湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题.doc

科目：数学（理科）
（试题卷）

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。

姓 名
准考证号
绝密★启用前
高考湘军

2019年长沙市高考模拟试卷（一）
数 学（理科）

长沙市教科院组织名优教师联合命制

满分：150分 时量：120分钟

说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知是复数，i是虚数单位， 在复平面中对应的点为P，若P对应的复数是模等于2的负实数，那么
A． B． C． D．
2．已知不等式的解集为，是二项式的展开式的常数项，那么
A． B． C． D．
3．以双曲线的离心率为首项，以函数的零点为公比的等比数列的前项的和
A． B． C． D．
正视图
侧视图
俯视图
4．已知几何体M的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为
A．6和 B．6+4和
输出s
开始
i=i+1
i=1
a=100- (i MOD 100)
s=s+a
S=0
i >200?
结束
是
否
C．6+4和 D．4(+)和
5．执行下列的程序框图，输出的

A．9900 B．10100 C．5050 D．4950
6．与抛物线相切倾斜角为的直线L与x轴和y轴的交点分别是A和B，那么过A、B两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为
A．4 B．2 C．2 D．
7．已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线 成。那么B点轨迹是
A.．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．两直线
8．使得函数的值域为的实数对
有( )对
A．1 B．2 C．3 D．无数
二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）
9．表示函数的导数，在区间上，随机取值,的概率为 ；
10．已知向量，，设集合，，当时，的取值范围是 ；
11．计算：_____________；
12．从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为 ；
A
B
C
D
P
M
E
O1
O2
13．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P自极点出发作直线运动到达圆：的圆心位置后顺时针方向旋转60o后直线方向到达圆周上，此时P点的极坐标为 ；
14．（几何证明4-1）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，
⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直
线CD于点E，M是⊙O2上的一点，若PE=2，
EA=1，AMB=30o，那么⊙O2的半径为 ；

15．(不等式4-5)已知，那么 的最小值为 ；
16．方程+=1({1，2，3，4，…，2019})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 .

三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．函数在一个周期内的图像如图所示,A为图像的最高点B.C为图像与轴的交点,且为正三角形.
(1)若,求函数的值域;
(2)若,且,求的值.

18．如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二，在二面角中.
(1) 求D、C之间的距离；
(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;
(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。
B
C
D
A
B
D
C
图一
图二
A

19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，这种食品市场日供应量万千克与市场日需量万千克近似地满足关系:，。当市场价格称为市场平衡价格。
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

20．设命题p:函数在上是增函数；命题q:方程有两个不相等的负实数根。求使得pq是真命题的实数对为坐标的点的轨迹图形及其面积。

21．已知，点B是轴上的动点，过B作AB的垂线交轴于点Q，若
,.
(1)求点P的轨迹方程；
x
O
y
A
B
Q
(2)是否存在定直线，以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

22．(1)已知,求证：;
(2)已知，>0(i=1,2,3,…,3n)，求证：
+++…+

2019年长沙市高考数学模拟试卷 （一）
数学（理科）参考答案及评分标准
一．选择题：(本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
B
C
A
B
二．填空题：(每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上)
9. 10. (-8，1] 11. 12.
13. (2，) 14. 3 15.
16. ； +=1和+=1，
三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.解(1)由已知得:

又为正三角形,且高为,则BC=4.所以函数的最小正周期为8,即,.
因为,所以.
函数的值域为………………………6分
(2)因为,有
由x0
所以，
故

………………………………………………12分
18. 解: 依题意，ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30o的二面角, DBY=30o，又AB=BD=2， A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
A
B
D
C
x
y
z
(1)|CD|==……… 5分
(2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=；…………………8分
(3) 设=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，则 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)=0 得t=， ……………10分
此时=(，-，0)，
而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，
即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。…………………12分
19. 解：（1）由P=Q得2(x + 4t -14 )= 24+8ln（16≤x≤24 ，t>0）。
t=-x+ ln（16≤x≤24）。 …………………3分
t′=--<0，t是x的减函数。
tmin=-24+ ln=+ln=+ ln; ……………………5分
tmax=-16+ ln=+ ln, 值域为[+ ln，+ ln] ………7分
（2）由(1) t=-x+ ln（16≤x≤24）。
而x=20时，t=-20 + ln=1.5(元/千克) …………………9分
t是x的减函数。欲使x20，必须t1.5(元/千克)
要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。……12分
20. 解： f(x) =，p真 f ′(x)= >0
对于x(0，+)成立a-b+5>0。
a
b
o
q真方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根…………4分
B
P
A
pq是真命题p真且q真
实数对(a，b)为坐标的点的轨迹图形如图(阴影部分, 不包括边界。) ……………8分
解：得a1= -2，a2= 6， 解得a= -3;
(a，b)为坐标的点的轨迹图形的面积：
S=+=+ …………11分
x
O
y
A
B
Q
=(a2+3a)|+ a3|=………………………………13分
21. 解: (1)设B(0，t)，设Q(m，0)，t2=|m|， m0，m=-4t2，
Q(-4t2，0)，设P(x，y)，则=(x-，y)，
=(-4t2-，0)，2=(-，2 t)， +=2。
(x-，y)+ (-4t2-，0)= (-，2 t)，
x=4t2，y=2 t， y2=x，此即点P的轨迹方程；…………………6分。
(2)由(1)，点P的轨迹方程是y2=x；设P(y2，y)，M (4，0) ，则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(，), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:
L=2
=2=2 ……………10分
若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-=0, 即a=时，L=
存在定直线x=，以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值。……13分
22. 解： (1)证明： a+b+c=1，a、b、c∈(0，+∞)，
alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)=f(a)
那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b)，当a∈(0，)时f ′ (a)<0，当a∈(，1)时f ′ (a)>0，
f(a)在(0，]上递减，在[，1) 上递增；
f(a)≥f()=(1-b) log3+ blog3b，记g(b)= (1-b) log3+ blog3b，………3分
得：g′(b)= log3b-log3，当b∈(0，)时g′(b) <0，当b∈(，1)时，g′(b) >0，
g(b)在(0，)递减，在(，1)上递增； g(b)≥g()=-1。
alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。……………………5分
(2)证明：n=1时，++1，>0(i=1,2,3)，由(1)知
++≥-1成立，即n=1时，结论成立。
设n=k时结论成立，即++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k)时
+++…+≥-k.
那么，n=k+1时,若++…+++…+=1，>0(i=1,2,3,…,3k+1)时，
令+…+=t，则++…+=1，由归纳假设：
++…+≥-k.……………… 8分
+++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t).
+++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1)
设+…+=s，则+…+=t-s，++…+=1，
由归纳假设：++…+≥-k.
++…+≥-kt-s)+ (t-s)(t-s)
………(2)………………10分
+…+=s，++…+=1；由归纳假设同理可得：
++…+ ≥-ks+ ss ……(3)
将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得：
++…++…++…+
≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss
而(1-t)+(t-s)+s=1，(1-t)>0，(t-s) >0，s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。
-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。
++…++…+≥-(k+1)。
n=k+1时，题设结论成立。综上所述，题设结论得证。…………………………13分