江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷(解析版).doc

江苏省无锡市江阴市南菁高中2016届高考数学一模试卷(解析版)

2016年江苏省无锡市江阴市南菁高中高考数学一模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上.
1．若zl=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　　　　　．
2．在边长为1的正方形ABCD中，设，则=　　　　　　．
3．已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M=　　　　　　．
4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）=　　　　　　．

5．某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是　　　　　　．
6．某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为　　　　　　．

7．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α； ②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α； ④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．
其中真命题的序号是　　　　　　．（填上你认为正确的所有命题的序号）
8．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若，则=　　　　　　．
9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是　　　　　　．
10．在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值为　　　　　　．

11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=　　　　　　．
12．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　　　　　　．
13．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则=　　　　　　．
14．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是　　　　　　．

二、解答题：
15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数y=f（x+）为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α为锐角，f（+）=，求sin2α的值．
16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．

17．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于800cm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．

18．已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
19．（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x﹣a）2ex在x=2时取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
20．已知数列{an}中，a2=a（a为非零常数），其前n项和Sn满足：Sn=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=2，且am2﹣Sn=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足an+b≤p的最大项恰为第3p﹣2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．

2016年江苏省无锡市江阴市南菁高中高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卷相应的位置上.
1．若zl=a+2i，z2=3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值为　　．
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【专题】计算题．
【分析】把zl=a+2i，z2=3﹣4i代入，然后化简，复数分子、分母同乘分母的共轭复数，利用实部等于0，虚部不为0，求出a即可．
【解答】解： =
它是纯虚数，所以3a﹣8=0，且4a+6≠0，解得a=
故答案为：
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础题．

2．在边长为1的正方形ABCD中，设，则=　2　．
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【专题】计算题．
【分析】由题意可得||=1，||=， +=，可得=2||，从而得到答案．
【解答】解：∵边长为1的正方形ABCD中，设，
∴||=1，||=， +=．
∴==|﹣2|=2||=2，
故答案为 2．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．

3．已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M=　{﹣1，0，1，2}　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】由题设条件先求出命题P：x≥3或x≤﹣2．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知﹣2＜x＜3，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．
【解答】解：由命题p：x2﹣x≥6，得到命题P：x≥3或x≤﹣2；
∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．
再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥3或x≤﹣2是假命题．
故﹣2＜x＜3且x∈Z．
∴满足条件的x的集合为{﹣1，0，1，2}．
故答案为：{﹣1，0，1，2}．
【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．属基础题．

4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）=　0　．

【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，克的函数的解析式；再利用利用周期性求得要求的式子的值．
【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，
可得A=2， •=6﹣2，∴ω=．
再根据图象经过原点，可得φ=0，∴f（x）=2sinx．
由于f（x）的周期为=8，f （1）+f （2）+f （3）+…f （8）=0，
则f （1）+f （2）+f （3）+…f （2015）=251×0+f （1）+f （2）+f （3）+…f （7）
=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，利用周期性求函数的值，属于基础题．

5．某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A，B两人中至少有1人被录用的概率是　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】先利用排列组织知识求出A，B两人都不被录用的概率，再用间接法求出A，B两人中至少有1人被录用的概率．
【解答】解：某单位从4名应聘者A，B，C，D中招聘2人，
∵这4名应聘者被录用的机会均等，
∴A，B两人都不被录用的概率为=，
∴A，B两人中至少有1人被录用的概率p=1﹣=1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型及其计算公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

6．某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为　810　．

【考点】频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】先分别求出130～140分数段的频率与90～100分数段的频率，然后根据频数，求出这次抽考的总人数，最后根据频数=总数×频率求出（90，100]分数段的人数即可．
【解答】解：根据直方图，组距为10，在（130，140]内的，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．
因为（90，100]内的，所以频率为0.45，设该区间的人数为x，则由，得x=810，即（90，100]分数段的人数为810．
故答案为：810．
【点评】该题考查频率分布直方图的意义及应用图形解题的能力，频数=频率×样本容量，属于基础题．

7．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α； ②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α； ③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α； ④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．
其中真命题的序号是　②　．（填上你认为正确的所有命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】综合题．
【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α
【解答】解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；
对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确
对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错
对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错
故答案为②
【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．

8．设Sn是等差数列{an}的前n项和．若，则=　　．
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】由等差数列的求和公式表示出S3与S7，代入已知的等式左边，整理后得到a1=6d，将所求式子的分子分母分别利用等差数列的求和公式化简，将a1=6d代入，约分后即可求出值．
【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和， =，
且S3=3a1+3d，S7=7a1+21d，
∴=，
整理得：a1=6d，
则===．
故答案为：
【点评】此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是　5　．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】直线与圆．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．
【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．

