全国高中数学联赛试题及答案.doc

2005年高中数学联赛试卷（一）

一、选择题
1. 使关于x的不等式有解的实数k的最大值是（ ）
A. B. C. D.
2. 空间四点A、B、C、D，满足、、、，则的取值（ ）
A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 如图，ABCD－A'B'C'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（ ）
A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值
5. 方程表示的曲线是（ ）
A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线
C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线
6. 记集合，，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是（ ）
A. B. C. D.

二、填空题
7. 将多项式表示为关于y的多项式 ，且，则=__________。
8. f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若成立，则实数a的取值范围是_____________。
9. 设α、β、γ满足，若对任意，成立，则=_____。
10. 如图，四面体DABC的体积为，∠ACB=45°，，则CD=_________。
11. 正方形ABCD的一条边在直线上，另外两顶点在上，则正方形面积的最小值为_____________。
12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3…，若an=2005，则a5n=______。

三、解答题
13. 数列{an}满足a0=1，，，证明：(1)对于任意，a为整数；(2)对于任意，为完全平方数。
14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。

15. 过抛物线y=x2一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上，E在线段AC上，，F在线段BC上，，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于P，当C在抛物线上移动时，求P的轨迹方程。

2005年全国高中数学联赛试卷（二）

一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。

二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足
求函数的最小值.

三、（本题满分50分）
对每个正整数n，定义函数
（其中[x]表示不超过x的最大整数， 试求：的值.

2005年全国高中数学联赛试卷（一）
参考答案及评分标准

说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
解：令则
的最大值为。选D。
2．空间四点A、B、C、D满足则的取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
解：注意到由于则=

即只有一个值得0，故选A。
3．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连，则

4．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（ ）
A．S为定值，不为定值 B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值 D．S与均不为定值
解：将正方体切去两个正三棱锥后，得到一个以平行平面为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个
，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。
当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B。
5.方程表示的曲线是（　　　）
A．焦点在轴上的椭圆　　　　　　B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的椭圆　　　　　　D．焦点在轴上的双曲线
解：即

又方程表示的曲线是椭圆。

即曲线表示焦点在轴上的椭圆，选C。
6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（　　　　）
A．　　B．
C．　　D．
解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得

中的最大数为。
在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而
将此数除以，便得M中的数故选C。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于的多项式表为关于的多项式
其中则.
解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取
有
8.已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是
解：在上定义，又
•仅当或时，
在上是减函数，结合（＊）知或
9.设、、满足，若对于任意
则
解：设由，知，
即
又
只有
另一方面，当有记，由于三点构成单位圆上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有
即
10.如图，四面体DABC的体积为，且满足则.
解：
即又
等号当且仅当时成立，这时面ABC，.
11.若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　80　　.
解：设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得
令正方形边长为则①
在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.
①、②联立解得或
12.如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则5200.
解：∵方程的非负整数解的个数为.而使的整数解个数为.现取，可知，位“吉祥数”的个数为
∵2005是形如的数中最小的一个“吉祥数”，且
对于四位“吉祥数”，其个数为满足的非负整数解个数，即个。
∵2005是第1+7+28+28+1＝65个“吉祥数”，即从而
又而
∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.∴第325个“吉祥数”是52000，即

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列满足：
证明：（1）对任意为正整数；(2)对任意为完全平方数。
证明：（1）由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得　①
　②
①-②得
　③
由③式及可知，对任意为正整数.…………………………10分
（2）将①两边配方，得④
由③≡
∴≡≡0（mod3）∴为正整数
④式成立.
是完全平方数.………………………………………………………………20分
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有种. …5分
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设是依次排列于这段弧上的小球号码，则
上式取等号当且仅当，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.
因此.…………………………………………………………………10分
由上知，当每个弧段上的球号确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事件总数是种，故所求概率……………20分
15.过抛物线上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交轴于D，交轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足;点F在线段BC上，满足，且，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
解一：过抛物线上点A的切线斜率为：切线AB的方程为的坐标为是线段AB的中点. ………………5分
设、、、，则由知，
得
∴EF所在直线方程为：
化简得…①…………10分
当时，直线CD的方程为：…②
联立①、②解得，消去，得P点轨迹方程为：………15分
当时，EF方程为：方程为：，联立解得也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴
∴所求轨迹方程为………………………………………………20分
解二：由解一知，AB的方程为故D是AB的中点. ……5分
令则因为CD为的中线，

而是的重心. ………………………………………………………………………10分
设因点C异于A，则故重心P的坐标为
消去得
故所求轨迹方程为………………………………………………20分

2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案

一、（本题满分50分）

如图，在△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。）
证明：（1）先证DE过△ABC的内心。
如图，连DE、DC，作∠BAC的平分线分别交DC于G、DE于I，连IC，则由AD=AC，

得，AG⊥DC，ID=IC.
又D、C、E在⊙A上，
∴∠IAC=∠DAC=∠IEC，∴A、I、C、E四点共圆，
∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，而∠CIE=2∠ICD，
∴∠ICD=∠ABC.
∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+∠ABC，∴∠ACI=∠ACB，∴I为△ABC的内心。
（2）再证DF过△ABC的一个旁心.
连FD并延长交∠ABC的外角平分线于I1，连II1、B I1、B I，由（1）知，I为内心，
∴∠IBI1=90°=∠EDI1，∴D、B、l1、I四点共圆，
∵∠BI l1 =∠BDI1=90°－∠ADI1
=（∠BAC+∠ADG）－∠ADI=∠BAC+∠IDG，∴A、I、I1共线.
I1是△ABC的BC边外的旁心。

二、（本题满分50分）
设正数a、b、c、x、y、z满足
求函数的最小值.
解：由条件得，，
即，
，同理，得
a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，
，
故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，
，问题转化为：在锐角△ABC中，
求函数、、）=的最小值.
令则
且

同理，

+（取等号当且仅当，此时，

三、（本题满分50分）
对每个正整数n，定义函数
（其中[x]表示不超过x的最大整数， 试求：的值.
解：对任意，若，则，设
则
让a跑遍区间）中的所有整数，则
于是……①
下面计算画一张2k×2k的表，第i行中，凡是i行中的位数处填写“*”号，则这行的“*”号共个，全表的“*”号共个；另一方面，按列收集“*”号数，第j列中，若j有T（j）个正因数，则该列使有T（j）个“*”号，故全表的“*”号个数共
个，因此=.
示例如下：
j
i
1
2
3
4
5
6
1
*
*
*
*
*
*
2

*

*

*
3

*

*
4

*

5

6

*
则
……②
由此，……③
记易得的取值情况如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

3
5
6
6
7
8
6
9
8
8
8
10
7
10
10
因此，……④
据定义，
又当，
，
，则……⑤
从则