中考数学专题13：数学思想方法之分类探讨.doc

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【2017年中考攻略】专题13：数学思想方法之分类探讨
数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。
分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDI四个方面：
W即为什么要进行分类。一般地说，当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、平方根、有理式、三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法；（3）问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；（4）几何问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论。
H即如何进行分类。首先，明确分类讨论思想的三个原则：（1）不遗漏原则；（2）不重复原则；（3）同标准原则。其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。第三，掌握分类讨论思想的常用方法。分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围）划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。
D即正确进行逐类逐级分类讨论。
I即归纳小结，总结出结论。
结合2016年全国各地中考的实例，我们从下面五方面探讨分类方法的应用：（1）代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（2）几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用；（3）含有的参变量的不同取值的分类应用；（4）几何问题中几何图形的不确定的分类应用；（5）由数学运算引起的分类应用。
一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：
典型例题：
例1. （2016四川凉山4分）x是2的相反数，︱y︱=3，则x－y的值是【 】
A． B．1 C．或5 D．1或
【答案】D。
【考点】代数式求值，相反数，绝对值。
【分析】根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算：
∵x是2的相反数，∴x=－2。
∵︱y︱=3，∴y=±3。
当 x=－2，y=3 时，x－y=－2－3=－5；当 x=－2，y=－3 时，x－y=－2－（－3）=1。故选D。
例2. （2016湖南衡阳3分）函数中自变量x的取值范围是【 】
A．x＞﹣2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2
【答案】A。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选A。　
例3.（2016湖北襄阳3分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【 】
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
【答案】D。
【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。
【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0。三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0。
故选D。　
例4. （2016福建泉州3分）若的函数值随着x的增大而增大，则的值可能是下列的【 】.
A . B. C.0 D.3
【答案】D。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】一次函数的图象有四种情况：
①当时， y的值随x的值增大而增大；
②当时， y的值随x的值增大而减小。
由题意得，函数函数值随着x的增大而增大，，故，可取3。故选D。
练习题：
1. （2016四川德阳3分）使代数式有意义的x的取值范围是【 】
A. B. C.且 D.一切实数
2.（2016山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【 】．
A． k≥1 B． k≤1 C． k>1 D． k<1
3. （2016贵州贵阳4分）在正比例函数y=﹣3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第　 ▲ 　象限．
一、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：
典型例题：
例1. （2016湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【 】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B。
【考点】构成三角形的三边的条件。
【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。
例2. （2016贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【 】

A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
【答案】B。
【考点】全等三角形的判定。190187。
【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：
A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。
由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误。故选B。　
例3. （2016宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【 】
A．13 B．17 C．22 D．17或22
【答案】C。
【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：
①若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；
②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。
∴这个三角形的周长为9+9+4=22。故选C。
例4.（2016福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个
【答案】C。
【考点】等腰三角形的判定。
【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。
∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。
例5. （2016青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为(－5，0)和(5，0)．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标 ▲ ．

【答案】（8，0），（，0）。
【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。
【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8。
∴在Rt△AOD中，AD=。
∵E为AD中点，∴OE=AD=×10=5。
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）。
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）。
③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P。
∴EK∥OA。∴EK：OA=ED：AD=1：2。∴EK=OA=3。
∴OK=。
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，∴△POF∽△EOK。
∴OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=。
∴P点坐标为（，0）。
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0），（，0）。
例6. （2016四川资阳3分）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ▲ ．
【答案】8或10。
【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。
【分析】由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长= ，因此这个三角形的外接圆半径为10。
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10。
练习题：
1. （2016山东潍坊3分）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ▲ ， 使ΔABC≌ΔDBE． (只需添加一个即可)

2. （2016广东肇庆3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【 】
A．16 B．18 C．20 D．16或20
（2016湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是　 ▲ 　．
3. （2016广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是 ▲ 0．
4. （2016黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP= ▲
5. （2016黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则PB的长为 ▲ ．
二、含有的参变量的不同取值的分类应用：
典型例题：
例1. （2016重庆市4分）2016年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是【 】
A．　B．　C．　　D．
【答案】B。
【考点】函数的图象。
【分析】根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段：
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0。
纵观各选项，只有B选项的图象符合。故选B。
例2. （2016福建宁德3分）五一节某超市稿促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次
性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款
120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 ▲ 元．
【答案】480元或528元。
【考点】分段函数。
【分析】计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解：
一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135元，因而第一次
付款120元，没有优惠；
第二次购物时：若是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150不高于500），则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8=480元。
当第二次付款是超过500元时：可得出原价是 432÷0.8=540（符合超过500元），则两次共应付
款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660×0.8=528元。
∴一次性购买应付款：480元或528元。
例3. （2016江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数的图象过点A（－1，0）且与⊙P相切，则的值为 ▲ 。
【答案】或。
【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。
【分析】如图，设一次函数与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。
则OA=1，OC=∣b∣，OP=3，BP=2，AP=4。
∴。
由△AOC∽△ABP，得，即，
解得。
∴。
由图和一次函数的性质可知，k，b同号，
∴或。
练习题：
1. （2016湖北武汉3分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点
的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系
如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是【 】

A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
三、几何问题中几何图形的不确定的分类应用：
典型例题：
例1. （2016北京市4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B
跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单
位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定
位置可能是图1中的【 】