10．在如图所示的流程图中，若输入n的值为11，则输出A的值为　　．

【考点】程序框图．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由程序框图，执行程序，写出运行结果，找出其规律，以4为周期，即可得到结论．
【解答】解：由程序框图，执行程序，运行结果如下：
A=2 I=1
A=﹣3 I=2
A=﹣ I=3
A= I=4
A=2 I=5
A=﹣3 I=6
A=﹣ I=7
A= I=8
A=2 I=9
A=﹣3 I=10
A=﹣ I=11
此时A=，退出循环
故答案为：．
【点评】本题考查循环结构，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=　50　．
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．

12．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　x2+=1　．
【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出B（﹣c，﹣ b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）
∴B（﹣c，﹣ b2），
代入椭圆方程可得，
∵1=b2+c2，
∴b2=，c2=，
∴x2+=1．
故答案为：x2+=1．
【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

13．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则=　　．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由已知函数f（x）满足的三个条件求出f（1），f（），f（），进而求出f（），f（）的函数值，又由函数f（x）为非减函数，求出f（）的值，即可得到答案．
【解答】解：∵f（0）=0，f（1﹣x）=1﹣f（x），
令x=1，则f（0）=1﹣f（1），解得f（1）=1，
令x=，则f（）=1﹣f（），解得：f（）=．
又∵，
∴f（）=f（1）=，f（）=f（）=，f（）=f（）=，
又由f（x）在[0，1]上为非减函数，
故f（）=，
∴f（）+f（）=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及对新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．

14．设函数f（x）=x2﹣ax+a+3，g（x）=ax﹣2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，则实数a的取值范围是　（7，+∞）　．
【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．
【专题】压轴题．
【分析】函数f（x）=x2﹣ax+a+3的图象恒过定点（1，4），g（x）=ax﹣2a的图象恒过定点（2，0），利用这两个定点，结合图象解决．
【解答】解：由f（x）=x2﹣ax+a+3知f（0）=a+3，f（1）=4，
又存在x0∈R，使得f（x0）＜0，
知△=a2﹣4（a+3）＞0即a＜﹣2或a＞6，
另g（x）=ax﹣2a中恒过（2，0），
故由函数的图象知：
①若a=0时，f（x）=x2﹣ax+a+3=x2+3恒大于0，显然不成立．
②若a＞0时，g（x0）＜0⇔x0＜2

③若a＜0时，g（x0）＜0⇔x0＞2
此时函数f（x）=x2﹣ax+a+3图象的对称轴x=，
故函数在区间（，+∞）上为增函数
又∵f（1）=4，
∴f（x0）＜0不成立．
故答案为：（7，+∞）．

【点评】充分挖掘题目中的隐含条件，结合图象法，可使问题的解决来得快捷．本题告诉我们，图解法对于解决存在性问题大有帮助．

二、解答题：
15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数y=f（x+）为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α为锐角，f（+）=，求sin2α的值．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；二倍角的正弦．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由题意可得，函数的周期为=π，求得ω=2．再根据函数y=f（x+）=sin（2x+π+φ）为偶函数，求得φ=，可得f（x）的解析式．
（2）由条件求得cos（α+）和sin（α+）的值，利用二倍角公式求得sin（2α+）和cos（2α+）的值，再根据sin2α=sin[（2α+）﹣]，利用两角差的正弦公式计算求得结果．
【解答】解：（1）由题意可得，函数的周期为=π，求得ω=2．
再根据函数y=f（x+）=sin（2x+π+φ）为偶函数，可得π+φ=kπ+，k∈z，
即 φ=kπ﹣，k∈z，结合0＜φ＜π，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x．
（2）∵α为锐角，f（+）=cos（α+）=，∴sin（α+）=．
∴sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=，cos（2α+）=2﹣1=﹣，
∴sin2α=sin[（2α+）﹣]=sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin
=﹣（﹣）×=．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的周期性，属于中档题

16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．
（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（1）利用等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
【解答】证明：（1）在，∴A1C=1，
在△A1BC中，BC=1，A1C=1，，∴，∴∠A1CB=90°，∴BC⊥A1C，
又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1，
∴BC⊥平面ACC1A1，
∵BC⊂平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ACC1A1．
（2）连接A1C交AC1于O，连接DO，
则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，
∵OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC．

