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九年级数学二次函数压轴题
1．（10分）某商店销售一种商品，每件的进价为2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你分析，销售单价多少时，可以获利最大？

2．（12分）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．
小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．
小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．
小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．
【利润=（销售价﹣进价）×销售量】
（1）请根据他们的对话填写下表：
销售单价x（元/kg） 10 11 13
销售量y（kg） 　　 　　 　　

（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；

（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

3、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间每天的定价增加x元。
⑴写出房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

⑵写出该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

⑶求该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

4．（本小题满分10分）
某产品每件成本10元 ，试销阶段每件产品的销售单价（元 ∕ 件）与日销售量（件）之间的关系如下表．
（元 ∕ 件）
15
18
20
22
…
（件）
250
220
200
180
…
（1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）求日销售利润w（元）与销售单价（元 ∕ 件）之间的函数关系式；

（3）若规定销售单价不低于15元，且日销售量不少于120件，那么销售单价应定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

5．（本题满分6分）
某商场进行促销活动，规定凡在商场一次性消费200元以上的顾客可以参加一次摸奖活动，摸奖规则如下：一个不透明的袋子里装有红（1个）、黄（2个）、绿（4个）、白（18个）除颜色外其余完全相同的小球，充分摇匀后，从中摸出一个小球，如果摸出的球是红、黄或绿色小球，顾客就可以分别获得150元、100元、50元的现金.如果不选择摸奖，则可以直接获得15元购物券.有一名顾客本次购物225元.

（1） 这名顾客能否参加摸奖，摸奖获得现金的概率是多少？

（2） 请通过计算说明选择哪种方式更合算？

6．（本题满分10分）
某经销店代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每千克售价为260元时，月销售量为45千克．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每千克售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5千克．综合考虑各种因素，每售出一千克建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每千克材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每千克售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）按照厂家的规定，每千克售价不得低于220元.结合（2）中的函数关系式说明，该经销店要获得最大月利润，售价应定为每千克多少元？此时最大利润是多少元？

7．（10分））如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，∠B=90°；点P从B点出发，以4cm/s的速度沿BA→AD→DC运动，点Q从B点出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动，当一个点先到达点C时另一点就停止运动．问从运动开始经过多少时间，△BPQ的面积最大？

8、如图，已知二次函数的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；

（2）当x为何值时，y＞0？

（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D
两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，
垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

9.（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点，点P是直线BC下方抛物线上的动点.
（1）求这个二次函数表达式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形，
那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此
时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）是否存在点P，使得四边形ACBP的面积有最大值？若存在，求出此 时点P的坐标及面积最大值；若不存在，请说明理由.

10．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标系轴上，且点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（3，0）．过点A，C，D的抛物线为y1=ax2+bx+c，
（1）求抛物线y1=ax2+bx+c的函数表达式；

（2）直线AB的表达式为y2=mx+n，且AB与y1的另一个交点为E，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）抛物线y1=ax2+bx+c的顶点为Q，在直线AE的下方，点P为抛物线上的一个动点，当S△AQE=S△APE时，求点P的坐标．

11．（10分如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．
（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

12.(本题10分)
已知抛物线与直线y=x交于两点A、B，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴.
(1) 抛物线的解析式；

(2) 设D、E是线段AB上异于ＡＢ的两个动点（点Ｅ在点Ｄ的右上方），，过点Ｄ作ｙ轴的平行线，交抛物线于Ｆ.设点D的横坐标为t，△EDF的面积为s，把s表示为t的函数，并求自变量t的取值范围；

y
x
O
D
E
A
B
C
F
(3) 在（2）的条件下，再过点E作y轴的平行线，交抛物线于G，试问能不能适当选择点D的位置，使EG=DF？如果能，求出此时点D的坐标；如果不能，请说明理由.
y
x
O
D
E
A
B
C
F

（第12题图）

13. 如图1，矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点M的坐标。

（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，请求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

14.（满分10分）：如图所示，二次函数的图象，顶点坐标为M(1，－4).

（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.

x
y
O
A
B
D

15
.（10分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为(-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

16.（满分15分）如图12，经过原点的抛物线y=-x2-2mx(m＞1)与x轴的另一个交点为A．过点P(-1,m)作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，BC∥x轴交抛物线于点C．
（1）当m=2时.
① 求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式；
② 若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动，求点Q在何处时，△QAB的面积最大；
③ 若点F在坐标轴上，且PF=PC，请直接写出符合条件的点F的坐标；
备用图
A
B
P
C
O
D
x
y
A
B
P
C
O
D
x
y
Q
图12
（2）当m＞1时，连结CA、CP. 当m为何值时，CA⊥CP？（这一问用相似暂不做）

17．（本题13分）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。（暂不做）

18.(本题满分12分)如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．
（1）若抛物线与x轴的两个交点为（-1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；

（2）如图，四边形OABC是抛物线（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB＝60°
①求“抛物菱形OABC”的面积.
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F,△OEF的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

19．（本题满分12分）如果一条抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是____________三角形；
（2）若抛物线y＝－x 2＋bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y＝－x 2＋b′x（b′ ＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
x
y
B
O
A
（4）若抛物线与直线y＝3交点的横坐标均为整数，是否存在整数m的值使这条抛物线的“抛物线三角形”有一边上的中线长恰好等于这边的长。若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由。

20.（本题12分）如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，其中点C的坐标是（0，3），顶点为点D，联结CD，抛物线的对称轴与x轴相交于点E．
（1）求m的值；
（2）求∠CDE的度数；
（3）在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P，使得
△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

21．已知，如图22­11抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22.（10分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6。
求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若
存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积，若不存在，请说明理由。（暂不做，需用相似）

23. 如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；并求△BCE的面积；
（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

24．（本题10分）如图，抛物线y=x-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5.
（1） 求抛物线顶点A的坐标；
（2） 设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3） 在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

O
y
x
A
Q
M
B
P
25. （满分12分）如图，二次函数的图象顶点（2，0），直线与该二次函数的图象交于（0，2），（6，8）两点。
（1）求该直线的表达式和抛物线的表达式；
（2）为线段上一动点（两端点除外），过点作
轴的垂线与二次函数的图象交于点，设线段的长为
为 ，点，，求与之间的函数表
达式，并求出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段上是否存在一点，使得四边
形为梯形。若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

A
D
C
B
M
N

26. (12分)如图，在梯形中，，，，，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．设运动的时间为秒．
（1）填空；梯形的高= ， 。
（2）当时，求的值．
（3）试探究：为何值时，为等腰三角形．

备用图

27. （满分13分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒.
（1）点F的坐标（ ， ），点E的坐标（ ， ）；
（2）当t为多少秒时，四边形 PEFQ为正方形？
（3）设矩形PEFQ的面积S，求s与t的函数表达式，并求当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

28. （满分13分）如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC
与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，
使得S△MAP=2S△ACP，若存在，
求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
29.（14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）。过点E作直线l平行BC，交AC于点D。设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）．（（2）（3）两问用相似暂不做）

30．（本小题满分12分）
如图12，已知抛物线y＝-x2＋bx＋ｃ与一直线相交于A（-1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N其顶点为D。
（1求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求直线AC的解析式；
（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（4）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B， 直接写出抛物线左右平移多少个单位时过点B；上下平移多少个单位时过点B；

图12

31、（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标.（用相似）
第31题

图①

图②

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