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高考数学(理科)专题练习
数形结合思想
题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题
1.方程的解的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.有三个零点,且所有零点之积大于
B.有三个零点,且所有零点之积小于
C.有四个零点,且所有零点之积大于1
D.有四个零点,且所有零点之积小于1
3.(2016·广州二模)设函数的定义域为,,,当时,,则函数在上的所有零点的和为( )
A.7 B.6
C.3 D.2
4.(2016·合肥二模)若函数在上有且只有一个零点,则实数________.
5.已知函数若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是______________.
题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围
6.若不等式对任意都成立,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.(2016·黄冈模拟)函数是定义域为的奇函数,且,为的导函数,当时,,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D. (-1,1)
8.若不等式对恒成立,则a的取值范围是________.
9.已知函数若a,b,c互不相等,且,则的取值范围是________.
10.已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数的图象向右平移个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象,若在上有且只有一个实数根,则k的取值范围是________.
题组3 利用数形结合解决解析几何问题
11.已知圆和两点,.若圆上存在点,使得,则m的最大值为( )
A.7 B.6
C.5 D.4
12.(2016·衡水模拟)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,与抛物线的准线交于点,且,,则( )
A. B.6
C. D.8
13.已知是直线上的动点,,是圆的两条切线,,是切点,是圆心,则四边形面积的最小值为________.
14.已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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高考数学(理科)专题练习
数形结合思想
答 案
1.B
2.A
3.A
4.1
5.
6.A
7.A
8.
9.
10.
11.B
12.A
13.
14.解:(1)圆的方程可化为,所以圆心坐标为. 2分
(2)设,,
,则,.
由题意可知直线的斜率必存在,设直线的方程为.
将上述方程代入圆的方程,化简得. 5分
由题意,可得,,所以,代入直线的方程,得. 6分
因为,所以.
由解得,又,所以.
所以线段的中点的轨迹的方程为. 8分
(3)由(2)知,曲线是在区间上的一段圆弧.
如图,,,,直线过定点.
联立直线的方程与曲线的方程,消去y整理得.
令判别式,解得,由求根公式解得交点的横坐标为,. 11分
由图可知:要使直线与曲线只有一个交点,则,即. 12分
高考数学(理科)专题练习
数形结合思想
解 析
1.∵a>0,∴a2+1>1.
而y=|x2-2x|的图象如图,
∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有2个交点.
2.在同一坐标系中分别作出f1(x)=|log2|x||与f2(x)=x的图象,如图所示,由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点,设三个交点的横坐标从左到右分别是x1,x2,x3,因为f<0,f>0,所以-<x1<-,同理<x2<1,1<x3<2,即-1<x1x2x3<-,即所有零点之积大于-1.
3.函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在上的零点为函数h(x)=|cos(πx)|与函数f(x)的交点的横坐标.因为f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以函数f(x)为关于x=1对称的偶函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则在平面直角坐标系内画出函数h(x)=|cos(πx)|与函数f(x)在内的图象,如图所示,
由图易得两函数图象共有7个交点,不妨设从左到右依次为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,则由图易得x1+x2=0,x3+x5=2,x4=1,x6+x7=4,所以x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7,即函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在上的零点的和为7,故选A.
4.函数f(x)=a+sin x在[π,2π]上有且只有一个零点,即方程a+sin x=0在[π,2π]上只有一解,即函数y=-a与y=sin x,x∈[π,2π]的图象只有一个交点,由图象可得a=1.
5.函数g(x)有两个零点,即方程f(x)-b=0有两个不等实根,则函数y=f(x)和y=b的图象有两个公共点.
①若a<0,则当x≤a时,f(x)=x3,函数单调递增;当x>a时,f(x)=x2,函数先单调递减后单调递增,f(x)的图象如图(1)实线部分所示,其与直线y=b可能有两个公共点.
②若0≤a≤1,则a3≤a2,函数f(x)在R上单调递增,f(x)的图象如图(2)实线部分所示,其与直线y=b至多有一个公共点.
③若a>1,则a3>a2,函数f(x)在R上不单调,f(x)的图象如图(3)实线部分所示,其与直线y=b可能有两个公共点.
综上,a<0或a>1.
6.记y1=logax(a>0,a≠1),y2=sin 2x,原不等式即为y1>y2,由题意作出两个函数的图象,如图所示,知当y1=logax的图象过点A时,a=,所以当<a<1时,对任意x∈都有y1>y2.
7.令g(x)=xf(x)-ln|x|,则g(x)是偶函数,
且当x>0时,g′(x)=f(x)+xf′(x)->0,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.
故不等式xf(x)>1+ln|x|⇔g(|x|)>g(1),
∴|x|>1,解得x>1或x<-1.故选A.
8.作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图,依题意知应有2a≤2-2a,故a≤.]
9.作出f(x)的大致图象.
由图象知,要使f(A)=f(B)=f(C),不妨设a<b<c,
则-lg a=lg b=-c+6.
∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=C.
由图知10<c<12,∴abc∈(10,12).
10.因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为,结合三角函数的图象可知=,即T=.
又T==,所以ω=2,f(x)=sin.
将f(x)的图象向右平移个单位得到f(x)=sin=sin的图象,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)=sin的图象.
所以方程为sin+k=0.
令2x-=t,因为x∈,
所以-≤t≤.
若g(x)+k=0在x∈上有且只有一个实数根,即y=sin t与y=-k在上有且只有一个交点.
如图所示,由正弦函数的图象可知
-≤-k<或-k=1,
即-<k≤或k=-1.]
11.根据题意,画出示意图,如图所示,
则圆心C的坐标为(3,4)半径r=1,且|AB|=2m,因为∠APB=90°,连接OP,易知|OP|=|AB|=m.要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|==5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即m的最大值为6.
12.如图所示,直线与抛物线交于B,C两点,与抛物线的准线交于A点.∵=2,∴F在A,B中间,C在A,F之间,分别过B,C作准线的垂线BB1,CC1,垂足分别为B1,C1.由抛物线的定义可知|BF|=|BB1|,|CF|=|CC1|.
∵=2,|AF|=6,
∴|FB|=|BB1|=3.
由△AFK∽△ABB1可知,
=,∴|FK|=2.
设|CF|=a,则|CC1|=a,
由△ACC1∽△AFK,得=.
∴=,∴a=.
∴|BC|=|BF|+|FC|=3+=.
13.从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即CP垂直于直线l时,S四边形PACB应有唯一的最小值,
此时|PC|==3,
从而|PA|==2.
所以(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=2.
14.
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