高中数学必修一：函数的概念及其表示教案.doc

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学科: 数学 任课教师：周老师 授课时间： 年 月 日(星期 ) -
姓名

年级：高一
教学课题
函数的概念及其表示
阶段
基础（ ） 提高（√） 巩固（ ）
计划课时
第（ ）次课
共（ ）次课
教学
目标
知识点：
考点：
方法：
重点
难点
重点：
难点：
教
学
内
容
与
教
学
过
程

课前
检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________

一、函数的基本概念
1.映射:设是两个非空的集合,如果按照某种对应关系,对于集合的任何一个元素,在集合中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合到集合的映射,记作.(包括集合及到的对应法则)
对映射概念的认识
(1)与是不同的,即与上有序的.或者说：映射是有方向的.
(2)集合可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合.
(3)集合中每一个输入值,在集合中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合的子集.即集合中可能有元素在集合中找不到对应的输入值.
即：(i)不允许集合中有空余元素； (ii)允许集合中有剩留元素；
(iii)允许多对一，不允许一对多.
2.函数：设是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数 ,在集合中都有唯一确定的数和它对应。称为从集合到集合的一个函数,记作：
(1)函数的定义域、值域：
在函数中，叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
注意:(i)函数符号与的含义是一样的；都表示是的函数,其中是自变量,是函数值,连接的纽带是法则。是单值对应。
(ii)定义中的集合都是非空的数集,而不能是其他集合；
(2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系

(3)相等函数：两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。
注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。
如:函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；
与，其定义域为，值域都为[-1,1]，显然不是相等函数。
因此判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系
(4)函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。
(5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。
(6)复合函数:设,当在的定义域中变化时,的值在的定义域内变化,因此变量与之间通过变量形成的一种函数关系,记为：称为复合函数,其中称为自变量,为中间变量，为因变量(即函数)。
如：设则称为复合函数。

例1、下列各对函数中，相同的是（ ）
A、 B、
C、 D、

例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

例3、下列图象中不能作为函数图象的是（ ）

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

例1：求下列函数的定义域。
(1) f(x)=； (2) f(x)=； (3) f(x)=－；

2、求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法：
（1）已知的定义域为，求的定义域；
求法：由，知，解得的的取值范围即是的定义域。
（2）已知的定义域为，求的定义域；
求法：由，得的取值范围即是的定义域。
例2：已知的定义域为[0,1]，求的定义域。

例3、

例4、。

例5．已知的定义域为[-1,0]，求的定义域。

【变式训练】（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求的定义域；

（2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域

三、函数值域求法：
1.直接观察法:对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
2.配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；
3.换元法（无理函数，部分三角函数；形如的函数）
4.分离常数法
5.变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。）
6.判别式法（ 形如分式函数）
7.函数的单调性法：
a.形如，若用单调性法，用换元法；
b.形如 若不能相等，用单调性法，能相等，用不等式法（特别关注 的图象及性质）
8.不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型函数，当不能相等时必须用函数单调性）
9.数形结合法
例．（直接法） 2．（直接法）

3．（换元法） 4. （Δ法）

5. （Δ法） 6. (分离常数法) ① ②

7. (单调性)

8.①，② (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．（数形结合)

四、求函数的解析式：
常见的求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、消去法。
例1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（待定系数法）

例2．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（换元法）

例3．已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。（消去法）

【巩固练习】
一、选择题
1. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
2. 下列图形中，是函数的图象的有（ ）
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x

A B C D
3. 已知函数的定义域为，那么其值域为（　 ）
A． B． C． D．
4. 设是集合到的映射，那么下列命题中是真命题的是（ ）
A． 中任何两个不同的元素必有不同的象
B． 中任何一个元素在中的象是唯一的
C． 中任何一个元素在中必有原象
D． 中一定存在元素在中没有原象
5. 已知函数且,那么等于（ ）
A． B． C． D．
6. 已知函数那么的值等于（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题
7. 函数的定义域为___________．
8. 已知函数，则=___________，=__________.
9. 若则 ，______．
10. 已知，求= ，= ．
注：[x]表示不超过x的最大整数，如：[4.1]=4；[3]=3；[-2.1]=-3
三、解答题
11. 已知是一次函数，且满足,求．

12. 已知函数，求．

13 . 已知是二次函数，且,求．

能力题
14. （1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________．
（2）已知函数的定义域为，则的定义域为____________．
15. 若的定义域为，且，若，则=________．
课后
巩固
作业________________________________; 巩固复习_______________________________;
预习布置____________________________
签字
学科组长签字： 学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
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备注

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