高中数学选修22导数的几何意义.doc

1.1.3　导数的几何意义
[学习目标]　1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数.

知识点一　曲线的切线
如图所示，当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.

(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；
(2)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个.
思考　有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点，你认为正确吗？
答案　不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示.

知识点二　导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率.
思考　(1)曲线的割线与切线有什么关系？
(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？
答案　(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.
(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.
函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导.
知识点三　导函数的概念
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，这样，当x变化时，f′(x)便是关于x的一个函数，称它为函数y＝f(x)的导函数，简称导数，也可记作y′，即f′(x)＝y′＝ ＝ .
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|就是函数y＝f(x)在开区间(a，b)(x∈(a，b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值，即y′|＝f′(x0)，所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0).
思考　如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？
答案　“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关.

题型一　求曲线的切线方程
1.求曲线在某点处的切线方程
例1　求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程.
解　因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f′(1)＝
＝
＝[(Δx)2＋3Δx＋2]
＝2，
故所求切线方程为y－3＝2(x－1)，
即2x－y＋1＝0.
反思与感悟　若求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其切线只有一条，点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，且是切点，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
跟踪训练1　(1)曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处切线的倾斜角为 .
(2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3，则点P的坐标为 .
答案　(1)π　(2)(－1，－1)或(1,1)
解析　(1)设切线的倾斜角为α，则
tan α＝
＝
＝
＝
＝[(Δx)2－1]＝－1.
∵α∈[0，π)，
∴α＝π.
∴切线的倾斜角为π.
(2)设点P的坐标为(x0，x)，则有

＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]
＝3x.
∴3x＝3，解得x0＝±1.
∴点P的坐标是(1,1)或(－1，－1).
2.求曲线过某点的切线方程
例2　求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.
解　y′＝
＝
＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.
设切点的坐标为(x0,2x0－x)，
∴切线方程为y－2x0＋x＝(2－3x)(x－x0).
又∵切线过点(－1，－2)，
∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，
即2x＋3x＝0，
∴x0＝0或x0＝－.
∴切点的坐标为(0,0)或(－，).
当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x；当切点为(－，)时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y＝2x或19x＋4y＋27＝0.
反思与感悟　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
跟踪训练2　求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.
解　由题意知y′＝ ＝ ＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0).
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x.
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率y′|＝2x0.
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.
题型二　求导函数
例3　求函数f(x)＝的导函数.
解　 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝
＝
＝.
反思与感悟　求解f′(x)时，结合导数的定义，首先计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x).然后，再求解，最后得到f′(x)＝ .
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1).
解　 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)2－1－(x2－1)
＝2Δx·x＋(Δx)2，
故 ＝ ＝2x，
得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.
题型三　导数几何意义的综合应用
例4　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值.
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，
∴f′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝3(x＋)2－9－≥－9－.
由题意知f′(x)最小值是－12，
∴－9－＝－12，a2＝9，
∵a＜0，
∴a＝－3.
反思与感悟　与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.
跟踪训练4　(1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为 .(请用“＞”连接)

(2)曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 .
答案　(1)k1＞k3＞k2　(2)
解析　(1)结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，而k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系.
(2)联立解得
故交点坐标为(1,1).
曲线y＝在点(1,1)处切线方程为l1：x＋y－2＝0，
曲线y＝x2在点(1,1)处切线方程为l2：2x－y－1＝0.
从而得S＝××1＝.

因对“在某点处”“过某点”分不清致误

例5　已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.
错解　因y′＝3x2，f′(1)＝3.
故切线方程为3x－y－2＝0.
错因分析　上述求解过程中，忽略了当点Q不是切点这一情形，导致漏解.
正解　当Q(1,1)为切点时，
可求得切线方程为y＝3x－2.
当Q(1,1)不是切点时，设切点为P(x0，x)，
则由导数的定义，在x＝x0处，y′＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
将点(1,1)代入，得1－x＝3x(1－x0)，
即2x－3x＋1＝0，
所以(x0－1)2·(2x0＋1)＝0，
所以x0＝－，或x0＝1(舍)，
故切点为，
故切线方程为y＝x＋.
综上，所求切线的方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
防范措施　解题前，养成认真审题的习惯，其次，弄清“在某点处的切线”与“过某点的切线”，点Q(1,1)尽管在所给曲线上，但它可能是切点，也可能不是切点.

1.下列说法中正确的是(　　)
A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线
B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线
C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点
D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点
答案　D
解析　y＝sin x，x∈R在点(，1)处的切线与y＝sin x有无数个公共点.
2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(　　)
A.4 B.16 C.8 D.2
答案　C
解析　f′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.
3.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1
答案　A
解析　由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
4.已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.165°
答案　B
解析　∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
5.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为 .
答案　(3,30)
解析　设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，∴P(3,30).

1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导函数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

一、选择题
1.下列说法正确的是(　　)
A.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案　C
解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
答案　B
解析　由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
3.在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)
A.(0,0) B.(2,4)
C.(，) D.(，)
答案　D
解析　∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝2＝，所求点的坐标为.
4.已知曲线y＝x3上一点P(2，)，则该曲线在P点处切线的斜率为(　　)
A.4 B.2 C.－4 D.8
答案　A
解析　因y＝x3，得y′＝ ＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2，
故y′＝x2，y′|x＝2＝22＝4，
结合导数的几何意义知，曲线在P点处切线的斜率为4.
5.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A.1 B.
C.－ D.－1
答案　A
解析　∵y′|x＝1＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a.∴可令2a＝2，∴a＝1.
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于(　　)

A.2 　　　 B.3
C.4 　　　 D.5
答案　A
解析　易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.
二、填空题
7.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝ .
答案　3
解析　由在点M处的切线方程是y＝x＋2，
得f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝.
∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
8.过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .
答案　2x－y＋4＝0
解析　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝
＝ (3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
∴所求直线方程为2x－y＋4＝0.
9.若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝ .
答案　3
解析　设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为(1,1).∴2－4＋P＝1，即P＝3.
10.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为 .
答案　
解析　∵f′(x)＝
＝ ＝ (Δx＋2x＋2)＝2x＋2.
∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，∴点P横坐标的取值范围为.
三、解答题
11.求曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.
解　由导数定义可得y′|x＝1＝2，
∴曲线y＝x2在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，设它与两坐标轴的交点分别为A(0，－1)，B(，0)，
∴S△AOB＝|OA||OB|＝.
12.已知抛物线y＝x2和直线x－y－2＝0，求抛物线上一点到该直线的最短距离.
解　方法一　设P(x，x2)为抛物线上任意一点，则点P到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝＝2＋，所以当x＝时，d最小，最小值为.
方法二　由题意设直线x－y＋b＝0与抛物线y＝x2相切，则x2－x－b＝0，由Δ＝0得b＝－，所以直线x－y－＝0与x－y－2＝0的距离为d＝＝＝，所以抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
方法三　根据题意可知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝ ＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
13.已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程；
(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
解　(1)∵y′＝
＝ ＝2x＋1，
∴y′|x＝1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0).
∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，x0＝－，
∴直线l2的方程为y＝－x－.
(2)解方程组得
又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，(－，0)，
∴所求三角形面积S＝××＝.

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