高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧（含答案）.doc

<p>数学数列部分知识点梳理
一数列的概念
1）数列的前项和与通项的公式①； &nbsp;
2）数列的分类：①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.
一、 等差数列 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
1） 通项公式，为首项，为公差。前项和公式或.
2） 等差中项：。
3） 等差数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.
4） 等差数列的性质：
&nbsp; &nbsp;⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
&nbsp; &nbsp; (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
&nbsp; &nbsp; (8)设，，，则有；
&nbsp; &nbsp; (9) 是等差数列的前项和，则；
&nbsp; &nbsp; (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
　　&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp; &nbsp; ①．为等差数列，公差为；
　　　　 &nbsp; ②．（即）为等差数列，公差；&nbsp;
　　　　 &nbsp; ③．（即）为等差数列，公差为.
二、 等比数列 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
1） 通项公式：，为首项，为公比 。前项和公式：①当时，②当时，.
2） 等比中项：。；
3） 等比数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.
4） 等比数列的性质：
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
&nbsp;（2）
&nbsp;（3）若，则；
&nbsp;（4）若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.
&nbsp; （5）设，是等比数列，则也是等比数列。
　（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
　（7）设是正项等比数列，则是等差数列；
　（8）设，，，则有；
　（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
　　①．为等比数列，公比为；
　　②．（即）为等比数列，公比为；
三、 解题技巧： &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
A、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）
即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（其中等差）。可裂项为：，
B、等差数列前项和的最值问题：
1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。
（ⅰ）若已知通项，则最大；
（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；
2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值
（ⅰ）若已知通项，则最小；
（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；
C、根据递推公式求通项：
1、构造法：
　1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解
　【例题】，求数列的通项公式.
　3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　4°递推关系形如&quot;,两边同除以
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　【例题】数列中，，求数列的通项公式.
2、 迭代法：
　a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
【例题】已知数列中，，求数列的通项公式
&nbsp;b、已知关系式，可利用迭乘法.
【例题】已知数列满足：，求求数列的通项公式；
3、给出关于和的关系
【例题】设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
五、典型例题： &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知为等差数列的前项和，，求；
2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知为等比数列前项和，，，则 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;.
B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
【例题】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
2）证明数列等比
【例题】数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
D、求数列的前n项和
【例题1】求数列的前项和.（拆项求和法）
【例题2】求和：S=1+（裂项相消法）
【例题3】设，求：⑴；
&nbsp; ⑵（倒序相加法）
【例题4】若数列的通项，求此数列的前项和.（错位相减法）
【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
【例题】数列中，，当数列的前项和取得最小值时， &nbsp;

练习
1数列满足，，(n∈N)，则此数列的通项等于&nbsp;(&nbsp; )
A &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp;
2个数，既是等差数列，又是等比数列，则间的关系为&nbsp;(&nbsp;&nbsp; &nbsp;)
A &nbsp; &nbsp; B &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp;
3差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是( &nbsp; )
A &nbsp;130 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp;170 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp;210 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp; 260
4差数列中，已知，则为（ &nbsp; ）.
&nbsp; &nbsp;A &nbsp;48 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B 49 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C &nbsp; 50 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp; 51
5知等比数列的公比,则等于( &nbsp; &nbsp;)
A &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;C &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D
6各项都为正数的等比数列中，若则（ &nbsp; ）.
A &nbsp; 12 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;B &nbsp;10 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp;8 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp;
7 和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则这两个数的和等于（ &nbsp; ）.
&nbsp; &nbsp;A &nbsp; 80 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp; 70 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp;18 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp; 16
8两各等差数列、前项和分别为、，满足，则的值为（ &nbsp; ）
A &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp;
9是等差数列的前项和，，则等于（ &nbsp;）.
&nbsp; &nbsp;A &nbsp; 15 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp; 16 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; C &nbsp;17 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D &nbsp;18
10列1,前n项和为（ &nbsp;）
A &nbsp; &nbsp; &nbsp; B &nbsp; &nbsp; &nbsp;C &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; D

二、填空题：（每小题4分，共16分）
11等比数列中，，那么_________.
12差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______.
13差数列前项和为，已知为________时，最大.
14列的前项的和，则 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
三、解答题
15(本小题满分8分)
在等比数列中，，
试求：（I）和公比；（II）前6项的和.

16(本小题满分8分)
求和

17(本小题满分9分)
已知数列的前项和
(1)求数列的通项公式;
(2)求的最大或最小值.

18(本小题满分9分)
某城市1995年底人口总数为500万,人均住房面积为6平方米,如果该市每年人口的平均增长率为.而每年平均新建住房面积为30万平方米.那么到2005年年底,该市的人均住房面积数约为多少?(精确到0.01平方米)

参考答案

一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
B
B
B
C
D
A

二、填空题：
11、4 &nbsp; &nbsp; 12、29 &nbsp; &nbsp; 13、7 &nbsp; &nbsp; &nbsp;14、
三、解答题
15、(本小题满分8分)
解：（I）在等比数列中，由已知可得：

解得： 或
&nbsp;（II）
当时， &nbsp;

&nbsp;当时，
16、(本小题满分8分)
解：当x=1时，=1+2+3+…+n=
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;当x≠1时，=1+2x+3x2+…+nxn-1 &nbsp; &nbsp;①
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;x= &nbsp;x+2x2+…+(n-1) xn-1+nxn &nbsp;②
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;①-②: (1-x) ==

&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;=
17、解(1)
当时 &nbsp; &nbsp;
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
也适合上式
&nbsp;
(2),所以有最小值
由得
又 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;即最小

或:由

18、解:依题意
1995年共有住房面积为(万平方米)
从1995年开始,各年住房面积是以首项的等差数列
所以到2005年底,该市共有住房面积为
(万平方米)
又从1995年开始,人口数组成首项的等比数列
所以到2005年底该市人口数为
(万人)
故2005年底人均住房面积为(平方米)

&nbsp;</p>