No.49全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

2011最后冲刺系列之一试试题汇编（共16套）
2011年全国高中数学联赛模拟题1
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、已知函数的值域为，则
2、已知并且，则的取值范围是
3、设在平面上，，所围成图形的面积为，则集合的交集所表示的图形面积为
4、的最小值为
5、已知复数，，且.则＝
6、过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足），延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为
7、设表示不超过的最大整数，则
8、设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=____________
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分） 在△ABC中，A,B,C所对边分别为，且，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到A,B,C的距离的平方和的最大值和最小值

10、（本题20分）数列中，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在最大的正整数，使得对于任意的,均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

11、（本题20分）给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.

2011年全国高中数学联赛模拟题2
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上.
1.方程在区间上的实根个数为_________________.
2.设数列的前项和为，则满足不等式的最小整数是_________________.
3.已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________.
4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.
5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.
6.设是平面上一个定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_________________.
7.对给定的整数，符号表示中使能被3整除的唯一值，那么_________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边，和斜边为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为，，，则与的大小关系是_________________.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.（本小题满分16分）是否存在实数，使直线和双曲线相交于两点、，且以为直径的圆恰好过坐标系的原点？

2.（本小题满分20分）求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.

3.（本小题满分20分）设非负实数，，满足，求证：

2011年全国高中数学联赛模拟题3
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、 若实数、满足条件，则的取值范围是___________________.
2、已知为非负数，则的最小值为
3、设AB是椭圆（）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则+…的值是
4、从一个有88条棱的凸多面体P，切去以其每个顶点为顶点的各一个棱锥，得到一个新的凸多面体Q，这些被切去的棱锥的底面所在的平面在P上或内部互不相交，则凸多面体Q的棱数是 。
5、设函数，且满足，，
，则 .
6、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为
7、设均为正实数，且，则的最小值为____________________.
8、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）设S={1，2，…，n}，A为至少含有两项的、公并非为正的等差数列，其项部都在S中，且添加S 的其他元素等于A后均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种A的个数（这里只有两项的数列也看做等差数列）.

10、（本题20分）已知为抛物线的焦点， M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为．（I）求的值；（II）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．

11、（本题20分）已知函数。（I）若方程在内有两个不等的实根，求实数的取值范围．（II）如果函数的图象与轴交于两点，，且。求证：（其中正常数、满足）。

2011年全国高中数学联赛模拟题4
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、 用区间表示函数的定义域为 ；
2、在△ABC中。若，则 ；
3、在数列中，,则使成立的最小正整数的值是 ；
4、已知是R上的奇函数，对任意，均有，且时，，则 ；
5、如图，在四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，为边的中点，且平面,则二面角的余弦值为 ；
6、若正整数使得对任意一组满足的正数都有成立，则正整数的最小值为
7、函数的最小值为
8、将方程（表示不超过的最大整数）的实数解从小到大排列成，则
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）设二次函数与轴有交点。若对一切,有，且，求的值。

10、（本题20分）记集合，是中可重复选取的元素．
（1）若将集合中所有元素按从小到大的顺序排列，求第2008个数所对应的的值；
（2）若将集合中所有元素按从大到小的顺序排列，求第2008个数所对应的的值．

11、（本题20分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点，过的直线交椭圆于、两点，且，垂足为．
（1）设点的坐标为，求的最值；
（2）求四边形的面积的最小值．

2011年全国高中数学联赛模拟题5
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、整数，且，则分别为　　　　　　　　。
2、.均为非负实数，则
　的最小值为　　　　　　　　　　　。
3、已知集合，其中，且。若正整数，且，符合条件的有 个
4、记，则的最小值是
5、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 ．（用具体数字作答）
6、为的单调递增数列，满足，则　。
7、设为方程的根（），则　　　　。

8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为ξ（当所取3点共线时，ξ＝0），则ξ的数学期望=
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）求函数 的最大值和最小值．

10、（本题20分）设x，y，z为正实数，求函数 的最小值。

11、（本题20分）n2(n≥4)个正数排成n行n列
a11 a12 a13 a14…… a1n
a21 a22 a23 a24…… a2n
a31 a32 a33 a34…… a3n
a41 a42 a43 a44…… a4n
… … … … …… …
an1 an2 an3 an4…… ann
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,
a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）

2011年全国高中数学联赛模拟题6
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、y=的最大值为，最小值为，则等于 .
2、已知实数满足，且函数，当时有最大值，最小值，则＝ .
3、已知集合，对它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对的所有非空子集，这些和的总和为 .
4、已知两个集合A=，B=，若A∩B≠，则整数a 的值为 .
5、函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x，都有，则 .
6、是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则a+b+c= .
7、已知的图像与轴有两个不同的交点且，则的值为 .
8、设n为正整数，记1×2×…×n为n!(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数满足，这里，i=2，3，4，5，6，则等于 .
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）已知点的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，(1)写出与之间的关系式；(2)设，求的通项公式。

