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第二章 一元二次方程
教学目标
1、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
2、发展学生的独立思考能力和创新精神．
3、本节主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．
重点难点
重点：运用知识、技能解决问题；难点：解题分析能力的提高．
教学过程
一、知识网络图表
二、知识要点归纳
（一）一元二次方程
1、一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： 。
它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零； 其中
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法 ：
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
是b的平方根，当时，，，
当b<0时，方程没有实数根。
既：左边是一个完全平方式，右边是一个大于等于0的数
例1： 降次—直接开平方法（将被开放式看作一个整体）
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式：，
把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
步骤：（1）二次项系数化为1
（2）在方程左边同时加上并减去一次项系数一半的平方
（3）化简整理，再用直接开平方法解方程
例2:
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
例3：
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，
是解一元二次方程最常用的方法。
方法：将式子左边进行因式分解，右边为0
例4：
5、十字相乘法（特殊的因式分解）
方法：形如的式子，可化为
例5：
点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，
三、一元二次方程根的判别式
1、根的判别式：一元二次方程中，
叫做一元二次方程的根的判别式，
通常用“”来表示，即
2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）：
△＝b²－4ac＞0 ＜====＞ 方程有两个不相等的实数根，即：x1，x2
△＝b²－4ac＝0 ＜====＞ 方程有两个相等的实数根，即：x1＝x2
△＝b²－4ac＜0 ＜====＞ 方程没有实数根。
四、一元二次方程根与系数的关系 ：
如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
或者说：当二次项系数是1时：
两根之和等于方程的一次项系数的相反数；两根之积等于常数项。
五、典例讲解;
例1：解下列方程．
（1）2（x+3）2=x（x+3） （2）x2-2x+2=0
（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0
（1）2（x+3）2=x（x+3）
解： 2（x+3）2-x（x+3）=0
（x+3）[2（x+3）-x]=0
（x+3）（x+6）=0
x1=-3，x2=-6．
（2）x2-2x+2=0
解： 这里a=1，b=-2，c=2
⊿=b2-4ac=（-2）2-4×1×2=12>0
x==
x1=+，x2=-
解：（3）x（x-8）=0 x1=0，x2=8．
（4）配方，得
解： x2+12x+32+4=0+4
（x+6）2=4 x+6=2或x+6=-2 x2=-4，x2=-8．
六、巩固训练
巩固概念
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公式法，
求根公式是______________．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，
当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；
当_______时，它没有实数根．
一．选择题
1.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，
那么p，q的值分别是（ ）
A.－3，2 B.3，-2 C.2，－3 D.2，3
2.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元.
下列所列方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
3.一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于（ ）
A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
4.一元二次方程的解是 （ ）．
A．， B．，
C．， D．，
5.一元二次方程的两根之积是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
6.方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是（ ）
A. 1 – B. C. –1+ D.
7.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
8.一元二次方程有两个不相等的实数根，
则满足的条件是( )
Ａ．＝0 Ｂ．＞0
Ｃ．＜0 Ｄ．≥0
9. 一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A. 3 B． C． D．
10. 方程的两根为（ ）
A.6和-1 B.-6和1 C.-2和-3 D.2和3
11.2008年常德GDP为1050亿元，比上年增长13.2%，提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中提出“到2010年全年GDP过千亿元”的目标.如果按此增长速度，那么我市今年的GDP为（ ）
A．1050×(1+13.2%)2 B．1050×(1－13.2%)2
C．1050×(13.2%)2 D．1050×(1+13.2%)
12．方程(x－5)( x－6)＝x－5的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14.近年来，全国房价不断上涨，某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为，则关于的方程为( )
A． B．
C． D．
15.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，
且，则的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
二.填空题
1.已知，则 .
2. 某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是
．
3. 某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，
若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．
4.如图,在宽为,长为的矩形地面上修建两条宽都是的道路,余下部
分种植花草.那么,种植花草的面积为 .
5. 已知x = 1是一元二次方程的一个根，则 的
值为 ．
6.设，是一元二次方程的两个实数根，
则的值为__________________．
7.方程的解是 ．
8.已知x=2是一元二次方程（的一个根，
则的值是 。
9.方程x+1＝2的解是 ．
10.方程 = x 的根是______ _____.
11. 已知三角形两边长是方程的两个跟，
则三角形的第三边的取值范围是 。
12. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 ．
13.已知关于x的一元二次方程有实数根，
则m的取值范围是 ．
14．关于的一元二次方程的根是 ．
15．代数式3x2－4x－5的值为7，则x2－ x－5的值为___________．
16. 方程的解为 .
三.解答题
1.解方程：─ ─ 1 = 0
2.已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
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