高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版.doc

【必修4】 第二章平面向量
2.1 练习
1、 画有向线段，分别表示一个竖直向上，大小为18N的力和一个水平向左、大小为28N的力（1cm长表示10N）.
2、 非零向量的长度怎样表示？非零向量的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？
3、 指出图中各向量的长度.
4、 （1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

2.2.1 练习
1、 如图，已知，用向量加法的三角形法则作出.

2、 如图，已知，用向量加法的平行四边形法则作出.

3、根据图示填空：
（1）
（2）

4、根据图示填空：
（1）
（2）
（3）
（4）

2.2.2 练习
1、如图，已知，求作

2、填空：

3、 作图验证：

2.2.3 练习
1、任画一向量，分别求作向量
2、点C在线段AB上，且，则
3、把下列各小题中的向量表示为实数与向量的积：

4、 判断下列各小题中的向量是否共线：

5、 化简：

6、 已知向量，求作下列向量：

2.3 练习
1、 已知向量的坐标，求的坐标：

2、 已知，求的坐标.
3、 已知两点的坐标，求的坐标：

4、 已知点，试判断的位置关系，并给出证明.
5、 求线段A的中点坐标：

6、 已知点，向量，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标.
7、 已知点，点p在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标.

2.4.1 练习
1、 已知的夹角是，求.
2、 已知中，，当时，试判断的形状.
3、 已知为单位向量，当之间的夹角分别等于时，画图表示方向上的投影，并求出其值.

2.4.2 练习
1、 已知
2、 已知，求
3、已知，利用计算器，求的夹角（精确到）.

习题2.1
A组
1、 在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1） ，点A在点O正南方向；
（2） ，点B在点O北偏西45o方向；
（3） ，点C在O南偏西30o方向。

（第1题）

2、一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60o走300米到达点C，然后在向北偏东45o走100米到达点D，试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。

3、如图，D、E、F分别是各边的中点，写出图中与相等的向量。

4、 如图，在方格纸上的平行四边形ABCD和折线MPQRST中，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，且，分别写出图中与相等的向量。

5、 已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量的模。

6、 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由。
（1） 若都是单位向量，则 （ ）
（2） 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （ ）
（3） 方向为南偏西60o的向量与北偏东60o的向量是共线向量 （ ）
（4） 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 . （ ）

B组
1、 有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量，你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？

2、 在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别为AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？

习题2.2
A组
1、 设表示“向东走10km”，表示“向西走5km”，表示“向北走10km”，表示“向南走5km”，试说明下列向量的意义。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）

2、 一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成。

3、 一艘船以8km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h，求船实际航行的速度的大小和方向（精确到1o）

4、 化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）

5、 作图验证：

（1）
（2）

6、 已知向量，求作向量，使，表示的有向线段能构成三角形吗？
7、 作图验证：。
8、 已知为两个非零向量：
（1） 求作向量；
（2） 向量成什么位置关系时，（不要求证明）。
9、 化简：
（1） （2）
（3） （4）

10、 已知，求

11、 已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且，用向量分别表示向量

12、 中，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N，设，用分别表示向量
13、 已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：

B组
1、 飞机从甲地以北偏西15o的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75o的方向飞行1400km到达丙地，试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？

2、 已知是非零向量，一定相等吗？为什么？
3、 如图，，求证：

4、 根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
（1）;
（2）;
（3）.
5、 已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量满足等式
（1）作图并观察四边形ABCD的形状；
（2）四边形ABCD有什么特性？试证明你的猜想。

习题2.3
A组
1、 已知表示向量的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标：
（1）
（2）
（3）
2、 已知作用在坐标原点的三个力分别为，求作用在原点的合力的坐标。
3、 已知平行四边形ABCD的顶点，求顶点D的坐标。
4、 已知点及,，求点C、D、E的坐标。
5、 x为何值时，共线？
6、 已知，试问是否共线？
7、 已知点，且，求点及向量的坐标。

B组
1、 已知点，当时，分别求点P的坐标。
2、 判断下列各点的位置关系，并给出证明：
（1）
（2）
（3）
3、 设是平面内一组基底，证明：当时，恒有
4、 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，假设.
（1） 计算的大小；
（2） 由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？

