资源描述
反比例函数
26.1知识点1 反比例函数的定义
一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①（），
②（），
③（定值）（）；
⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
26.4知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例函数
（）
的
符号
图像
性质
①的取值范围是，y的取值范围是
②当时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
①的取值范围是，y的取值范围是
②当时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性，是有反比例函数系数k的符号决定的，反过来，由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限，则可知。
☆反比例函数（）中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足，
则
☆ 反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。
练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1、下列函数中 y是x的反比例函数的是（ ）
A B xy=8 C D
2、反比例函数y＝图象经过点（2，3），则n的值是（ ）．
A、－2 B、－1 C、0 D、1
3、函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）。
4、、若点A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,－3)在双曲线上，则（ ）
A
B
C
y
x
O
D
A、x1>x2>x3 B、x1>x3>x2 C、x3>x2>x1 D、x3>x1>x2
5、如图4，A、C是函数y= 的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，
垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，
Rt△COD的面积为S2，则（ ）
图4
A、S1＞S2； B、S1＜S2； C、S1 =S2； D、S1和S2的大小关系不能确定
6、在反比例函数的图象的每一条曲线上，的增大而增大，则的值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7、如图2，正比例函数y=x与反比例y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，则四边形ABCD的面积为（ ）
A、1 B、 C、2 D、
8、已知反比例函数y＝的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是（ ）．
A、m＜0 B、m＞0 C、m＜ D、m＞
9、一次函数y＝kx－k，y随x的增大而减小，那么反比例函数y＝满足（ ）．
A、当x＞0时，y＞0 B、在每个象限内，y随x的增大而减小
C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限
10、若反比例函数 的图象经过点（a，-a），则a的值为（ ）
A、2； B、±2； C、-2； D、±4
二、填空题（每小题4分，共40分）
11、已知正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=(k2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是 ．
12、函数是反比例函数，则的值是
13、正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），
则k＝ ．
14、反比例函数y＝（m＋2）xm－10的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 ．
15、在反比例函数的图象上有两点和，若时，，
则的取值范围是 ．
16、如图，点M是反比例函数y＝（a≠0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影＝5，则此反比例函数解析式为 ．
x
y
A
B
O
17题图
17、如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则 ．
18、点在反比例函数(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将 点先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点.则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是___________．
19. 如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线交于A（x1，y1），
B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝___________．
20、如图5，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，
BC∥轴，AC∥轴，则△ABC的面积=___________
O
B
C
A
图5
三、解答题（共50分）
21、（8分）已知 若与成正比例关系 ，与x成反比例关系 ，且当X=-1时，ｙ＝3．由ｘ＝1时，ｙ＝－5时， 求ｙ与ｘ的函数关系式？
22、（10分）如图所示：已知直线ｙ＝与双曲线ｙ＝交于Ａ Ｂ两点，且点Ａ的横坐标为4
⑴ 求ｋ的值
⑵ 若双曲线ｙ＝上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积
x
y
A
B
O
23、（8分）在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值
24、（24分）如图， 已知反比例函数y＝的图象与一次函
数y＝ax＋b的图象交于M（2，m）和N（－1，－4）两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．
（4）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B
11、(2，1)
12、-1 , 13、-5
14、-3 , 15、K＜-1
16、y= , 17、4
18、y= , 19、4
20、4 , 21、y=-x2-
22、k=8, △AOC的面积=15
23、k=6,
24、(1) y=, y=2x-2
(2) =3, (3)在， (4)、x＜-1 或 0＜ x ＜2
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