初二数学矩形.doc

矩形
学习目标
　　1. 理解矩形的概念.
　　2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
要点梳理
要点一、矩形的定义
　　有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
　　要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
　　矩形的性质包括四个方面：
　　1. 矩形具有平行四边形的所有性质；
　　2. 矩形的对角线相等；
　　3. 矩形的四个角都是直角；
　　4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
　　要点诠释：
　　（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
　　（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
　　（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
　　矩形的判定有三种方法：
　　1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
　　2. 对角线相等的平行四边形是矩形.
　　3. 有三个角是直角的四边形是矩形.
　　要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
　　要点诠释：
　　（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
　　（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
　　（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
典型例题
类型一、矩形的性质
　　1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证△ABE≌△CDF．

【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．

类型二、矩形的判定

　　2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
　　（1）求证：△BEC≌△DFA；
　　（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.

3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．

类型三、直角三角形斜边上的中线的性质

　　4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
　　A．20　　　 B．12　　　　C．14　　　 D．13

【变式】如图所示,已知平行四边形ABCD,AC、BD相交于点O,P是平行四边形ABCD外一点且∠APC＝∠BPD＝90°
求证：平行四边形ABCD是矩形．

巩固练习
　　一.选择题
　　1．下列命题中不正确的是(　 )．
　　A. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半
　　B. 矩形的对角线相等
　　C. 矩形的对角线互相垂直
　　D. 矩形是轴对称图形

　　2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为(　 )．
　　A. 3.6　　　　 B. 7.2　　　　 C. 1.8　　　 D. 14.4

　　3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10，则周长为(　 )．
　　A. 14　　　　　 B. 28　　　　 C. 20　　　　 D. 22

　　4．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是(　 )

　　5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（　 ）　
　　A．测量对角线是否相互平分　　　　　 B．测量两组对边是否分别相等
　　C．测量一组对角是否都为直角　　　　 D．测量其中三角形是否都为直角

　　6. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，
BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（　　）　
　　A. 　　　　 B. 　　　　 C. 4 　 　　 D.

　　二.填空题
　　7．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝______，BC＝______．
　　8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
　　9. 如图,矩形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝10，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，
则DE＝__________.

　　10.（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，
且AC＝10，则DE的长度是________.

　　11.（2012•长春）如图，ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_______.

　　12. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，
则矩形CFEG的周长是______.

　　三.解答题
　　13. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长.

　　14. 如图,在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.

　　15. 如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求证：四边形BCED是矩形．