 棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？解（1）48000名是300名的多少倍？480004-300=160（倍）（2）共植树多少棵？400X160=64000（棵）列成综合算式 400X（480004-300）=64000（棵）答：全县48000名师生共植树64000棵。例3凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果 园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收 入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？解（1）800亩是4亩的几倍？8004-4=200（倍）（2）800 亩收入多少元？11111X200=2222200（元）（3）16000 亩是 800 亩的几倍？160004-800=20（倍）（4）16000 亩收入多少元？2222200X20=44444000（元）答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000 亩果园共收入44444000元。7相遇问题【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。【数量关系】相遇时间=总路程+（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复 杂的题目变通后再利用公式。例1南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开 出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千 米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两 船相遇？解 392:（28+21）=8（小时）答：经过8小时两船相遇。例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地 点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相 遇需多长时间？解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400X2相遇时间=（400X2）+（5+3）=100（秒）答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时 行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千 米处相遇，求两地的距离。解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题 意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中 点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程 是（3X2）千米，因此，相遇时间=（3X2）4-（15-13）=3（小时）两地距离=（15+13）X3=84（千米）答：两地距离是84千米。8追及问题【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在 同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时 出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前 面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上 前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程+（快速一慢速）追及路程=（快速一慢速）X追及时间【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂 的题目变通后利用公式。例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马 先走12天，好马几天能追上劣马？解(1)劣马先走12天能走多少千米？75X12=900(千米)(2)好马几天追上劣马？9004-(120-75)=20(天)列成综合算式 75X12+(120-75)=9004-45=20(天)答：好马20天能追上劣马。例2小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一 圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小 明第一次追上小亮时跑了 500米，求小亮的速度是每秒 多少米。解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米,此时小亮跑了(500 200)米，要知小亮的速度，须 知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40X(5004-200)秒，所以小亮的速度是(500-200)+40X(500+200)=300+100=3(米)答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军 在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从 乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个 小时可以追上敌人？解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22 16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是10X（22-16）千米，甲乙两地相距60千米。由此推知追及时间=10X（22-16）+60 4-（30-10）=1204-20=6（小时）答：解放军在6小时后可以追上敌人。例4 一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一 辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车 在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从 题中可知客车落后于货车（16X2）千米，客车追上货 车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为16X2+（48-40）=4（小时）所以两站间的距离为（48+40）X4=352（千米）列成综合算式（48+40）X 16X24-（48-40）=88X4=352（千米）答：甲乙两站的距离是352千米。例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹 妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？解要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹 妹多走（180X2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90-60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为180X24-（90-60）=12（分钟）家离学校的距离为90X12-180=900（米）答：家离学校有900米远。例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千 米的速度从家步行去学校，当他走了 1千米时，发现手 表慢了 10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时 上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可 比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。解 手表慢了 10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按 原速走下去，就要迟到（10 5）分钟，后段路程跑步 恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10 5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由 此可知，行1千米，跑步比步行少用9一（10-5）分钟。所以步行1千米所用时间为1+9-（10-5）=0.25（小时）=15（分钟）跑步1千米所用时间为15-9-（10-5）=11（分 钟）跑步速度为每小时1:11/60=5.5（千米）答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米。9植树问题【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这 三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类 应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树棵数=距离+棵距+1r圆形植树棵树二圆形周长棵距 1闭合环形植树棵数=距离+棵距 方形植树棵数=方形周长棵距三角形棵树二三角形周长。棵距面积植树 棵数=面积+（棵距X行距）【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后 可以利用公式。例1 一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都 栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1364-2+1=68+1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽 一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？解 4004-4=100（棵）答：一共能栽100棵白杨树。例3 一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米 安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？解 220X4+8=106（个）答：一共可以安装106个照明灯。例4给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用 地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要 多少块地板砖？解 96+（0.6X0.4）=96+0.24=400（块）答：至少需要400块地板转。例5 一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯,若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？解（1）桥的一边有多少个电杆？5004-50+1=11（个）（2）桥的两边有多少个电杆？11X2=22（个）（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22X2=44（盏）答：大桥两边一共可以安装44盏路灯。10年龄问题【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主 要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍 数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有 着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要 紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思 路和方法。