习题2.4
A组
1、 已知，且的夹角，求.
2、 已知中，，求
3、 已知，求
4、 求证：
5、 先作图，观察以A、B、C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）
（2）
（3）
6、 设，求的夹角.
7、 已知，求的夹角.
8、 已知，求的夹角（精确到）.（可用计算器）
9、 求证：为顶点的四边形是一个矩形.
10、 已知，且的坐标。
11、 已知，求与垂直的单位向量的坐标。

B组
1、 已知是非零向量，且，求证：.
2、 如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点，试用A、B两点的坐标表示的余弦值。

3、 证明：对于任意的，恒有不等式

4、 如图，在圆C中，是不是只需知道圆C的半径或弦AB的长度，就可以求的值？

5、 平面向量的数量积是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等，请你给出具体证明。
你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？

习题2.5
A组
1、 已知点A(1,0)，直线，点R是直线上的一点，若，求点P的轨迹方程.
2、 中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设，
（1） 证明A、O、E三点在同一直线上，且；
（2） 用表示向量.
3、 两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为
（1） 写出此时粒子B相对粒子A的位移；
（2） 计算在方向上的投影.
4、 平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，，的夹角为，求：（1）的大小；（2）夹角的大小.

B组
1、 以初速度，抛射角投掷铅球，求铅球上升的最大速度和最大投掷距离.
2、 一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，此时我们分三种情况讨论：
（1） 当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2） 当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3） 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间最短.
3、 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.
（1） 已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标；
（2） 设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线，求原来曲线C的方程.

复习参考题
A组
1、 判断下列命题是否正确：
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
2、 选择题：
（1） 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）.

（2） 对于任意向量，下列命题中正确的是（ ）.
（A） 若满足，且同向，则
（B）
（C）
（D）
（3） 在四边形ABCD中，若，则（ ）.
（A） ABCD是矩形 （B）ABCD是菱形
（C）ABCD是正方形 （D）ABCD是平行四边形
（4） 设是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是（ ）
（A） 的方向相反 （B）
（C）的方向相同 （D）
（5） 设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则等于（ ）.

（6） 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）.

3、 已知，且，分别用表示.
4、 已知六边形ABCDEF为正六边形，且，分别用表示.
5、 已知平面直角坐标系中，点O为原点，.
（1） 求的坐标及；
（2） 若，求的坐标；
（3） 求.
6、 已知点，试判断向量的位置关系，并给出证明.
7、 已知点，求点，使.
8、 n为何值时，向量共线且方向相同？
9、 已知，求，使.
10、 已知△ABC的顶点坐标为，求的值.
11、 已知单位向量的夹角为，求证：，并解释其几何意义.
12、 已知，为何值时，垂直？
13、 已知，的夹角为，求.
14、 如图所示，支座A受两个力的作用，已知，与水平线成角；,沿水平方向；两个力的合力，求角以及合力与水平线的夹角.

B组
1、 选择题：
（1） 已知，则（ ）.
（A） A、B、D三点共线 （B）A、B、C三点共线
（C）B、C、D三点共线 （D）A、C、D三点共线
（2） 已知正方形ABCD的边长为1，，则等于（ ）.
（A）0 （B）3 （C） （D）
（3） 已知，且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）.

（4） 已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，则①；②；③；④中正确的等式的个数为（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（5） 若是夹角为600的两个单位向量，则的夹角为（ ）.

（6） 若向量两两所成的角相等，且，则等于（ ）.
（A）2 （B）5 （C）2或5 （D）
（7） 等边三角形ABC的边长为1，，那么等于（ ）.

2、 已知向量为非零向量，求证：，并解释其几何意义.
3、 已知向量为非零向量，且，求证：，并解释其几何意义.
4、 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM=MN=NF，下底是上底的2倍，若，求

5、 已知向量满足条件，，求证是正三角形.
6、 如图，已知，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，用表示向量

7、 某人在静水中游泳，速度为千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1） 如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2） 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
8、 在△ABC中，若，那么点O在△ABC的什么位置？
9、 平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具，如图，设直线的倾斜角为，在上任取两个不同的点，不妨设向量的方向是向上的，那么向量的坐标是.过原点作向量，则点P的坐标是，而且直线OP的倾斜角也是，根据正切函数的定义得，这就是《数学2》中已经得到的斜率公式.上述推导过程比《数学2》中的推导敏捷，你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？例如：
（1） 过点，平行于向量的直线方程；
（2） 向量（A，B）与直线的关系；
（3） 设直线的方程分别是
那么，的条件各是什么？如果它们相交，如何得到它们的夹角公式？
（4） 点到直线的距离公式如何推导？