高考数学(理科)数形结合思想专题练习(含答案与解析).doc

高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题
1．方程的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知函数，则下列结论正确的是( )
A．有三个零点，且所有零点之积大于
B．有三个零点，且所有零点之积小于
C．有四个零点，且所有零点之积大于1
D．有四个零点，且所有零点之积小于1
3．(2016·广州二模)设函数的定义域为，，，当时，，则函数在上的所有零点的和为( )
A．7 B．6
C．3 D．2
4．(2016·合肥二模)若函数在上有且只有一个零点，则实数________．
5．已知函数若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是______________．
题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围
6．若不等式对任意都成立，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
7．(2016·黄冈模拟)函数是定义域为的奇函数，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D． (－1，1)
8．若不等式对恒成立，则a的取值范围是________．
9．已知函数若a，b，c互不相等，且，则的取值范围是________．
10．已知函数的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，若在上有且只有一个实数根，则k的取值范围是________．
题组3 利用数形结合解决解析几何问题
11．已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
12．(2016·衡水模拟)过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于点，且，，则( )
A． B．6
C． D．8
13．已知是直线上的动点，，是圆的两条切线，，是切点，是圆心，则四边形面积的最小值为________．
14．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点的轨迹的方程；
(3)是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
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高考数学（理科）专题练习
数形结合思想
答 案
1．B
2．A
3．A
4．1
5．
6．A
7．A
8．
9．
10．
11．B
12．A
13．
14．解：(1)圆的方程可化为，所以圆心坐标为． 2分
(2)设，，
，则，．
由题意可知直线的斜率必存在，设直线的方程为．
将上述方程代入圆的方程，化简得． 5分
由题意，可得，，所以，代入直线的方程，得． 6分
因为，所以．
由解得，又，所以．
所以线段的中点的轨迹的方程为． 8分
(3)由(2)知，曲线是在区间上的一段圆弧．

如图，，，，直线过定点．
联立直线的方程与曲线的方程，消去y整理得．
令判别式，解得，由求根公式解得交点的横坐标为，． 11分
由图可知：要使直线与曲线只有一个交点，则，即． 12分
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数形结合思想
解 析
1．∵a＞0，∴a2＋1＞1．
而y＝|x2－2x|的图象如图，
∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点．
2．在同一坐标系中分别作出f1(x)＝|log2|x||与f2(x)＝x的图象，如图所示，由图象知f1(x)与f2(x)有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x1，x2，x3，因为f＜0，f＞0，所以－＜x1＜－，同理＜x2＜1，1＜x3＜2，即－1＜x1x2x3＜－，即所有零点之积大于－1．
3．函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点为函数h(x)＝|cos(πx)|与函数f(x)的交点的横坐标．因为f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，所以函数f(x)为关于x＝1对称的偶函数，又因为当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则在平面直角坐标系内画出函数h(x)＝|cos(πx)|与函数f(x)在内的图象，如图所示，

由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，则由图易得x1＋x2＝0，x3＋x5＝2，x4＝1，x6＋x7＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝7，即函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在上的零点的和为7，故选A．
4．函数f(x)＝a＋sin x在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a＋sin x＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y＝－a与y＝sin x，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a＝1．
5．函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．
①若a＜0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x＞a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．

②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．
③若a＞1，则a3＞a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．
综上，a＜0或a＞1．
6．记y1＝logax(a＞0，a≠1)，y2＝sin 2x，原不等式即为y1＞y2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y1＝logax的图象过点A时，a＝，所以当＜a＜1时，对任意x∈都有y1＞y2．
7．令g(x)＝xf(x)－ln|x|，则g(x)是偶函数，
且当x＞0时，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－＞0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
故不等式xf(x)＞1＋ln|x|⇔g(|x|)＞g(1)，
∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1．故选A．
8．作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，故a≤．]
9．作出f(x)的大致图象．

由图象知，要使f（A）＝f（B）＝f（C），不妨设a＜b＜c，
则－lg a＝lg b＝－c＋6．
∴lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，∴abc＝C．
由图知10＜c＜12，∴abc∈(10，12)．
10．因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，结合三角函数的图象可知＝，即T＝．
又T＝＝，所以ω＝2，f(x)＝sin．
将f(x)的图象向右平移个单位得到f(x)＝sin＝sin的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)＝sin的图象．
所以方程为sin＋k＝0.
令2x－＝t，因为x∈，
所以－≤t≤．
若g(x)＋k＝0在x∈上有且只有一个实数根，即y＝sin t与y＝－k在上有且只有一个交点．
如图所示，由正弦函数的图象可知

－≤－k＜或－k＝1，
即－＜k≤或k＝－1．]
11．根据题意，画出示意图如图所示，

则圆心C的坐标为(3，4)半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m．要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6．
12．如图所示，直线与抛物线交于B，C两点，与抛物线的准线交于A点．∵＝2，∴F在A，B中间，C在A，F之间，分别过B，C作准线的垂线BB1，CC1，垂足分别为B1，C1．由抛物线的定义可知|BF|＝|BB1|，|CF|＝|CC1|．
∵＝2，|AF|＝6，
∴|FB|＝|BB1|＝3．
由△AFK∽△ABB1可知，
＝，∴|FK|＝2．
设|CF|＝a，则|CC1|＝a，
由△ACC1∽△AFK，得＝．
∴＝，∴a＝．
∴|BC|＝|BF|＋|FC|＝3＋＝．
13．从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，
此时|PC|＝＝3，
从而|PA|＝＝2．
所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2．
14．

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