10、（本题20分）已知，函数，试求在区间上的最大值。

11、（本题20分）已知双曲线的离心率为2，过点斜率为1的直线交双曲线于两点，且(1)求双曲线方程；（2）设Q为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。

2011年全国高中数学联赛模拟题7
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、满足方程所有实数解为 。
2、 函数的最小正周期为 ．
3、设P是圆上一动点，A点坐标为。当P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹方程为
4、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为 .
5、设z是虚数，，且，则z的实部取值范围为 .
6、设。如果对任何，都有，则k的最小值为
7、若不等式对-1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是 .
8、已知数列{ak}的通项ak=2k，k=1，2，…，n，则所有的aiaj(1≤i≤j≤n)的和为 .
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）已知椭圆，以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。

10、（本题20分）已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为Sn．（1）用Sn表示Sn+1；（2）是否存在自然数c和k，使得＞2成立．

11、（本题20分）已知定义在R+上的函数f(x)满足 （i）对于任意a、b∈R+，有f(ab)=f(a)+f(b)；（ii）当x＞1时，f(x)＜0；（iii）f(3)=-1．现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2＞0，p、q∈R+}，集合B={(p,q)|f()+=0，p、q∈R+}．试问是否存在p、q，使，说明理由．

2011年全国高中数学联赛模拟题8
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、函数的值域是__________________________.
2、设是复数，则的最小值等于__________________________.
3、把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如：.那么 .
4、在中，，，，则的面积为 .
5、圆锥曲线的离心率是 .
6、若、，其中，，并且
，则实数对表示平面上不同点的个数为 .
7、已知（），且 则a的取值范围是
8、从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________.
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）当实数为何值时，关于的方程无解、一解、两解？

10、（本题20分）已知二次函数在区间上的最小值为，最大值为3. （1）求的表达式；（2）若，其中，且.求证：.

11、（本题20分）已知的三边长度各不相等，，，分别是，，的平分线与边，，的垂直平分线的交点.求证：的面积小于的面积.

2011年全国高中数学联赛模拟题9
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、是周期为5的奇函数，，则 。
2、设函数，若表示不大于的最大整数，则函数的值域是 。
1 2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 …
20 28 36 44 …
48 64 80 …
112 144 …
… … …
3、, 为多项式的根，则
4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。则2000在表中出现 次。
5、已知二次函数，若对于上的任意三个实数，函数值都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的的值可以是 。
6、若 ，则 。
1
2
3
4
5
6
7
8
7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为 。
8、等比数列中，，函数，则函数在处的切线方程为 。
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，且满足。（1）推导出三边之间的关系式；（2）求的值。

10、（本题20分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

11、（本题20分）已知函数，，定义，偶函数的定义域为，当时，。（1）求；（2）若存在实数使得该函数在上的最大值为，最小值为，求非零实数的取值范围。

2011年全国高中数学联赛模拟题10
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1、使关于的不等式有解的实数k的最大值是
2、已知。若对所有，则b的取值范围是
3、设函数，且对任意
，则=_____________________。
4、若复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，，则z1·z2=　　　　　 ．
5、已知整数满足，且，则 ．
6、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为
7、记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=，将M
中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是
8、将边长为2的正△沿高折成直二面角, 则三棱锥的外接球的表面积是
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）已知函数
（1）求函数f(x)在区间[1，e]上的最大、最小值；
（2）求证：在区间（1，）上，函数f(x)的图象在函数图象的下方；
（3）设g(x)=f / (x)，求证：。

x
y
O
P
A
C
B
D

10、（本题20分）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，，，．证明：，，，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补．

11、（本题20分）数列{满足：
证明：（1）对任意为正整数；（2）对任意为完全平方数.

