高一数学上学期期末考试试题(含答案).doc

高一上学期期末考试
一、填空题
1．集合 A {－1，0}, B {0,1}, C {1,2}，则 (A B) C =___________.
2． 函数 f ( x) log (2 1)
1 x 的定义域为
2
3．过点（ 1，0）且倾斜角是直线 x 3y 1 0 的倾斜角的两倍的直线方程
是 ．
4．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 _______________
5．点 P 1,1, 2 关于 xoy平面的对称点的坐标是 .
6．已知直线 3x 4y 3 0 与直线 6x my 14 0 平行，则它们之间的距离是
_________
7．以点 C（－ 1，5）为圆心，且与 y 轴相切的圆的方程为 ．
8．已知点 A( x ,1,2)和点 B(2,3,4) , 且 AB 2 6 , 则实数 x 的值是 _________.
9．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合 A的个数是 _____.
10．函数 y=x
2＋x ( －1≤ x≤ 3 ) 的值域是 _________．
11．若点 P(3，4)，Q(a，b)关于直线 x－y－1＝0 对称，则 2a－b 的值是 _________．
2 mx
12 ． 函 数 y x 4 1 在 [2, ) 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围
是 .
x
13． 函 数 f ( x) a ( a 且0 a 1在) [1,2] 上 最 大 值 比 最 小 值 大
为 .

a
2

， 则 a 的 值
2 mx
14． 已 知 函 数 f (x)= mx 1 的 定 义 域 是 一 切实数 ,则 m 的 取 值 范 围
是 .
- 1 -
二．解答题
15、（1）解方程:lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ; （2）解不等式 :

2

1 2 x

1
4

;
16．（本小题 12 分）二次函数 f ( x) 满足 f ( x＋1)－f ( x) ＝2x 且 f (0) ＝1．
⑴求 f ( x) 的解析式；
⑵当 x [ －1，1] 时，不等式： f ( x) 2x m 恒成立，求实数 m的范围．
- 2 -
17. 如图， 三棱柱 AB C A1 B1 C1， A1A 底面 ABC ，且 ABC 为 正三角形，
C1
A1 A AB 6 ，D 为 AC 中点．
A1 B1
(1)求三棱锥 C1 BCD 的体积；

(2)求证：平面

BC D 平面 ACC1A1 ；
1
C (3)求证：直线 AB1 // 平面 BC1D ．
D
A B
18．已知圆

2 2
C x y ，直线 l1 过定点 A (1，0)．
:( 3) ( 4) 4
（1）若 l1 与圆 C相切，求

l 的方程；
1
（2）若

l 的倾斜角为
1

4

，l1 与圆 C相交于 P，Q两点，求线段 PQ的中点 M 的坐标；
（3）若

l 与圆 C相交于 P，Q两点，求三角形 CPQ的面积的最大值，并求此时 l1 的
1
直线方程．
- 3 -
19. （本题 14 分）已知圆 M ：

2 ( 2)2 1
x y ，定点 A 4,2 在直线 x 2y 0 上，点P 在
线段OA 上，过 P 点作圆 M 的切线 PT ，切点为 T ．(1) 若MP 5 ，求直线 PT 的方程；
(2) 经过 P,M ,T 三点的圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小值 L .
2 y 2
20．已知⊙C1： x ( 5) 5，点 A(1,－3)
（Ⅰ）求过点 A 与⊙C1 相切的直线 l 的方程；
（Ⅱ）设⊙ C2 为⊙C1 关于直线 l 对称的圆，则在 x 轴上是否存在点 P，使得 P
到两圆的切线长之比为 2 ？荐存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试
说明理由．
- 4 -
参考答案
一、填空题
1． 3,9 2． (1, ) 3．1 4．6 5． 2x 3y 7 0 6．

0
45
7．

2 2
(x 1) (y 1) 2
8．异面 9．8 10． 相交 11．12 12．

4 13．(A) (2)(4) (B)
3
①③
14．(A)

