高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解.doc

高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解
1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•,
(Ⅰ)求数列的通项公式; 
(Ⅱ)数列满足,
①求数列的通项公式; 
②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)设数列的公差为d,则
由•,,得, 
计算得出 或(舍去). 
; 
(Ⅱ)①,, 
, 
, 
即,,,,
累加得:, 

也符合上式. 
故,.         
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 
则
又,,, 
,即, 
化简得:
当,即时,,(舍去); 
当,即时,,符合题意. 
存在正整数,,使得,,成等差数列.
解析
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; 
(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式; 
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.
2.在数列中,已知,
(1)求证:数列为等比数列; 
(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.
解:(1)证明:, 

又, 
,, 
故, 
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道,,

若为数列中的最小项,则对有恒成立, 
即对恒成立
当时,有; 
当时,有⇒; 
当时,恒成立, 
对恒成立. 
令,则对恒成立, 
在时为单调递增数列. 
,即
综上,
解析
(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; 
(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 
当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.
3.在数列 中,已知 , , ,设 为 的前n项和. 
(1)求证:数列 是等差数列; 
(2)求 ; 
(3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
(1)证明:由,, 
得到, 
则
又, 
, 
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; 
(2)由(1)可以推知:, 
所以,, 
所以,① 
,② 
①-②,得 
, 
, 
, 
所以
(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 
则, 
即
因为当时,, 
所以数列单调递减. 
又, 
所以且q至少为2, 
所以,
①当时,, 
又, 
所以,等式不成立. 
②当时,, 
所以
所以, 
所以,(数列单调递减,解唯一确定). 
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; 
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; 
(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.
4.已知n为正整数,数列 满足 , ,设数列 满足 
(1)求证:数列 为等比数列; 
(2)若数列 是等差数列,求实数t的值; 
(3)若数列 是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值.
(1)证明:数列满足,, 
•,•, 
数列为等比数列,其首项为,公比为2; 
(2)解:由(1)可得:•, 
,
数列是等差数列,, 
, 
计算得出或12. 
时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列. 
时,,,不是关于n的一次函数, 
因此数列不是等差数列. 
综上可得; 
(3)解:由(2)得, 
对任意的,均存在,使得成立, 
即有••, 
化简可得, 
当,,,对任意的,符合题意; 
当,,当时,, 
对任意的,不符合题意. 
综上可得,当,,对任意的,均存在, 
使得成立.
解析
(1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证; 
(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; 
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.
5.已知常数 ,数列 满足 ,  
(1)若 , , 
①求 的值; 
②求数列 的前n项和 ; 
(2)若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,求 的取值范围.
解:(1)①, 
, 
, 
, 
②,, 
当时,, 
当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列, 
数列的前n项和,, 
显然当时,上式也成立, 
; 
(2), 
,即单调递增. 
(i)当时,有,于是, 
,
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 
即
,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 
当时,有.此时
于是当时,.从而
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 
同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾. 
故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 
当时,有
于是

此时数列中存在三项,,依次成等差数列. 
综上可得:
解析
(1)①,可得,同理可得,
②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出
(2),可得,即单调递增. 
(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 
当时,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在. 
当时,有.于是.即可得出结论.
6.已知两个无穷数列 和 的前n项和分别为 , , , ,对任意的 ,都有  
(1)求数列 的通项公式; 
(2)若 为等差数列,对任意的 ,都有 .证明: ; 
(3)若 为等比数列, , ,求满足 的n值.
解:(1)由,得, 
即,所以
由,,可以知道
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. 
故的通项公式为,
(2)证法一:设数列的公差为d, 
则, 
由(1)知,
因为,所以, 
即恒成立, 
所以,即, 
又由,得, 
所以
所以,得证. 
证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得, 
则,即, 
因为,所以
所以, 
因为,所以存在,当时,恒成立. 
这与“对任意的,都有”矛盾! 
所以,得证. 
(3)由(1)知,.因为为等比数列, 
且,, 
所以是以1为首项,3为公比的等比数列. 
所以,
则, 
因为,所以,所以
而,所以,即
当,2时,式成立; 
当时,设, 
则, 
所以, 
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求; 
(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证; 
方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证; 
(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
7.已知数列 , 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列  
(1)设数列 , 分别为等差、等比数列,若 , , ,求 ; 
(2)设 的首项为1,各项为正整数, ,若新数列 是等差数列,求数列  的前n项和 ; 
(3)设 是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列 ,使得对任意的 ,在 与 之间数列 的项数总是 若存在,请给出一个满足题意的等差数列 ;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 
根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增, 
所以,, 
所以,, 
所以, 
因为,,,

(2)设等差数列的公差为d,又,且, 
所以,所以
因为是中的项,所以设,即
当时,计算得出,不满足各项为正整数; 
当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以; 
当时,,此时,只需取, 
由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解, 
所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以 
综上所述,数列的前n项和,或 
(3)存在等差数列,只需首项,公差 
下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有, 
即成立. 
由, 

所以首项,公差的等差数列符合题意
解析
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出. 
(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出. 
(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.
8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”.
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算:.
解:(1)根据题意可得,
即,两边平方可得,
计算得出;
(2)证明:由已知,设,
因且,
故对任意的,,都有,

,,
因,
,,,,,
,
,
,

即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;
(3)当时,
当时,,

同理,,
因,
,
即,
所以或  
所以  或  
因为,且,所以,从而,
所以,

.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;
(3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.

9.已知首项为1的正项数列{an}满足+＜an+1an，n∈N*.
（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；
（2）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；
（3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差.
解：（1）由题意，an＜an+1＜2an，
∴＜x＜3,
＜x＜2x，
∴x∈（2，3）.
（2）∵an＜an+1＜2an，且数列{an}是公比为q的等比数列，a1=1，
∴qn-1＜qn＜2qn-1，
∴qn-1(q-)＞0，qn-1(q-2)＜0，
∴q∈（，1）.
∵Sn＜Sn+1＜2Sn，当q=1时，S2=2S1，不满足题意，
当q≠1时，＜＜2•，
∴①当q∈（，1）时，
，即，
∴q∈（，1）.
②当q∈（1，2）时，，即，无解，
∴q∈（，1）.
（3）设数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差为d.
∵an＜an+1＜2an，且数列a1，a2，…，an成等差数列，
∴a1=1，
∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1，
∴，
∴d∈（-，1）.
∵a1+a2+…+ak=120，
∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，
∴d=，
∴∈（-，1），
∴k∈（15，239），k∈N*，
∴k的最小值为16，此时公差d=.
解析
【解题方法提示】
分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得an＜an+1＜2an，由此可得到关于a2，a3，a4的大小关系，据此列式可解得x的取值范围；
根据an＜an+1＜2an，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合Sn＜Sn+1＜2Sn以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取值范围；
设公差为d，根据an＜an+1＜2an，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d=，由此可解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.