高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧（含答案）.doc

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1） 通项公式，为首项，为公差。前项和公式或.
2） 等差中项：。
3） 等差数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.
4） 等差数列的性质：
   ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.
⑶；(,是常数)；(,是常数，)
⑷若，则；
⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；
⑹当项数为，则；
当项数为，则.
    (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
    (8)设，，，则有；
    (9) 是等差数列的前项和，则；
    (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
　　        ①．为等差数列，公差为；
　　　　   ②．（即）为等差数列，公差； 
　　　　   ③．（即）为等差数列，公差为.
二、 等比数列                                                                    
1） 通项公式：，为首项，为公比 。前项和公式：①当时，②当时，.
2） 等比中项：。；
3） 等比数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.
4） 等比数列的性质：
⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；
 （2）
 （3）若，则；
 （4）若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.
  （5）设，是等比数列，则也是等比数列。
　（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；
　（7）设是正项等比数列，则是等差数列；
　（8）设，，，则有；
　（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
　　①．为等比数列，公比为；
　　②．（即）为等比数列，公比为；
三、 解题技巧：                                                                  
A、数列求和的常用方法：
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。
2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）
即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（其中等差）。可裂项为：，
B、等差数列前项和的最值问题：
1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。
（ⅰ）若已知通项，则最大；
（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；
2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值
（ⅰ）若已知通项，则最小；
（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；
C、根据递推公式求通项：
1、构造法：
　1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解
　【例题】，求数列的通项公式.
　3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　4°递推关系形如",两边同除以
　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.
　【例题】数列中，，求数列的通项公式.
2、 迭代法：
　a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；
【例题】已知数列中，，求数列的通项公式
 b、已知关系式，可利用迭乘法.
【例题】已知数列满足：，求求数列的通项公式；
3、给出关于和的关系
【例题】设数列的前项和为，已知，设，
求数列的通项公式．
五、典型例题：                                                               nbsp;    
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
【例题】已知为等差数列的前项和，，求；
2）根据数列的性质求解（整体思想）
【例题】已知为等比数列前项和，，，则        .
B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
【例题】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
2）证明数列等比
【例题】数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；
D、求数列的前n项和
【例题1】求数列的前项和.（拆项求和法）
【例题2】求和：S=1+（裂项相消法）
【例题3】设，求：⑴；
  ⑵（倒序相加法）
【例题4】若数列的通项，求此数列的前项和.（错位相减法）
【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.
E、数列单调性最值问题
【例题】数列中，，当数列的前项和取得最小值时，  

练习
1数列满足，，(n∈N)，则此数列的通项等于 (  )
A          B nbsp;         C           D  
2个数，既是等差数列，又是等比数列，则间的关系为 (    )
A     B        C       D  
3差数列的前项和为30,前项和为100,则它的前项和是(   )
A  130           B  170         C  210         D   260
4差数列中，已知，则为（   ）.
   A  48            B 49            C   50         D   51
5知等比数列的公比,则等于(    )
A             B            C             D
6各项都为正数的等比数列中，若则（   ）.
A   12            B  10           C  8     nbsp;     D  
7 和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则这两个数的和等于（   ）.
   A   80           B   70           C  18           D   16
8两各等差数列、前项和分别为、，满足，则的值为（   ）
A               B               C             D  
9是等差数列的前项和，，则等于（  ）.
   A   15             B   16         C  17   nbsp;       D  18
10列1,前n项和为（  ）
A       B      C         D

二、填空题：（每小题4分，共16分）
11等比数列中，，那么_________.
12差数列共有项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______.
13差数列前项和为，已知为________时，最大.
14列的前项的和，则          
三、解答题
15(本小题满分8分)
在等比数列中，，
试求：（I）和公比；（II）前6项的和.

16(本小题满分8分)
求和

17(本小题满分9分)
已知数列的前项和
(1)求数列的通项公式;
(2)求的最大或最小值.

18(本小题满分9分)
某城市1995年底人口总数为500万,人均住房面积为6平方米,如果该市每年人口的平均增长率为.而每年平均新建住房面积为30万平方米.那么到2005年年底,该市的人均住房面积数约为多少?(精确到0.01平方米)

参考答案

一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
B
B
B
C
D
A

二、填空题：
11、4     12、29     13、7      14、
三、解答题
15、(本小题满分8分)
解：（I）在等比数列中，由已知可得：

解得： 或
 （II）
当时，  

 当时，
16、(本小题满分8分)
解：当x=1时，=1+2+3+…+n=
       当x≠1时，=1+2x+3x2+…+nxn-1    ①
                           x=  x+2x2+…+(n-1) xn-1+nxn  ②
       ①-②: (1-x) ==

                   =
17、解(1)
当时    

也适合上式

(2),所以有最小值
由得
又        即最小

或:由

18、解:依题意
1995年共有住房面积为(万平方米)
从1995年开始,各年住房面积是以首项的等差数列
所以到2005年底,该市共有住房面积为
(万平方米)
又从1995年开始,人口数组成首项的等比数列
所以到2005年底该市人口数为
(万人)
故2005年底人均住房面积为(平方米)