高中数学选修21新教学案：第一章常用逻辑用语小结与复习.doc

常用逻辑用语小结
【知识归类】
1．命题：能够判断真假的陈述句.
2. 四种命题的构成:原命题:若则;逆命题:若则;否命题:若则;逆否命题: 若则.
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:
原命题为真,它的逆命题 . 原命题为真,它的否命题 .
原命题为真,它的逆否命题 . 逆命题为真,它的否命题 .
原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是 .
逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.
3. 充分条件与必要条件:
:是充分条件; 是必要条件;
.
判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原
命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用
与；与；与的等价关系，对于
条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
　　(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且
BA，即AB.
　　如图：　“”“，且”是的充分不必要条件.
　　“”“”是的充分必要条件.

4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“”“ ”“ ”表示，意义为：
或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.
按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.
:矩形有外接圆; 矩形有内切圆.

非:
5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.
6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.
7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语:
正面词语
等于=
大于(>)
小于(<)
是
都是
任意的
否定词语

正面词语
所有的
任意两个
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语

8. 反证法的逻辑基础:
(1) 与的真假相异,因此,欲证为真,可证为假,即将作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么必为假,从而为真.
(2) “”与“”等价.欲证“”为真,可由假设“”来证明“”,即将“”作为条件进行推理,导致与已知条件矛盾.
（3）由“”的真假表可知，“”为假，当且仅当真假，所以我们假设“真假”，即从条件和出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“”是真命题.
后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.
全称命题与特称命题真假的判断
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证成立；
要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；
2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使
成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

【题型归类】
题型一：四种命题之间的关系
例1 “R），则”的逆否命题是（ ）.
(A) R),则(B) R),则
(C) R),则(D) R),则
题型二：充分、必要条件题型
例2 “”是“等式”的 （ ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件
变式练习：“”是“”的 （ ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件
例3 ，若是的必要但不充分条件，求实数的取值范围.

题型三：复合命题真假的判断
例4 已知
：方程无实根, 求的取值范围.

变式练习：设有两个命题, :不等式的解集为R, :函数
在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则的取值范围是 .
题型四：全称命题、特称命题
例5 设为两个集合,下列四个命题:
(2)
(3) (4)
其中真命题的序号为 .
变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( ).
(A) (B)
(C) (D)
题型五：综合应用
例6 已知关于的实系数二次方程有两个实数根.证明:
且的充要条件.

练：1. 已知函数，且给定条件p:“”,
（1）求的最大值及最小值
（2）若又给条件且p是q的充分条件，求实数m的取值范围。

练2 给定两个命题：
：对任意实数都有恒成立；
：关于的方程有实数根；
如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．

3.（联考）（本小题满分12分）已知：， ：．
若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

(江西省上高二中2013高三理）已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

（江苏省2013届高三）已知命题P函数在定义域上单调递增；
命题Q不等式对任意实数恒成立
若是真命题，求实数的取值范围

1．对任意实数给出下列命题：
（1）“”是“”的充要条件；
（2）“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
（3）“”是“” 的充分条件；
（4）“”是“”的必要条件
其中真命题的个数是 （ ）.
（ A ） 1 ( B ) 2 （ C ） 3 （ D ） 4
2. “”是“”的 （ ）
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件

3.设R则 的 （ ）
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
4. “”的一个必要不充分条件是 （ ）
（ A ） ( B )
（ C ） （ D ）
5.在 “”是“ ”的 （ ）
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
6. 设是两个集合，则“”是“”的 ( )
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
7. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （ ）
（ A ） （ B ） C ） （ D ）
8. 已知命题：对任意的实数，若则.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假.
9.已知命题：矩形的对角线相等.
(1)写出这个命题的否命题,并判断真假；
（2）写出这个命题的否定，并判断真假.
10.已知方程,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

2-1 第一章 常用逻辑用语
小结与复习(教案)

【知识归类】
1．命题：能够判断真假的陈述句.
2. 四种命题的构成:原命题:若则;逆命题:若则;否命题:若则;逆否命题: 若则.
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:
原命题为真,它的逆命题. 原命题为真,它的否命题.
原命题为真,它的逆否命题. 逆命题为真,它的否命题.
原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是.
逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.
3. 充分条件与必要条件:
:是充分条件; 是必要条件;
.
4. 逻辑联接词: “且”、“或”、“非”分别用符号“”“ ”“ ”表示，意义为：
或：两个简单命题至少一个成立；且：两个简单命题都成立；非：对一个命题的否定.
按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.
:矩形有外接圆; 矩形有内切圆.
（真）
（假）
非:（假）
5. 全称量词与全称命题：常用的全称量词有：“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.
6. 存在量词与特称命题：常用的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.
7. 对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语:
正面词语
等于=
大于(>)
小于(<)
是
都是
任意的
否定词语
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
某个