15 (B) (1,2 3 )
4
二、解答题：
15．设

y a y a ，（其中 a 0且a 1）。
3x 5 2x
1 , 2
（1）当

y y 时，求 x 的值； （2）当
1 2

y y 时，求 x 的取值范围。
1 2
答案：（1）x 1；（2）当0 a 1， , 1 ；a 1时， 1,
- 5 -
16. 在正方体

ABCD A B C D 中。（1）求证：
1 1 1 1

BD 平面AAC C ；（2）求
1 1
二面角

C BD C 大小的正切值。
1

D1

C1
答案：

A1

B1
（1）

BD AC BD AA ，
,
1
证到

BD 平面AAC C
1 1

D

C
（2）

C OC 是二面角的平面角
1
B
A
在

Rt C OC 中，tan C1OC 2
1
17. 已知圆 C：

2 2
x y 内有一点 P（2，2），过点 P作直线 l 交圆
1 9
C于 A、B 两点。
（1）当 l 经过圆心 C时，求直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的倾斜角为 45o 时，求弦 AB的长。
解：（1）2x y 2 0 ；（2）直线 L 方程为 x y 0，圆心到直线 L 的距离为

d

2
2
可以计算得： AB 34
18. 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面 ABC，且EA=AB=2a，
DC=a， F是 BE的中点。
求证：(1) FD∥平面 ABC；(2) 平面 EAB⊥平面 EDB。
E
证明：（1）取 AB 中点 G，连 CG，FG
四边形 DFGC 是平行四边形，得到 DF // CG D
F DF 平面ABC ，CG 平面ABC
A 所以 FD∥平面 ABC；
C
B
- 6 -
（2）可以证明 CG 平面EAB ，
又DF // CG ，所以 DF 平面EAB
DF 平面EBD ，所以，平面 EAB⊥平面 EDB
另：可以用 AF 平面EBD ，证明：平面 EAB⊥平面 EDB
19. （A）已知圆 M ：

x2 ( y 2)2 1，定点 A 4,2 在直线 x 2y 0 上，点P
在线段OA 上，过P 点作圆 M 的切线 PT ，切点为T ．(1) 若MP 5 ，求直
线PT 的方程；(2) 经过 P,M ,T 三点的圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小
值L。
答案：（1）先由 MP 5 求得： P(2,1)
直线 x 2 与圆不相切，设直线 PT：y 1 k(x 2) ，即： kx y 1 2k 0
圆心M (0, 2) 到直线距离为 1，得： 0, 4
k 或 k
3
直线方程为： y 1或4x 3y 11 0
（2）设P(2t ,t ) (0 t 2) ，经过 P,M ,T 三点的圆的圆心为 PM 的中点

D

1
t,1 t
2
所以，

2
2 2 1 5 2
OD t t t t ，(0 t 2)
1 1
2 4
t 0时，得OD 的最小值 L 1
（B） 已知圆 M ：
x2 ( y 2)2 1 ，设点 B,C 是直线 l ：x 2y 0 上的两点，它
们的横坐标分别是 t,t 4(t R) ，点P 在线段 BC 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA，
切点为 A ．(1) 若t 0 ，MP 5 ，求直线 PA 的方程； (2) 经过 A, P,M 三点的
圆的圆心是 D ，求线段 DO 长的最小值 L(t) ．
答案：（1）先由 MP 5 求得： P(2,1)
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直线 x 2 与圆不相切，设直线 PT：y 1 k(x 2) ，即： kx y 1 2k 0
圆心M (0, 2) 到直线距离为 1，得：

k 0,或 k

4
3
直线方程为： y 1或4x 3y 11 0
（2）设 ( , 1 )
P x x (t x t 4) ，
2
经过P,M ,T 三点的圆的圆心为 PM 的中点 D 1 ,1 1
x x 2 4
所以

2 2
2 1 2 1 5 2 1 5 4 4
OD x x x x x ，(t x t 4)
1 1
4 4 16 2 16 5 5
5 1 4
2
t t 1 t
16 2 5
讨论得：