【点评】熟练掌握等边三角形的判定、勾股定理的逆定理、及线面、面面垂直与平行的判定定理和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理是证明问题的关键．

17．某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于800cm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】计算题；应用题；不等式的解法及应用．
【分析】设一个矩形长AF=x（dm），则另一矩形长为8﹣x（dm）．设圆半径为r（dm），则﹣1+=8﹣x，化简整理，令9﹣x=t，得到2=（t+）﹣，再由基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件．
【解答】解：设一个矩形长AF=x（dm），则另一矩形长为8﹣x（dm）．
设圆半径为r（dm），则﹣1+=8﹣x，
r2﹣x2=（9﹣x）2+r2﹣﹣2（9﹣x），
即2（9﹣x）=（9﹣x）2+x2﹣．
令9﹣x=t，得2t=t2+（9﹣t）2﹣=t2+20﹣t，
得2=（t+）﹣≥﹣=，
即r2≥+，
即有r，
此时t=4即有x=5，y=3（单位：dm）．
则不同意他的观点．
【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的运用，根据题意得到等式，通过换元化简整理是解题的关键，考查运算能能力，属于中档题．

18．已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．
【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．
∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．
因此a=2，c=．
故椭圆C的离心率e=；
（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．
∵OA⊥OB，
∴，即tx0+2y0=0，解得．
当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．
故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为，
即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．
圆心O到直线AB的距离d=．
又，t=．
故=．
此时直线AB与圆x2+y2=2相切．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．

19．（2014•淮安模拟）已知函数f（x）=（x﹣a）2ex在x=2时取得极小值．
（1）求实数a的值；
（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．
【解答】解：（1）f'（x）=ex（x﹣a）（x﹣a+2），
由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．
当a=2时，f'（x）=exx（x﹣2），
易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；
当a=4时，f'（x）=ex（x﹣2）（x﹣4），
易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的a=2．
（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．
①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n﹣2）2en=e4n．
设，则，
所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．
由于g（4）=e4，即方程（n﹣2）2en=e4n有唯一解为n=4．
②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．
（Ⅰ）n＞m＞2时，
，
由①可知不存在满足条件的m，n．
（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，
，
两式相除得m（m﹣2）2em=n（n﹣2）2en．
设h（x）=x（x﹣2）2ex（0＜x＜2），
则h'（x）=（x3﹣x2﹣4x+4）ex
=（x+2）（x﹣1）（x﹣2）ex，
h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，
由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，
此时（m﹣2）2em＜4e＜e4n，矛盾．
综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．
【点评】本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．

20．已知数列{an}中，a2=a（a为非零常数），其前n项和Sn满足：Sn=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=2，且am2﹣Sn=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{an}中满足an+b≤p的最大项恰为第3p﹣2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用数列的项与前n项和的关系，将条件转化为数列的项之间的关系，判定数列为特征数列，再求通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出m、n满足的关系，分析求解即可；
（3）根据条件an+b≤p求出n满足的条件，再根据满足an+b≤p的最大项始终为3P﹣2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可．
【解答】解：（1）由已知，得a1=S1==0，∴Sn=，
则有Sn+1=，
∴2（Sn+1﹣Sn）=（n+1）an+1﹣nan，即（n﹣1）an+1=nan n∈N*，
∴nan+2=（n+1）an+1，
两式相加得，2an+1=an+2+an n∈N*，
即an+2﹣an+1=an+1﹣an n∈N*，
故数列{an}是等差数列．
又a1=0，a2=a，∴an=（n﹣1）a．
（2）若a=2，则an=2（n﹣1），∴Sn=n（n﹣1）．
由，得n2﹣n+11=（m﹣1）2，即4（m﹣1）2﹣（2n﹣1）2=43，
∴（2m+2n﹣3）（2m﹣2n﹣1）=43．
∵43是质数，2m+2n﹣3＞2m﹣2n﹣1，2m+2n﹣3＞0，
∴，解得m=12，n=11．
（3）由an+b≤p，得a（n﹣1）+b≤p．
若a＜0，则n≥+1，不合题意，舍去；
若a＞0，则n≤+1．∵不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p﹣2，
∴3p﹣2≤+1＜3p﹣1，
即2a﹣b＜（3a﹣1）p≤3a﹣b，对任意正整数p都成立．
∴3a﹣1=0，解得a=，
此时，﹣b＜0≤1﹣b，解得＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，＜b≤1．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，数列的项与前n项和之间的关系及数列的综合问题．

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