资源描述
北师大版九年级下册数学期末试卷
一.选择题(共10小题)
1.下列式子错误的是( )
A.cos40°=sin50° B.tan15°•tan75°=1C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°
2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )
A. 斜坡AB的坡度是10° B.斜坡AB的坡度是tan10°
B. C.AC=1.2tan10°米 D.AB=米
3.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于( )
A. B.2 C. D.
4.函数y=k(x﹣k)与y=kx2,y=(k≠0),在同一坐标系上的图象正确的是( )
A. B. C. D.
5.若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为( )
A.y=(x﹣2)2+3 B.y=(x﹣2)2+5 C.y=x2﹣1 D.y=x2+4
6.若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3,x2=﹣1 B.x1=1,x2=3 C.x1=﹣1,x2=3 D.x1=﹣3,x2=1
7.如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
8.如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于( )
A.40°,80° B.50°,100° C.50°,80° D.40°,100°
9.已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为( )
A.12 B.15 C.16 D.18
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(共10小题)
11.在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是 .
12.在将Rt△ABC中,∠A=90°,∠C:∠B=1:2,则sinB= .
13.已知cosα=,则的值等于 .
14.已知抛物线y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2,4),则4a+c﹣1= .
15.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为 .
16.已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=﹣x+3上,设点M坐标为(a,b),则y=﹣abx2+(a+b)x的顶点坐标为 .
17.若⊙O的直径为2,OP=2,则点P与⊙O的位置关系是:点P在⊙O .
18.如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为 cm.
19.已知AB、BC是⊙O的两条弦,AB=AC,∠AOB=120°,则∠CAB的度数是 .
20.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是 .
三.解答题(共10小题)
21.计算:.
22.如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
23.已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
24.如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC、BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
25.如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直径.
26.某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?
27.为了增强学生体质,学校鼓励学生多参加体育锻炼,小胖同学马上行动,每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD,已知四边形ABED是正方形,∠DCE=45°,AB=100米.小胖同学某天绕该道路晨跑5圈,时间约为20分钟,求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分?(结果保留整数,≈1.41)
28.据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪,如平面几何图,AD=24m,∠D=90°,第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶,测得∠ABD=31°,2秒后到达C点,测得∠ACD=50°(tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,结果精确到1m)
(1)求B,C的距离.
(2)通过计算,判断此轿车是否超速.
29.如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.
(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.
30.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
北师大版九年级下册数学期末试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2016•永州)下列式子错误的是( )
A.cos40°=sin50° B.tan15°•tan75°=1
C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断.
【解答】解:A、sin40°=sin(90°﹣50°)=cos50°,式子正确;
B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确;
C、sin225°+cos225°=1正确;
D、sin60°=,sin30°=,则sin60°=2sin30°错误.
故选D.
【点评】本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系,以及同角之间的正切和余切之间的关系,理解性质是关键.
2.(2016•巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )
A.斜坡AB的坡度是10° B.斜坡AB的坡度是tan10°
C.AC=1.2tan10°米 D.AB=米
【分析】根据坡度是坡角的正切值,可得答案.
【解答】解:斜坡AB的坡度是tan10°=,故B正确;
故选:B.
【点评】本题考查了坡度坡角,利用坡度是坡角的正切值是解题关键.
3.(2016•钦州校级自主招生)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=,AC=1,那么∠A的正切tanA等于( )
A. B.2 C. D.
【分析】根据勾股定理求出BC,根据正切的定义计算即可.
【解答】解:∵∠C=90°,AB=,AC=1,
∴BC==2,
则tanA==2,
故选:B.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键.
4.(2016•赤峰)函数y=k(x﹣k)与y=kx2,y=(k≠0),在同一坐标系上的图象正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】将一次函数解析式展开,可得出该函数图象与y轴交于负半轴,分析四个选项可知,只有C选项符合,由此即可得出结论.
【解答】解:一次函数y=k(x﹣k)=kx﹣k2,
∵k≠0,
∴﹣k2<0,
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴.
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,A不正确;
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,B不正确;
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴,C可以;
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴,D不正确.
故选C.
【点评】本题考查了一次函数的图象,解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点.本题属于基础题,难度不大,解决该题时,由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项,因此只需分析一次函数图象即可得出结论.
