高中数学选修21圆锥曲线与方程单元测试.doc

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高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试
一、选择题
1、抛物线顶点是坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
（A） (B) (C) (D)
2、直线 与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
（A）[1，5)∪（5，+∞） （B）（0，5）
(C) (D) （1，5）
3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、 若双曲线的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合，则双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) （C） 4 (D) 4
5、过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（ ）
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
6. 已知F1、F2为双曲线=1(a＞0,b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线，它与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2=30°，则双曲线的渐近线方程为（ ）
(A) y=±x (B) y=±x
(C) y=±x (D) y=±x
7、已知A、B、C三点在曲线的面积最大时，m的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、在椭圆为直角三角形，则这样的点P有（ ）
(A) 2个 (B) 4个 (C)6个 ( D) 8个
9、已知双曲线的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形是（ ）
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形
10、设点P为双曲线右支上除顶点外的任意一点，为其两焦点，则在（ ）
(A)直线 上 (B)直线 上
(C) 直线 上 (D)直线 上
二．填空题
11、已知椭圆____________
12、双曲线________.
13．对任意实数K，直线：与椭圆： 恰有一个公共点，则b取值范围是_____________
14、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1、2、3、…），，，，…组成公差为d的等差数列，则实数d的取值范围是 .
三、解答题
15、已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
16、如图，线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A、B到x轴的距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求该抛物线的方程。

17、．直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出的值。若不存在，说明理由。

18、如图，P为双曲线（a、b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若．
（1）求证：A、B两点的横坐标之积为常数；
（2）求△AOB的面积（其中O为原点）．

19、设、y∈R，i、j为直角坐标平面内、轴正方向上的单位向量，向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8．
(1)求点M (x，y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由．

20、在△ABC中，A点的坐标为（0，3），BC边的长为2，且BC在x轴上的区间［－3，3］上滑动.
（1）求△ABC的外心P的轨迹方程；
（2）设直线l：y=x+b与P的轨迹交于E、F点，原点O到直线l的距离为d，求的最大值，并求此时b的值.

参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
A
C
D
C
D
B
A
二、填空题
11. 12. 4 13. b＝１或３ 14.
三、解答题
15. .解 设椭圆C的方程为+=1，
由题意知a=3,c=2，于是b=1。
∴椭圆C的方程为。
由 得10x2+36x+27=0
因为该二次方程的判别式△>0，所以直线与椭圆有两个不同交点。
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2= -,
故线段AB的中点坐标为(-,)。
16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。 ①
若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为：y=k(x-m)(k≠0)， ②
由①，②消去x，得y2-y-2pm=0 ③
设A、B的坐标分别为A(,a),B(,b)。
则a,b是方程③的两个根。
∴ab= -2pm，
又|a|·|b|=2m，即ab=-2m，
∴由-2pm= -2m(m>0)得p=1,
则所求抛物线方程为y2=2x。
若AB垂直于x轴，直线AB的方程为x=m,A、B两点关于x轴对称，
故=2pm,2m=2pm,
又m≠0，∴p=1，
则所求抛物线方程为y2=2x。
综上，所求抛物线方程为y2=2x。
17. 解：（Ⅰ）将直线的方程代入双曲线C的方程后，整理得
。…………①
依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，则
解得的取值范围为。
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①得
②
假设存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0），则由FA⊥FB得
。
既。
整理得。…… ③
把②式及代入③式化简得。
解得或（舍去）。
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
18. 解：（1）设A（，）、B（，）、P（，）．
因为，所以，．又，．
所以．从而．
又因为P点在双曲线上．所以，
为常数．
（2）又∠，则，

19. 解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8
∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8
∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为
（2）过轴上的点(0，3)，若直线是轴，则A、B两点是椭圆的顶点
∴0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线的斜率存在，设方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)
由 得：
此时，恒成立，
且
∵，∴四边形OAPB是平行四边
　若存在直线，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即0
∴
即　Þ　
解得：
∴存在直线l：，使得四边形OAPB是矩形．
20. 解：（1）设B，C的坐标分别为B(t,0),C(t－2,0)(－1≤t≤3),
则线段BC的中垂线方程为x=t－1, ①
AB中点（,）,AB斜率为 (t≠0),
所以线段AB的中垂线方程为y－=(x－) ②
由①②得：x2=6y－8(－2≤x≤2且x≠－1) ③
当x=－1时，t=0时，三角形外心P为(－1,),适合③；
所以P点的轨迹为x2=6y－8(－2≤x≤2)
（2）由得x2－2x－6b+8=0(－2≤x≤2) ④
x1x2=8－6b,x1+x2=2
所以｜EF｜==
又因为d=,所以
==
因方程④有两个不相同的实数根，设f(x)=x2－2x－6b+8
,∴＜b≤,≤＜.
当=时，()max=.
所以的最大值是,此时b=.

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