高考数学函数中存在性和任意性问题分类解析.doc

函数中存在性问题分类解析
.1.，，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即.
一 两个函数之间有如下恒成立或存在性命题及其等价命题：
1对于,使得函数f(x),g(x)满足f(x1)<g(x2)恒成立.
等价于：时f(x)的最大值小于时g(x)的最小值
2对于，使得函数f(x),g(x)满足f(x1)<g(x2).
等价于：时f(x)的最大值小于时g(x)的最大值
3对于，使得函数f(x),g(x)满足f(x1)<g(x2)成立.
等价于：时f(x)的最小值小于时g(x)的最小值
4对于，使得函数f(x),g(x)满足f(x1)<g(x2),成立.
等价于：时f(x)的最小值小于时g(x)的最大值。

例1 设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若存在f＝0，f(logat)>0，则t的取值范围是________．
【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f(x)在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f(x)的草图．
当t>1时，因为0<a<1，所以logat<0.由图象可得－<logat<0，解得1<t<；
当0<t<1时，因为0<a<1，所以logat>0.由图象可得<logat，解得0<t<，
综上，t∈∪(0，)．

例2(2011江苏)设，.①若，使成立，则实数的取值范围为＿＿＿;②若，，使得，则实数的取值范围为＿＿＿
解 ①依题意实数的取值范围就是函数的值域.设，则问题转化为求函数的值域，由均值不等式得，，故实数的取值范围是.
②依题意实数的取值范围就是使得函数的值域是函数的值域的子集的实数的取值范围.由①知，易求得函数的值域，则当且仅当即，故实数的取值范围是.
3.已知是在闭区间的上连续函，则对使得，等价于.
3、设，且（e为自然对数的底数）
(I) 求 p 与 q 的关系；

(II)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.
3、解：(I) 由题意得 而，所以
(II) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是减函数
∴ x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e
即 g(x) Î [2,2e] ………… 10分
① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合题意。
② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0
∴ f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x
右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增
∴ f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。
③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数
∴ 本命题 Û f (x)max > g(x)min = 2，x Î [1,e]
Þ f (x)max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2
Þ p > 综上，p 的取值范围是 (,+¥)
4 (1)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2x，h(x)＝x3＋x的零点存在依次为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为________．
(2)设定义在R上的函数f(x)＝若存在关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0有5个不同实数解，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)令f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0得：2x＝－x，log2x＝－x，x3＝－x，
分别作出y＝2x，y＝log2x，y＝x3，y＝－x的图象如下：

可知a<0，b>0，c＝0，即a<c<b.
(2)设t＝f(x)，则原方程即化为t2＋at＋b＝0，
由t＝f(x)图象如下：

可得：当t＝1时，x有三解，当t>0且t≠1时，x有两解．
又t1＋t2＝－a，所以当t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，
即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．

5 设m∈N，若函数f(x)＝2x－m－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为________．
【解析】 原命题等价为f(x)＝2x－m－m＋10＝0有整根，
即方程m＝有整数解．因为m∈N，所以2x＋10≥0，且10－x≥0，
所以x∈[－5,10]，且x∈Z，又∈Z，
当x＝－5时，m＝0；当x＝1时，m＝3；当x＝6时，m＝(舍去)；
当x＝9时，m＝14；当x＝10时，m＝30.
6.已知 是否存在实数a，b，c，使 f(x)同时满足下列三个条件：
①定义域为R上的奇函数；
②在[1，+∞)上是增函数；
③最大值为1.
若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由
分析：先“脱”去对数符号“log”，利用①中的奇函数的条件求出a，b，c所满足的一些条件或值，然后利用条件②进一步确定出待求系数所应满足的条件，最后利用条件③求出满足条件的值或说明其不存在
解析：假设满足条件的a，b，c存在，则
f(x) 是定义域R上的奇函数，于是
f(0)=0，
从而f(0)=log3b=0，于是b=1.
又因为f(-x)=-f(x)，
故
从而又因为f(-x)=-f(x)，，

于是(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2
所以a2=c2，即a=c或a=-c.
当a=c时，f(x)=0，不合题意，故舍去
从而a=-c
于是 在[1，+∞)上是增函数．令

因为 在[1，+∞)与(-∞，-1]上是增函数，且当x＞1时， ＞0，当x＜-1时， ＜0，故仅当c＞0时，f(x)与g(x)的单调性相同，从而当x=-1时， 在(-∞，-1]取得最大值-2，此时由f(x)的最大值为1知，g(x)的最大值为3，
于是 1-2c/c-2=3 解得c=1，从而a=-1，b=1，满足题设条件的a，b，c存在，且它们的值分别为-1,1,1.
7、已知函数（且）。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）是否存在实数，使得函数满足：对于任意，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。
7、解：（1）由得，当时，；当时，，故当时，函数的定义域是；当时，函数的定义域是。
令，则，，当时，是减函数，故有，即，所以函数的值域为。
（2）若存在实数，使得对于任意，都有，则是定义域的子集，由（1）得不满足条件；因而只能有，且，即，令，由（1）知，由得（舍去），或，即，解得，由是，只须对任意，恒成立，而对任意，由得，因而只要，解得。综上，存在，使得对于任意，都有。