湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题.doc

科目：数学（理科）
（试题卷）

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名
准考证号
绝密★启用前
高考湘军

2019年长沙市高考模拟试卷（一）
数 学（理科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是复数，i是虚数单位， 在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么
A． B． C． D．
2．已知不等式的解集为，是二项式的展开式的常数项，那么
A． B． C． D．
3．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和
A． B． C． D．
正视图
侧视图
俯视图
4．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为
A．6和 B．6+4和
输出s
开始
i=i+1
i=1
a=100- (i MOD 100)
s=s+a
S=0
i >200?
结束
是
否
C．6+4和 D．4(+)和
5．执行下列的程序框图，输出的

A．9900 B．10100 C．5050 D．4950
6．与抛物线相切倾斜角为的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为
A．4 B．2 C．2 D．
7．已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线 成。那么B点轨迹是
A.．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．两直线
8．使得函数的值域为的实数对
有( )对
A．1 B．2 C．3 D．无数
二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）
9．表示函数的导数，在区间上，随机取值,的概率为 ；
10．已知向量，，设集合，，当时，的取值范围是 ；
11．计算：_____________；
12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ；
A
B
C
D
P
M
E
O1
O2
13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周上，此时P点的极坐标为 ；
14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，
⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直
线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，
EA=1，AMB=30o，那么⊙O2的半径为 ；

15．(不等式4-5)已知，那么 的最小值为 ；
16．方程+=1({1，2，3，4，…，2019})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．函数在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点,B.C为图像与轴的交点,且为正三角形.
(1)若,求函数的值域;
(2)若,且,求的值.

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二，在二面角中.
(1) 求D、C之间的距离；
(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;
(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。
B
C
D
A
B
D
C
图一
图二
A

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:，。当市场价格称为市场平衡价格。
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20．设命题p:函数在上是增函数；命题q:方程有两个不相等的负实数根。求使得pq是真命题的实数对为坐标的点的轨迹图形及其面积。

21．已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若
,.
(1)求点P的轨迹方程；
x
O
y
A
B
Q
(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

22．(1)已知,求证：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：
+++…+

2019年长沙市高考数学模拟试卷 （一）
数学（理科）参考答案及评分标准
一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
B
C
A
B
二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)
9. 10. (-8，1] 11. 12.
13. (2，) 14. 3 15.
16. ； +=1和+=1，
三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解(1)由已知得:
又为正三角形,且高为,则BC=4.所以函数的最小正周期为8,即,.
因为,所以.
函数的值域为………………………6分
(2)因为,有
由x0
所以，
故

………………………………………………12分
18. 解: 依题意，ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30o的二面角, DBY=30o，又AB=BD=2， A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
A
B
D
C
x
y
z
(1)|CD|==……… 5分
(2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=；…………………8分
(3) 设=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，则 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=， ……………10分
此时=(，-，0)，
而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，
即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分
19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln（16≤x≤24 ，t>0）。
t=-x+ ln（16≤x≤24）。 …………………3分
t′=--<0，t是x的减函数。
tmin=-24+ ln=+ln=+ ln; ……………………5分
tmax=-16+ ln=+ ln, 值域为[+ ln，+ ln] ………7分
（2）由(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）。
而x=20时，t=-20 + ln=1.5(元/千克) …………………9分
t是x的减函数。欲使x20，必须t1.5(元/千克)
要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分
20. 解： f(x) =，p真 f ′(x)= >0
对于x(0，+)成立a-b+5>0。
a
b
o
q真方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根…………4分
B
P
A
pq是真命题p真且q真
实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8分
解：得a1= -2，a2= 6， 解得a= -3;
(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：
S=+=+ …………11分
x
O
y
A
B
Q
=(a2+3a)|+ a3|=………………………………13分
21. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|， m0，m=-4t2，
Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，
=(-4t2-，0)，2=(-，2 t)， +=2。
(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，
x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。
(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2
=2=2 ……………10分
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=
存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。……13分
22. 解： (1)证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)
那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；
f(a)≥f()=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b，………3分
得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，
g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)≥g()=-1。
alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分
(2)证明：n=1时，++=1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1时，结论成立。
设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k)时
+++…+≥-k.
那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，
令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：
++…+≥-k.……………… 8分
+++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).
+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)
设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，
由归纳假设：++…+≥-k.
++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s)
………(2)………………10分
+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：
++…+ ≥-ks+ ss ……(3)
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：
++…++…++…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss
而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。
++…++…+≥-(k+1)。
n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。…………………………13分