5.(2016•眉山)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为( )
A.y=(x﹣2)2+3 B.y=(x﹣2)2+5 C.y=x2﹣1 D.y=x2+4
【分析】思想判定出抛物线的平移规律,根据左加右减,上加下减的规律即可解决问题.
【解答】解:将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,这个相当于把抛物线向左平移有关单位,再向下平移3个单位,
∵y=(x﹣1)2+2,
∴原抛物线图象的解析式应变为y=(x﹣1+1)2+2﹣3=x2﹣1,
故答案为C.
【点评】本题考查二次函数图象的平移,解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的,记住左加右减,上加下减的规律,属于中考常考题型.
6.(2016•宿迁)若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),则方程ax2﹣2ax+c=0的解为( )
A.x1=﹣3,x2=﹣1 B.x1=1,x2=3 C.x1=﹣1,x2=3 D.x1=﹣3,x2=1
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案.
【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点(﹣1,0),
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为:x=﹣1,
∵抛物线的对称轴为:直线x=1,
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为:(3,0),
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为:x1=﹣1,x2=3.
故选:C.
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点,正确应用二次函数对称性是解题关键.
7.(2016•黄石)如图所示,⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【分析】根据⊙O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,可以求得AN的长,从而可以求得ON的长.
【解答】解:由题意可得,
OA=13,∠ONA=90°,AB=24,
∴AN=12,
∴ON=,
故选A.
【点评】本题考查垂径定理,解题的关键是明确垂径定理的内容,利用垂径定理解答问题.
8.(2016•巴彦淖尔)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CAB=40°,则∠ABD与∠AOD分别等于( )
A.40°,80° B.50°,100° C.50°,80° D.40°,100°
【分析】求出∠AEC=90°,根据三角形内角和定理求出∠C=50°,根据圆周角定理即可求出∠ABD,根据OB=OD得出∠ABD=∠ODB=50°,根据三角形外角性质求出即可.
【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∵∠CAB=40°,
∴∠C=50°,
∴∠ABD=∠C=50°,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB=50°,
∴∠AOD=∠ABD+∠ODB=100°,
故选B.
【点评】本题考查了圆周角定理,垂径定理的应用,能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键.
9.(2016•丹阳市校级一模)已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为( )
A.12 B.15 C.16 D.18
【分析】设OC=x,根据垂径定理可得出AC=4,利用勾股定理可得出关于x的一元二次方程,解方程求出x的值,进而得出OC的长度,再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论.
【解答】解:依照题意画出图形,如图所示.
设OC=x,则OA=OD=x+2,
∵OD⊥AB于C,
∴
在Rt△OAC中,OC2+AC2=OA2,即x2+42=(x+2)2,
解得x=3,即OC=3,
∵OC为△ABE的中位线,
∴BE=2OC=6.
∵AE是⊙O的直径,
∴∠B=90°,
∴.
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理、三角形的中位线以及三角形的面积,解题的关键是求出BE的长度.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据勾股定理找出方程是关键.
10.(2016•常德)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c<b;④b2﹣4ac>0,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由二次函数的开口方向,对称轴0<x<1,以及二次函数与y的交点在x轴的上方,与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可.
【解答】解:∵二次函数的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴,
∴a<0,c>0,故②正确;
∵0<﹣<1,
∴b>0,故①错误;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
∴a+c<b,故③正确;
∵二次函数与x轴有两个交点,
∴△=b2﹣4ac>0,故④正确
正确的有3个,
故选:C.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).
二.填空题(共10小题)
11.(2016•永春县模拟)在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则sinA的值是 .
【分析】利用锐角三角函数的定义求解,sinA为∠A的对边比斜边,求出即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,
∴sinA==.
故答案为.
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.
12.(2016•株洲模拟)在将Rt△ABC中,∠A=90°,∠C:∠B=1:2,则sinB= .
【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数,根据正弦的定义解答即可.
【解答】解:∵∠A=90°,
∴∠C+∠B=90°,又∠C:∠B=1:2,
∴∠B=60°,
∴sinB=,
故答案为:.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用,掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
13.(2016•雅安校级模拟)已知cosα=,则的值等于 0 .