A．点M B．点N C．点P D．点Q

例2. （2016北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知
点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，
点B的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含
n的代数式表示．）

【答案】3或4；6n－3。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。
【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：
如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。
当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，
∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12 n－3，对角线AB上的整点个数总为3，
∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3。

例3. （2016重庆市12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

【答案】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x。
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x。
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC。
∴，即。
解得：x=2，即BE=2。
（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC。
∴，即。∴ME=2﹣t。
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8。
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13。
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1。
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=（t+1）2+ t 2=t2+t+1。
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，
即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=。
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，
即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去）。
∴t=﹣3+。
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，
即t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解。
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。
【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长。
（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、
∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可。
（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，∴CE=。
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣。
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S△FMN=×t×t=t2。
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB= ，
∴FK=2﹣EK=﹣1。
∵NL=，∴FL=t﹣，
∴当时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（﹣1）=。
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=。∴t=。
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1。
∴当时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）
=。
④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），
B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=。
综上所述：。
例4.（2016黑龙江牡丹江3分）如图，A(，1)，B(1，)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，，则此时点A的对应点A′的坐标为【 】．

A．(－，－l) B．(－2，0) C．(－l，－)或（－2，0) D．(－，－1)或(－2，0)
【答案】C。
【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。
【分析】如图，过点A作AC⊥ｘ轴于点C, 过点B作BD⊥ｙ轴于点D。
由锐角三角函数定义，,∴。
同理，。∴。
若将△AOB绕点O顺时针旋转l500，则点A′与点B关于坐标原点对称，
∴A′(－l，－)。
若将△AOB绕点O逆时针旋转l500，则点A′在ｘ轴反方向上， ∴A′(－2，0)。
综上所述，点A的对应点A′的坐标为(－l，－)或(－2，0)。故选C。
例56. （2016甘肃兰州4分）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为【 】

A． B．1 C．或1 D．或1或
【答案】D。
【考点】动点问题，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。
【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°，分别讨论如下：
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。
Rt△ABC中，BC＝2，∠ABC＝60°，∴AB＝2BC＝4cm。
①当∠BFE＝90°时；
Rt△BEF中，∠ABC＝60°，则BE＝2BF＝2cm。
∴此时AE＝AB－BE＝2cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：2cm或6cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝1s或3s。
∵0≤t＜3，∴t＝3s不合题意，舍去。
∴当∠BFE＝90°时，t＝1s。
②当∠BEF＝90°时，
同①可求得BE＝cm，此时AE＝AB－BE＝cm。
∵E点沿着A→B→A方向运动，∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm。
∵点E以2cm/s的速度运动，∴t＝s或s（二者均在0≤t＜3内）。
综上所述，当t的值为1、或s时，△BEF是直角三角形。故选D。
例6. （2016广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600

又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
例7. （2016广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
练习题：
1. （2016浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】

　A． B．
C． D．
2. （2016广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

3. （2016广西钦州3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　 ▲ 　．

4. （2016广东湛江12分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

5. （2016浙江绍兴14分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

四、由数学运算引起的分类应用：
典型例题：
例1. （2016广东湛江12分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x2﹣4＞0
解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2）
∴x2﹣4＞0可化为
（x+2）（x﹣2）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2，
解不等式组②，得x＜﹣2，
∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2，
即一元二次不等式x2﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．
（1）一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为　 　 ；
（2）分式不等式的解集为　 　 ；
（3）解一元二次不等式2x2﹣3x＜0．
例2. （2016山东淄博9分）一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．
【答案】解：解得。
把代入得，解得k=8。
把代入得，解得k= 。
∴k的值为8或。
【考点】解一元二次方程和一元二次方程的根。
【分析】求出一元二次方程的两个根，分别代入求k即可。
例3. （2016广西北海8分）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人
数2人以上。请问男、女生人数有几种选择方案？
例4. （2016湖北黄石3分）有一根长的金属棒，欲将其截成根长的小段和根长
的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数，应分别为【 】
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B。
【考点】网格问题，一次函数的应用。
【分析】根据金属棒的长度是40mm，则可以得到7x＋9y≤40，即。
如图，在网格中作。
则当线段AB上有整数点时，是废料为0，该点即为所求。但从图中可见，线段AB上没有整数点，故在△ABC区域内离线段AB最近的整数点即为所求，图中可见，点（3，2）离线段AB最近。
∴使废料最少的正整数x，y分别为x=3，y=2。
故选B。
别解：∵且x为正整数，∴x的值可以是： 1或2或3或4。
当y的值最大时，废料最少，
∴当x=1时， ，则y最大4，此时，所剩的废料是：40－1×7－3×9=6mm ；
当x=2时， ，则y最大2，此时，所剩的废料是：40－2×7－2×9=8mm；
当x=3时， ，则y最大2，此时，所剩的废料是：40－3×7－2×9=1mm；
当x=4时，，则y最大1，此时，所剩的废料是：40－4×7－1×9=3mm。
∴使废料最少的正整数x，y分别为x=3，y=2。
练习题：
1. （2016广西河池10分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加.据统
计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆.
(1)若该小区2009年底到2016年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2016年
底电动自行车将达到多少辆？
(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车
位1000元/个，露天车位200元/个.考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.