两个数的差+（几倍-1）=较小的数例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄 是亮亮的几倍？明年呢？解 35+5=7（倍）（35+1）+（5+1）=6（倍）答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。例2母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？377=30（岁）（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30+（4-1）-7=3（年）列成综合算式（377）+（4-1）-7=3（年）答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍。例3 3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是 儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？解 今年父子的年龄和应该比3年前增加（3X2）岁，今年二人的年龄和为49+3X2=55（岁）把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4+1）倍，因此，今年儿子年龄为554-（4+1）=11（岁）今年父亲年龄为11X4=44（岁）答：今年父亲年龄是44岁，儿子年龄是11岁。例4甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁 数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？（可 用方程解）解这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一 年。列表分析：过去某一年今年将来某一年甲岁岁61岁乙4岁口岁岁表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个 数。因为两个人的年龄差总相等：口一4=A一口=61,也就是4,61成等差数列，所以，61应该比 4大3个年龄差，因此二人年龄差为（614）4-3=19（岁）甲今年的岁数为 =61 19=42（岁）乙今年的岁数为口=42 19=23（岁）答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁。11行船问题【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这 类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速 度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速 度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水 航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）+2=船速（顺水速度一逆水速度）+2=水速 顺水速=船速+水速=逆水速+水速X2逆水速=船速.水速=顺水速一水速X2【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关 系的公式。例1 一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为 每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？解由条件知，顺水速=船速+水速=320+8,而水速 为每小时15千米，所以，船速为每小时320+8-15=25（千米）船的逆水速为25-15=10（千米）船逆水行这段路程的时间为32010=32（小时）答：这只船逆水行这段路程需用32小时。例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10 小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地 需多少时间？解由题意得甲船速+水速=360+10=36甲船速一水速=360+18=20可见（3620）相当于水速的2倍，所以，水速为每小时（3620）4-2=8（千米）又因为，乙船速一水速=360 15,所以，乙船速为360+15+8=32（千米）乙船顺水速为32+8=40（千米）所以，乙船顺水航行360千米需要360+40=9（小 时）答：乙船返回原地需要9小时。例3 架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小 时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3 小时到达，顺风飞回需要几小时？解 这道题可以按照流水问题来解答。（1）两城相距多少千米？（576-24）X3=1656（千米）（2）顺风飞回需要多少小时？16564-（576+24）=2.76（小时）列成综合算式（576-24）X34-（576+24）=2.76（小时）答：飞机顺风飞回需要2.76小时。12列车问题【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要 注意列车车身的长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）车速火车追及：追及时间=（甲车长+乙车 长+距离）4-（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车 长+距离）+（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关 系的公式。例1 一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米 的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3 分钟。这列火车长多少米？解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度 的和。（1）火车3分钟行多少米？900X3=2700（米）（2）这列火车长多少米？2700-2400=300（米）列成综合算式900X3-2400=300（米）答：这列火车长300米。例2 列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座 大桥，用了 2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？解 火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的 路程是（8X125）米，这段路程就是（200米+桥长），所以，桥长为8X125-200=800（米）答：大桥的长度是800米。例3 列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一 列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求 快车从追上到追过慢车需要多长时间？解从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米,而快车比慢车每秒多行（22 17）米，因此，所求的时 间为（225+140）+（22-17）=73（秒）答：需要73秒。例4 一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有 一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车 从工人身旁驶过需要多少时间？解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于 火车相遇问题。1504-（22+3）=6（秒）答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。例5 一列火车穿越一条长2000米的隧道用了 88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了 58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时 间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在（8858）秒的时间内行驶了（2000 1250）米的路程，因此，火车的车速为每秒（2000-1250）4-（88-58）=25（米）进而可知，车长和桥长的和为（25X58）米，因此，车长为25X58-1250=200（米）答：这列火车的车速是每秒25米，车身长200米。13时钟问题【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如 两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度 等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。通常按追及问题来对待，也可以按差倍 问题来计算。【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接 利用公式。例1从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好 与分针重合？解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时 走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60=1/12 格。每分钟分针比时针多走(1-1/12)=11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为20+(1-1/12)22(分)答：再经过22分钟时针正好与分针重合。例2四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直 角的时候相差15格(包括分针在时针的前或后15格两 种情况)。四点整的时候，分针在时针后(5X4)格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多 走(5X4-15)格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走(5X4+15)格。再根据1 分钟分针比时针多走(1-1/12)格就可以求出二针成 直角的时间。(5X4-15):(1-1/12)、6(分)(5X4+15)4-(1-1/12)弋 38(分)答：4点06分及4点38分时两针成直角。例3六点与七点之间什么时候时针与分针重合？解六点整的时候，分针在时针后(5X6)格，分针要 与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。(5X6)+(1-1/12)33(分)答：6点33分的时候分针与时针重合。14盈亏问题【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次 分配中，一次有余(盈)，一次不足(亏)，或两次都有 余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做 盈亏问题。【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈,一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）+分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈一小盈）。分配差参加分配总人数=（大亏一小亏）。分配差【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关 系的公式。例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个;若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹 果？解按照“参加分配的总人数=（盈+亏）。分配差”的数量关系：（1）有小朋友多少人？（11+1）4-（4-3）=12（人）（2）有多少个苹果？