【分析】先利用tanα=得到原式==,然后把cosα=代入计算即可.
【解答】解:∵tanα=,
∴==,
∵cosα=,
∴==0.
故答案为0.
【点评】本题考查了同角三角函数的关系:平方关系:sin2A+cos2A=1;正余弦与正切之间的关系(积的关系):一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanA•cosA.
14.(2016•牡丹江)已知抛物线y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2,4),则4a+c﹣1= ﹣3 .
【分析】将点(﹣2,4)代入y=ax2﹣3x+c(a≠0),即可求得4a+c的值,进一步求得4a+c﹣1的值.
【解答】解:把点(﹣2,4)代入y=ax2﹣3x+c,得
4a+6+c=4,
∴4a+c=﹣2,
∴4a+c﹣1=﹣3,
故答案为﹣3.
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征,点在函数上,将点代入解析式即可.
15.(2016•泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为 ﹣4 .
【分析】设y=0,则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,利用根与系数的关系即可求出+的值.
【解答】解:
设y=0,则2x2﹣4x﹣1=0,
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标,即x1,x2,
∴x1+x2=﹣=2,x1,•x2=﹣,
∴+==﹣4,
故答案为:﹣4.
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键.
16.(2016•邯郸校级自主招生)已知M、N两点关于y轴对称,且点M在双曲线上,点N在直线y=﹣x+3上,设点M坐标为(a,b),则y=﹣abx2+(a+b)x的顶点坐标为 (±,) .
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题.
【解答】解:∵M、N两点关于y轴对称,
∴M坐标为(a,b),N为(﹣a,b),分别代入相应的函数中得,b=①,a+3=b②,
∴ab=,(a+b)2=(a﹣b)2+4ab=11,a+b=±,
∴y=﹣x2±x,
∴顶点坐标为(=±,=),即(±,).
故答案为:(±,).
【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法.解题关键是先求出ab,a+b的值,整体代入求出函数的解析式.
17.(2016秋•南京期中)若⊙O的直径为2,OP=2,则点P与⊙O的位置关系是:点P在⊙O 外 .
【分析】由条件可求得圆的半径为1,由条件可知点P到圆心的距离大于半径,可判定点P在圆外.
【解答】解:
∵⊙O的直径为2,
∴⊙O的半径为1,
∵OP=2>1,
∴点P在⊙O外,
故答案为:外.
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系,利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键.
18.(2016•绥化)如图,⊙O的直径CD=20cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,若OM=6cm,则AB的长为 16 cm.
【分析】连接OA,根据垂径定理求出AB=2AM,已知OA、OM,根据勾股定理求出AM即可.
【解答】解:连接OA,
∵⊙O的直径CD=20cm,
∴OA=10cm,
在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM==8cm,
∴由垂径定理得:AB=2AM=16cm.
故答案为:16.
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用,关键是构造直角三角形.
19.(2016•香坊区模拟)已知AB、BC是⊙O的两条弦,AB=AC,∠AOB=120°,则∠CAB的度数是 15°或75° .
【分析】①若点C在优弧AB上,根据AB=AC设AC=2x、AB=x,作OD⊥AB、作OE⊥AC,由∠AOB=120°、OA=OB得∠OAD=30°,在Rt△OAD中可得OA=x,在Rt△OAE中由cos∠OAE=可得∠OAE度数,继而根据∠CAB=∠OAB+∠OAE可得∠CAB度数;
②当点C在劣弧AB上时,与(1)同理可得∠OAB=30°,∠OAE=45°,根据∠CAB=∠OAE﹣∠OAD可得此时∠CAB的度数,即可得答案.
【解答】解:①如图1,若点C在优弧AB上,
∵AB=AC,
∴设AC=2x,则AB=x,
过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,
∴AD=AB=x,AE=AC=x,
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠OAD=30°,
在Rt△OAD中,OA===x,
在Rt△OAE中,cos∠OAE===,
∴∠OAE=45°,
∴∠CAB=∠OAB+∠OAE=75°;
②如图2,当点C在劣弧AB上时,
由①知,∠OAB=30°,∠OAE=45°,
∴∠CAB=∠OAE﹣∠OAD=15°,
故答案为:15°或75°.