2011年全国高中数学联赛模拟题11
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（共8题，每题8分，64分）
1．方程的实数解为 ．
2．函数R的单调减区间是 .
3．函数在区间上的最大值是 ，最小值是 ．
4．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为 ．
5．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. ．
6．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是 ．
7．在三棱锥中，已知， ，且．已知棱的长为，则此棱锥的体积为 ．
8．设复数列满足，，且．若对任意N* 都有，则的值是 ．
二、解答题（共3题，共56分）
9、（本题16分）直角坐标系中，设、、是椭圆上的三点．若，证明：线段的中点在椭圆上．

10、（本题20分）已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求出所有的正整数，使得．

11、（本题20分）求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

2011年全国高中数学联赛12
一试
考试时间上午8：00~9：20，共80分钟，满分120分
一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 设，则的最小值是 。
2. 已知，且，则将表示成的函数，其解析式是 。
3. 已知函数，若，且，则的取值范围是 。
4. 满足方程的所有实数对 。
5. 若 表示不超过实数 的最大整数，则方程 的解是 。
6. 不等式的解集是 。
7. 设是由不超过的所有正整数构成的集合，即，集合，且中任意两个不同元素之差都不等于，则集合元素个数的最大可能值是 。
8. 给出一个凸边形及其所有对角线，在以该凸边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸边形顶点的三角形有 个。
二、解答题
9.（本题满分16分）设函数定义于区间，满足，且对任意，都有，其中常数满足，求的值。

10. （本题满分20分）如图，是双曲线的右顶点，过点的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点，问直线是否一定过轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点试求出这个定点的坐标。

11. （本题满分20分）设正整数构成的数列使得对一切恒成立。记该数列若干连续项的和为，其中，且。求证：所有构成的集合等于。

2011年全国高中数学联赛13
一 试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1．在数列中，，，且，．则＝ ．
2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则 ．
3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则 ．
4．设，变量满足，且的最小值为，则_______．
5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是 .
6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 .
7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时，_________．
8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则 .
二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分）
9.（本小题满分16分）设，证明不等式
．

10.（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，．
（1）求双曲线方程；
（2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11.（本小题满分20分） 设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有
.

加 试

1. （本题满分40分）实数a使得对于任意实数，不等式

都成立，求a的最大值．

2. （本题满分40分）在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知，求证：∥．

3．（本题满分50分）对正整数n，记为数的十进制表示的数码和．
(1) 求的最小值；
(2) 是否存在一个正整数n，使得=100？

4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点，则在个角中，至少有2011个不超过．

2011年全国高中数学联赛14
一 试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）
1. 已知，且，，，若，则a的取值范围是 。
2. 在中，若，，，为的内心，且，则 .
3. 已知函数若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n-1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ．
6. 设为一个整数数列，并且满足：，．若，则满足且的最小正整数n是 ．
7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内，将适合且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。
二、解答题（本题满分56分）
9. （本小题满分16分）对正整数，记，求数列中的最大值．

10.（本小题满分20分）已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。

11.（本小题满分20分）映射f的定义域是的全体真子集，值域包含于，满足条件：对任意，都有，求这种映射的个数．

加 试

一、（本题满分40分）
设为直线上顺次排列的五点，，在直线外的一点，连结并延长至点，恰使，同时成立.
求证：。

二、（本题满分40分）
已知：，，
求证：。

三、（本题满分50分）
设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1<d2<…<dk = n。再设D = d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk。
(i) 证明：D<n2；
(ii) 确定所有的n，使得D整除n2。

四、（本题满分50分）
设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．

2011年全国高中数学联赛15
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．数列满足：，且．记前项的和为，则 ．
2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为 ．
3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 ．
4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．
5．若均为正实数，且，则的最小值为 ．
6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则 ．
7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知数列中，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对一切，有．

10．设，求使为完全平方数的整数的值．

11．已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．
（1）用表示四边形的面积；
（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．

2011年全国高中数学联赛16
一、填空题（本题满分56分，每小题7分。）
1．已知复数满足，则 ．
2．设，，则的值域为 ．
3．设等差数列的前n项和为，若，则中最大的是 ．
4．已知O是锐角△ABC的外心，，若，且，则 ．
5．已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为 ．
6．设，且，，则符合条件的共有 组．（注：顺序不同视为不同组．）
7．设，则的最小值为 ．
8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是 ．
二、解答题（本题满分64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。）
9．设数列满足，，其中．
（1）证明：对一切，有；
（2）证明：．

10．已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．
(1)证明：直线AB恒过定点Q；

11．设为正实数，且．证明：
．

加试
1.任意给定锐角△ABC ,在其边BC上有两点E、F 满足∠BAE = ∠CAF , 在边AB 、AC 上分别取点M、N , 使得A 、M、F、N四点共圆, 延长AE 交△ABC 的外接圆于点D. 证明: S四边形AMDN = S △ABC.

2、（本题40分）已知无穷数列满足.
（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数,使当时，恒为常数？
（2）求数列的通项公式.

3、（本题50分）设是正整数, =[] (其中表示不超过的最大整数)，求同时满足下列条件的的最大值：(1) 不是完全平方数；(2) .

4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于) .

~ - 28 - ~