3X12+11=47（个）答：有小朋友12人，有47个苹果。例2修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得 延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的 总人数”，按照“参加分配的总人数=（大亏一小亏）。分配差”的数量关系，可以得知原定完成任务的天数为（260X8-300X4）+（300-260）=22（天）这条路全长为300X（22+4）=7800（米）答：这条路全长7800米。例3学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30 人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于 是就有（1）有多少车？（30 0）+（45-40）=6（辆）（2）有多少人？40X6+30=270（人）答：有6辆车，有270人。15工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作 时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不 给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土 地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用 单位“1”表示工作总量。【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单 位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据 工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量=工作效率X工作时间工作时间=工作量4-工作效率工作时间=总工作量小(甲工作效率+乙工作效率)【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独 做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这 项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的 1/10;乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的 1/15;两队合做，每天可以完成这项工程的(1/10+l/15)o由此可以列出算式：1+(1/10+1/15)=14-1/6=6(天)答：两队合做需要6天完成。例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完 成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求 这批零件共有多少个？解设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完 成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6-1/8),二人合做 时每小时完成(l/6+l/8)o因为二人合做需要14-(1/6+1/8)小时，这个时间内，甲比乙多做24个 零件，所以(1)每小时甲比乙多做多少零件？24+14-(1/6+1/8)=7(个)(2)这批零件共有多少个？74-(1/6-1/8)=168(个)答：这批零件共有168个。解二 上面这道题还可以用另一种方法计算：两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6：1/8=4：3由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7所以，这批零件共有24+1/7=168（个）例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时 完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下 的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率 用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工 作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数 60,则甲乙丙三人的工作效率分别是604-12=5 604-10=6 604-15=4因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60-5X2）4-（6+4）=5（小时）答：还需要5小时才能完成。也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有 若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要 5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15 小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少 要打开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注 水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作 量，单位时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排 水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管 的工作效率及总工作量(一池水)。只要设某一个量为 单位1,其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1,则4个进 水管5小时注水量为(1X4X5),2个进水管15小时 注水量为(1X2X15),从而可知每小时的排水量为(1X2X15 1X4X5)4-(15-5)=1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为1X4X5-1X5=15又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1X2,所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？(15+1X2)+(1X2)=8.59(个)答：至少需要9个进水管。16正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也 随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值 一定(即商一定)，那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意 义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就 叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比 例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用 题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题 去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把 分率(倍数)转化为比，应用比和比例的性质去解应用 题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。例1修一条公路，已修的是未修的1/3,再修300米 后，已修的变成未修的1/2,求这条公路总长是多少米？解由条件知，公路总长不变。原已修长度：总长度=1：(1+3)=1：4=3：12 现已修长度：总长度=1：(1+2)=1：3=4：12 比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4-3）份，从而知公路总长为300+（4-3）X 12=3600（米）答：这条公路总长3600米。例2张啥做4道应用题用了 28分钟，照这样计算，91 分钟可以做几道应用题？解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题则有28：4=91：X 28X=91X4X=91X44-28X=13答：91分钟可以做13道应用题。例3孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比 例关系设X天可以看完，就有24：36=X：1536X=24X15X=10答：10天就可以看完。例4 一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的 面积如图所示，求大矩形的面积。A252036B16解 由面积小宽=长可知，当长一定时，面积与宽成正 比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽 的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三 个小矩形的宽也相等。因此，A：36=20：16 25：B=20：16解这两个比例，得A=45B=20所以，大矩形面积为45+36+25+20+20+16=162 答：大矩形的面积是162.17按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的 比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一 是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一 种是直接给出份数。【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比;从问题看，求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总 量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各 部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项 分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计 算方法，分别求出各部分量的值。例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三 个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人,三个班各植树多少棵？解 总份数为47+48+45=140一班植树 560X47/140=188（棵）二班植树 560X48/140=192（棵）三班植树560X45/140=180（棵）答：一、二、三 班分别植树188棵、192棵、180棵。例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3：4：5。三条边的长各是多少厘米？解 3+4+5=12 60X3/12=15（厘米）60X4/12=20（厘米）60X5/12=25（厘米）答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25 厘米。例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分 给三个儿子，大儿子分总数的1/2,二儿子分总数的 1/3,三儿子分总数的1/9,并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合 题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易 得到1/2：1/3：1/9=9：6：29+6+2=17 17X9/17=917X6/17=6 17X2/17=2答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分 得2只