高一数学集合与函数知识点总结.doc

高中课程复习专题
高中课程复习专题——数学集合与函数专题
一、集合相关概念
1、集合中元素的特性
⑴ 元素的确定性：组成集合的元素必须是确定的。
⑵ 元素的互异性：集合中不得有重复的元素。
⑶ 元素的无序性：集合中元素的排列不遵循某种顺序，是随意排列的。
2、集合的表示方法
⑴ 列举法：将集合中元素一一列出。
⑵ 描述法：将集合中元素的公共属性用语言描述出来。
⑶ 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共属性。
⑷ 图示法：用韦恩图直观的画出集合中的元素。
3、集中特殊数集的表示方法
自然数集： N 正整数集：N+
整数集：Z 有理数集：Q
实数集：R 空集：Φ
二、集合间的基本关系——子集与真子集
1、自反性——任何一个集合都是它本身的子集：A⊆A。
2、如果A⊆B 且 A≠B，则，A是B的真子集。
3、传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C。
4、如果A⊆B且B⊆A，则A=B。
5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
6、有n 个元素的集合，有 2n 个子集，有2n-1 个真子集。
三、集合间的运算
运算
类型
交集
并集
补集

定
义
由所有属于集合A且属于集
合B的元素组成的集合称为
A和B的交集（A∩B）。
即A∩B={x∣x∈A且x∈B}
由所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合称为
A和B的并集（A∪B）。
即A∪B={x∣x∈A或x∈B}
设S是一个集合，A是S的一个子
集，由S中不属于A的元素组成的
集合称为S中A的补集（CSA）。
即CSA ={ x∣x∈S且xA }

图

示

性质
A∩A=A
A∩Φ=Φ
A∩B=B∩A
A∩B⊆A
A∩B⊆B
A∪A=A
A∪Φ=A
A∪B=B∪A
A⊆A∪B
B⊆A∪B
CSA∩ CSB= CS（A∪B）
CSA∪CSB= CS（A∩B）
A∪CSA=S
A∩CSA=Φ

四、函数的相关概念
1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。
★2、函数定义域的解题思路：
⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。
⑶ 对数式的真数必须大于0。
⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸ 指数为0时，底数不得为0。
⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数
⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵ 定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法
⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2 +b 的形式。
⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换
⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。
⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。
⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
7、分段函数
⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。
⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。
⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。
8、复合函数：如果（u∈M），u=g(x) （x∈A）,则，y=f[g(x)]=F(x) （x∈A），称为f、g的复合函数。

★五、函数的性质
1、函数的局部性质——单调性
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。
⑴ 函数区间单调性的判断思路
ⅰ 在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。
ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。
ⅲ 判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。
⑵ 复合函数的单调性
复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。
⑶ 注意事项
函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。
2、函数的整体性质——奇偶性
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(-x)，则f(x)就为偶函数；
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =-f(x)，则f(x)就为奇函数。
⑴ 奇函数和偶函数的性质
ⅰ 无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。
ⅱ 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
⑵ 函数奇偶性判断思路
ⅰ 先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。
ⅱ 确定f(x) 和f(-x)的关系：
若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数；
若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。
3、函数的最值问题
⑴ 对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2 +b的形式，得出函数的最大值或最小值。
⑵ 对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。
⑶ 关于二次函数在闭区间的最值问题
ⅰ 判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。
ⅱ 若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a<0时顶点为最大值；后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a>0时的最大值或a<0时的最小值。
ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性
若函数在[a，b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)；
若函数在[a，b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。

六、指数和对数
1、指数的性质
⑴ 根式：如果xn=a，则x叫做a的n次方根，记作 （n>1，n∈N+）
ⅰ 负数没有偶次方根。
ⅱ 0的任何次方根都是0。
ⅲ 当n为奇数时=a ，当n是偶数时= ∣a∣
⑵ 分数指数幂 = （a>0，m、n∈N+，n>1）
负指数幂 = （a>0，m、n∈N+，n>1）
0的正分数指数幂为0,0的负指数幂没有意义。
⑶ 实数指数幂的运算性质
ar • as = ar+s (a>0，r、s∈R)
(ar)s = ar•s (a>0，r、s∈R)
(ab)r = ar•br (a、b>0，r∈R)
2、对数的性质
⑴ 对数：如果ax=N (a>0，a≠1)，那么，x叫做以a为底N的对数，记住：logaN=x，其中a为底数，N为真数。
ⅰ 注意底数a的取值范围：a>0且a≠1。
ⅱ 常数对数：以10为底的对数 lgN；
自然对数：以e=2.71828…为底的对数lnN。
⑵ 对数的运算性质：如果a>0且a≠1，M>0，N>0
loga(M•N)=logaM + logaN
loga=logaM – logaN
logaMn = nlogaM (N∈R)
⑶ 对数的换底公式 logab = logcb / logca (a>0且a≠1, c>0且c≠1，b>0)
则 =

logab = 1/ logba

七、基本初等函数
1、指数函数：函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数

a 的取值
a>1
0<a<1

图

像

定义域
x∈R
x∈R
值域
y∈(0，+∞)
y∈(0，+∞)
单调性
全定义域单调递增
全定义域单调递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
过定点
（0,1）
（0,1）
注意：⑴ 由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：
a>1时，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1时，最小值f(b)，最大值f(a)。
⑵ 对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

2、对数函数：函数y=logax(a>0且a≠1))，叫做对数函数
a 的取值
a>1
0<a<1
图像

定义域
x∈(0，+∞)
x∈(0，+∞)
值域
y∈R
y∈R
单调性
全定义域单调递
全定义域单调递减
奇偶性
非奇非偶函数
非奇非偶函数
过定点
(1,0)
(1,0)
3、幂函数：函数y=xa (a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。
⑴ 所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。
⑵ a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。
⑶ a<0时，幂函数在(0，+∞)区间为减函数。
当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴；
当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。
幂函数总图见下页。

4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。
反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。
幂函数总图

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