正面词语
所有的
任意两个
至多有一个
至少有一个
至多有n个
否定词语
某些
某两个
至少有两个
一个也没有
至少有n+1个
8. 反证法的逻辑基础:
(1) 与的真假相异,因此,欲证为真,可证为假,即将作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么必为假,从而为真.
(2) “”与“”等价.欲证“”为真,可由假设“”来证明“”,即将“”作为条件进行推理,导致与已知条件矛盾.
（3）由“”的真假表可知，“”为假，当且仅当真假，所以我们假设“真假”，即从条件和出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“”是真命题.
后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:“否定结论，推出矛盾”.
【题型归类】
题型一：四种命题之间的关系
例1 “R），则”的逆否命题是（ D ）.
(A) R),则
(B) R),则
(C) R),则
(D) R),则
【审题要津】命题结论中的如何否定是关键.
解: 是,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:
R),则,故应选D
【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题.
题型二：充分、必要条件题型
例2 “”是“等式”的 （ A ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件
【审题要津】,说明,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.
解: 由,所以,所以,充分;反之,由,不见得有,故应选A.
【方法总结】:是充分条件; 是必要条件,否则:是的不充分条件; 是不必要条件.
变式练习：“”是“”的 （ A ）.
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分有不必要的条件
例3 ，若是的必要但不充分条件，求实数的取值范围.
【审题要津】命题,可以化的更简,由和的关系可以得到与的关系,利用集合的理论方法将问题解决.
解: 得：，
.
.
由是的必要但不充分条件知：是的充分但不必要条件，即于是：
.
【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来.
题型三：复合命题真假的判断
例4 已知
方程无实根, 求的取值范围.
【审题要津】把两个方程化简，然后根据列不等式组，方可求的取值范围.
解：

，

【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、两类复合命题的真假判断.
变式练习：设有两个命题, :不等式的解集为R, :函数
在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则的取值范围是.
题型四：全称命题、特称命题
例5 设为两个集合,下列四个命题:
(2)
(3) (4)
其中真命题的序号为.
【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题.
解: ,
所以(1),(2)是假命题; ,所以(3)是假命题,只有(4)为真命题.
【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.
变式练习：下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( A ).
(A)
(B)
(C)
(D)
题型五：综合应用
例6 已知关于的实系数二次方程有两个实数根.证明:
且的充要条件.
证明：（1）充分性：由韦达定理得.
设,则函数的图象是开口向上的抛物线,又,,.即有,
联立解得.
(2)必要性: 由且的图象是开口向上的抛物线,方程 的两根同在内或无实根. 是方程的根, 同在内,即且.
【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的一般步骤是(1)先分清条件与结论,(2)进行互推,(3)根据定义下结论.
【思想方法】
1.数学思想：本部分用到的数学思想有：划归思想，分类讨论思想亦即否定思想.

2.数学方法:本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举反例”来说明.

1．对任意实数给出下列命题：
（1）“”是“”的充要条件；
（2）“是无理数”是“是无理数”的充要条件；
（3）“”是“” 的充分条件；
（4）“”是“”的必要条件
其中真命题的个数是 （ B ）.
（ A ） 1 ( B ) 2 （ C ） 3 （ D ） 4
2. “”是“”的 （ B ）.
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
3.设R则 的 （ A ）.
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
4. “”的一个必要不充分条件是 （ B ）.
（ A ） ( B )
（ C ） （ D ）
5.在 “”是“ ”的 （ B ）.
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
6. 设是两个集合，则“”是“”的 ( B ) .
（ A ）充分不必要条件 ( B ) 必要不充分条件
（ C ）充要条件 （ D ） 既不充分也不必要条件
7. 已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 （ D ）.
（ A ） （ B ） C ） （ D ）
8. 已知命题：对任意的实数，若则.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假.
解: 逆命题: R, (假)
否命题: R, （假）
逆否命题: R, （假）
9.已知命题：矩形的对角线相等.
(1)写出这个命题的否命题,并判断真假；
（2）写出这个命题的否定，并判断真假.
解：（1）先将命题改写成“”的形式：若四边形是矩形，则它的对角线相等.
否命题:若四边形不是矩形,则它的对角线不相等(假).
这是一个全称命题,所以它的否定是:有些矩形的对角线不相等(假).
10.已知方程,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
解：令，方程有两个大于1的实数根

所以其充要条件为
23.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测理)（本题满分12）
已知函数，且给定条件p:“”,
（1）求的最大值及最小值
（2）若又给条件且p是q的充分条件，求实数m的取值范围。
解 （1）∵f(x)=2[1-cos(+2x)]-2cos2x-1=2sin2x-2cos2x+1=4sin
(2x-)+1. （3分）
又
∴f(x)max=5 f(x)min=3 （6分）
(2)
又 （12分）
1.（本小题满分8分）
（马鞍山学业水平测试）给定两个命题：
：对任意实数都有恒成立；
：关于的方程有实数根；
如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
解：对任意实数都有恒成立
；………………………………………………2分
关于的方程有实数根；……………4分
如果正确，且不正确，有；……………6分
如果正确，且不正确，有．…………7分
所以实数的取值范围为……………………………………8分
2.（岳野两校联考）（本小题满分12分）已知：， ：．
若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
【解法一】由：，解得，
∴“”： ． ……………………3分
由：
解得：
∴“”： ……………………6分
由“”是“”的必要而不充分条件可知：． ………………8分
　 解得．
∴满足条件的m的取值范围为． ……………………12分
【解法二】由：， 解得
由：, 解得：
由“”是“”的必要而不充分条件可知：
， 即：
（等号不同时成立）， 解得：
∴满足条件的m的取值范围为．