【点评】本题主要考查垂径定理及三角函数的应用,熟练掌握垂径定理是解题的关键.
20.(2016•内江)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是 P>Q .
【分析】由函数图象可以得出a<0,b>0,c>0,当x=1时,y=a+b+c>0,x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,由对称轴得出2a+b=0,通过确定绝对值中的数的符号后去掉绝对值再化简就可以求出P、Q的值.
【解答】解:∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵﹣>0,
∴b>0,
∴2a﹣b<0,
∵﹣=1,
∴b+2a=0,
x=﹣1时,y=a﹣b+c<0.
∴﹣b﹣b+c<0,
∴3b﹣2c>0,
∵抛物线与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∴3b+2c>0,
∴p=3b﹣2c,
Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c,
∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b<0
∴P>Q,
故答案为:P>Q.
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系,去绝对值,二次函数的性质.熟记二次函数的性质是解题的关键.
三.解答题(共10小题)
21.(2016•金华校级模拟)计算:.
【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值及0指数幂把原式化简,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
【解答】解:原式=2+2﹣4×﹣1,
=2+2﹣2﹣1,
=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂及二次根式等考点的运算.
22.(2016•江西模拟)如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.
【分析】(1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==,则可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,则S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,于是可计算出BE=,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.
【解答】解:(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴sinA==,
而BC=8,
∴AB=10,
∵D是AB中点,
∴CD=AB=5;
(2)在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,
∴AC==6,
∵D是AB中点,
∴BD=5,S△BDC=S△ADC,
∴S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,
∴BE==,
在Rt△BDE中,cos∠DBE===,
即cos∠ABE的值为.
【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.
23.(2016•宁夏)已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2,求CD的长.
【分析】(1)由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C,由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B,由此推得∠B=∠C,由等腰三角形的判定即可证得结论;
(2)连接AE,由AB为直径,可证得AE⊥BC,由(1)知AB=AC,证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长.
【解答】(1)证明:∵ED=EC,
∴∠EDC=∠C,
∵∠EDC=∠B,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)方法一:
解:连接AE,
∵AB为直径,
∴AE⊥BC,
由(1)知AB=AC,
∴BE=CE=BC=,
∵△CDE∽△CBA,
∴,
∴CE•CB=CD•CA,AC=AB=4,
∴•2=4CD,
∴CD=.
方法二:
解:连接BD,
∵AB为直径,
∴BD⊥AC,
设CD=a,
由(1)知AC=AB=4,
则AD=4﹣a,
在Rt△ABD中,由勾股定理可得:
BD2=AB2﹣AD2=42﹣(4﹣a)2
在Rt△CBD中,由勾股定理可得:
BD2=BC2﹣CD2=(2)2﹣a2
∴42﹣(4﹣a)2=(2)2﹣a2
整理得:a=,
即:CD=.
【点评】本题考查了圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键.
24.(2016•漳州)如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC、BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
【分析】(1)连接OC,由C为的中点,得到∠1=∠2,等量代换得到∠2=∠ACO,根据平行线的性质得到OC⊥CD,即可得到结论;
(2)连接CE,由勾股定理得到CD==,根据切割线定理得到CD2=AD•DE,根据勾股定理得到CE==,由圆周角定理得到∠ACB=90°,即可得到结论.
【解答】解:(1)相切,连接OC,
∵C为的中点,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠ACO,
∴∠2=∠ACO,
∴AD∥OC,
∵CD⊥AD,
∴OC⊥CD,
∴直线CD与⊙O相切;
(2)方法1:连接CE,
∵AD=2,AC=,
∵∠ADC=90°,
∴CD==,
∵CD是⊙O的切线,
∴CD2=AD•DE,
∴DE=1,
∴CE==,
∵C为的中点,
∴BC=CE=,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB==3.
方法2:∵∠DCA=∠B,
易得△ADC∽△ACB,
∴=,
∴AB=3.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,切线的判定和性质,圆周角定理,勾股定理,平行线的性质,切割线定理,熟练掌握各定理是解题的关键.
25.(2016•随州)如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB.
(1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若CD=15,BE=10,tanA=,求⊙O的直径.