24 4
2 5
L(t ) t
5 5 5
5 24
2
t 3t 8 t<-
16 5
20. (A) 定义在 D 上的函数 f (x) ，如果满足；对任意 x D ，存在常数
M ，都有 | f (x) | M 成立，则称 f (x) 是 D上的有界函数，其中 M称为
0
x x
函数 f (x) 的上界。已知函数 f (x) 1 a 2 4 ，

x
1 2
g x 。
( )
x
1 2
（1）当 a 1时，求函数 f (x) 在(0, ) 上的值域，并判断函数 f (x) 在
(0, ) 上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数 g(x) 在[0,1] 上的上界 T 的取值范围；
（3）若函数 f ( x) 在( ,0] 上是以 3 为上界的函数，求实数 a的取值范
围。
解：（1）当a 1时， ( ) 1 2 4
f x ，设t 2 ，x (0, ) ，所以：t 1,
x x x
y t2 t 1，值域为 3, ，不存在正数 M，使x (0, ) 时，| f ( x) | M 成
立，即函数在 x (0, ) 上不是有界函数。
- 8 -
（2）设 2x
t ，t 1,2 ，

y

1 t 2
1 t 1 t

在t 1,2 上是减函数，值域为
1

1
3

,0
要使| f (x) | T 恒成立，即：

T

1
3
（3）由已知 x ,0 时，不等式 f ( x) 3 恒成立，即： 1 2 4 3
a
x x
x
设t 2 ，t 0,1 ，不等式化为

2
1 a t t 3
方法（一）
a 即： 2 a 0时，
讨论：当 0 1
2

1
2
1 a 3 且2 a 3得： 2 a 0
4
a a
当 0或 1即：a 2或a 0时， 3 2 a 3，得 5 a -2或0 a 1
2 2
综上， 5 a 1
方法（二）
抓不等式

2
1 at t 3且

2
1 at t 3在t 0,1 上恒成立，分离参数法得

a t

4
t

且

a t

2
t

在t 0,1 上恒成立，得 5 a 1。
(B) 定义在 D上的函数 f (x) ，如果满足； 对任意 x D ，存在常数 M 0，
都有| f (x) | M 成立，则称 f (x) 是 D上的有界函数， 其中 M称为函数 f (x)
的上界。已知函数 f (x) 1 a 2 4 ，
x x

g (x)

x
1 m 2
x
1 m 2

。
（1）当 a 1时，求函数 f (x) 在(0, ) 上的值域，并判断函数 f (x) 在
(0, ) 上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数 f ( x) 在( ,0] 上是以 3 为上界的函数，求实数 a的取值范
围；
（3）若m 0，求函数 g (x) 在[0,1] 上的上界 T 的取值范围。
解：（1）当a 1时， ( ) 1 2 4
x x x
f x ，设t 2 ，x (0, ) ，所以：t 1,
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y t2 t 1，值域为 3, ，不存在正数 M，使x (0, ) 时，| f ( x) | M 成
立，即函数在 x (0, ) 上不是有界函数。
（2）由已知 x ,0 时，不等式 f (x) 3 恒成立，即： 1 2 4 3
a
x x
x
设t 2 ，t 0,1 ，不等式化为

2
1 a t t 3
方法（一）
a 即： 2 a 0时，
讨论：当 0 1
2

1
2
1 a 3 且2 a 3得： 2 a 0
4
a a
当 0或 1即：a 2或a 0时， 3 2 a 3，得 5 a -2或0 a 1
2 2
综上， 5 a 1
方法（二）
抓不等式

2
1 at t 3且

2
1 at t 3在t 0,1 上恒成立，分离参数法得

a t

4
t

且

a t

2
t

在t 0,1 上恒成立，得 5 a 1。
（3）当

2
m (0, ] 时，T 的取值范围是
2

1 m
[ , )
1 m

；当

2
m ( , ) 时，T 的
2
2m 1
取值范围是 ,
2m 1
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