【分析】(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°,即可证明BD是⊙O的切线;
(2)过点D作DG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5,由两角相等的三角形相似,△ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=,在Rt△EDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.
【解答】(1)证明:连接OB,
∵OB=OA,DE=DB,
∴∠A=∠OBA,∠DEB=∠ABD,
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°,
∴∠OBA+∠ABD=90°,
∴OB⊥BD,
∴BD是⊙O的切线;
(2)如图,过点D作DG⊥BE于G,
∵DE=DB,
∴EG=BE=5,
∵∠ACE=∠DGE=90°,∠AEC=∠GED,
∴∠GDE=∠A,
∴△ACE∽△DGE,
∴sin∠EDG=sinA==,即DE=13,
在Rt△ECG中,
∵DG==12,
∵CD=15,DE=13,
∴CE=2,
∵△ACE∽△DGE,
∴=,
∴AC=•DG=,
∴⊙O的直径2OA=4AC=.
【点评】此题考查了切线的判定,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
26.(2016•丹东)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?
【分析】(1)函数的表达式为y=kx+b,把点(12,74),(28,66)代入解方程组即可.
(2)列出方程解方程组,再根据实际意义确定x的值.
(3)构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.
【解答】解:(1)设函数的表达式为y=kx+b,该一次函数过点(12,74),(28,66),
得,
解得,
∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80,
(2)根据题意,得,
(﹣0.5x+80)(80+x)=6750,
解得,x1=10,x2=70
∵投入成本最低.
∴x2=70不满足题意,舍去.
∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6750千克.
(3)根据题意,得
w=(﹣0.5x+80)(80+x)
=﹣0.5 x2+40 x+6400
=﹣0.5(x﹣40)2+7200
∵a=﹣0.5<0,则抛物线开口向下,函数有最大值
∴当x=40时,w最大值为7200千克.
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题,属于中考常考题型.
27.(2016•湘潭)为了增强学生体质,学校鼓励学生多参加体育锻炼,小胖同学马上行动,每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD,已知四边形ABED是正方形,∠DCE=45°,AB=100米.小胖同学某天绕该道路晨跑5圈,时间约为20分钟,求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分?(结果保留整数,≈1.41)
【分析】首先利用勾股定理求出CD的长度,然后求出小胖每天晨跑的路程,进而求出平均速度.
【解答】解:∵ABED是正方形,∠DCE=45°,AB=100米,
∴DE=CE=100米,
在直角三角形DEC中,
DC2=DE2+CE2,即DC=100,
∴四边形ABCD的周长为100+100+100+100+100=400+100,
∵小胖同学某天绕该道路晨跑5圈,时间约为20分钟,
∴小胖每天晨跑的路程为(2000+500)米,
∴小胖同学该天晨跑的平均速度(2000+500)÷20=100+25≈135.25米/分.
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,解题的关键是利用勾股定理求出DC的长度,此题难度不大.
28.(2016•六盘水)据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一,所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s,在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪,如平面几何图,AD=24m,∠D=90°,第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶,测得∠ABD=31°,2秒后到达C点,测得∠ACD=50°(tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,结果精确到1m)
(1)求B,C的距离.
(2)通过计算,判断此轿车是否超速.
【分析】(1)在直角三角形ABD与直角三角形ACD中,利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长,由BD﹣CD求出BC的长即可;
(2)根据路程除以时间求出该轿车的速度,即可作出判断.
【解答】解:(1)在Rt△ABD中,AD=24m,∠B=31°,
∴tan31°=,即BD==40m,
在Rt△ACD中,AD=24m,∠ACD=50°,
∴tan50°=,即CD==20m,
∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m,
则B,C的距离为20m;
(2)根据题意得:20÷2=10m/s<15m/s,
则此轿车没有超速.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
29.(2016•六盘水)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.
(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),可以求得抛物线的解析式;
(2)根据(1)中的解析式化为顶点式,即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴;
(3)首先写出存在,然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣1.0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),
∴,
解得,,
即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3;
(2)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,
∴此抛物线顶点D的坐标是(1,﹣4),对称轴是直线x=1;
(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形,
设点P的坐标为(1,y),
当PA=PD时,
=
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